2022年完整word版,三角函數知識點歸納

1 三角函數一、任意角、弧度制及任意角的三角函數1任意角(1)角的概念的推廣按旋轉方向不同分為正角、負角、零角正角:按逆時針方向旋轉形成的角任意角 負角:按順時針方向旋轉形成的角零角:不作任何旋轉形成的角按終邊位置不同分為象限角和軸線角角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角第一象限角的集合為36036090,kkkooo第二象限角的集合為36090360180,kkkoooo第三象限角的集合為360180360270,kkkoooo第四象限角的集合為360270360360,kkkoooo終邊在x軸上的角的集合為180,kko終邊在 y 軸上的角的集合為18090,kkoo終邊在坐標軸上的角的集合為90,kko(2)終邊與角相同的角可寫成 k 360(kZ)終邊與角相同的角的集合為360,kko(3)弧度制1 弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1 弧度的角弧度與角度的換算：360 2弧度；180 弧度半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為 l，則角的弧度數的絕對值是lr若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長為 l，周長為 C，面積為 S，則 lr，2Crl，21122Slrr 2 任意角的三角函數定義設 是一個任意角，角的終邊上任意一點P(x，y)，它與原點的距離為22r rxy，那么角 的正弦、余弦、正切分別是：sin yr，cos xr，tan yx（三角函數值在各象限的符號規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3特殊角的三角函數值精選學習資料 -名師歸納總結-第 1 頁，共 8 頁2 角度函數0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角 a的弧度0/6/4/3 /2 2/3 3/4 5/6 3/2 2sina 0 1/2 2/2 3/2 1 3/2 2/2 1/2 0-1 0 cosa 1 3/2 2/2 1/2 0-1/2-2/2-3/2-1 0 1 tana 0 3/3 1 3-3-1-3/3 0 0 二、同角三角函數的基本關系與誘導公式A.基礎梳理1同角三角函數的基本關系(1)平方關系：sin2 cos2 1；（在利用同角三角函數的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號）(2)商數關系：sin cos tan .（3）倒數關系：1cottan2誘導公式公式一：sin(2k)sin ，cos(2k)cos_，tan)2tan(k其中 kZ.公式二：sin()sin_，cos()cos_，tan()tan .公式三：sin()sin ，cos()cos_，tantan公式四：sin()sin_，cos()cos_，tantan.公式五：sin2cos_，cos2 sin .公式六：sin2cos_，cos2 sin_.誘導公式可概括為k2 的各三角函數值的化簡公式口訣：奇變偶不變，符號看象限其中的奇、偶是指2的奇數倍和偶數倍，變與不變是指函數名稱的變化若是奇數倍，則函數名稱要變(正弦變余弦，余弦變正弦)；若是偶數倍，則函數名稱不變，符號看象限是指：把看成銳角時，根據k2 在哪個象限判斷原三角函數值的符號，最后作為結果符號B.方法與要點一個口訣1、誘導公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號看象限2、四種方法在求值與化簡時，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan sin cos 化成正、余弦(2)和積轉換法：利用(sin cos )21 2sin cos 的關系進行變形、轉化（cossin、cossin、cossin三個式子知一可求二）精選學習資料 -名師歸納總結-第 2 頁，共 8 頁3(3)巧用“1”的變換：1sin2 cos2=sin2tan4（4）齊次式化切法：已知ktan，則nmkbaknmbanmbatantancossincossin三、三角函數的圖像與性質學習目標：1 會求三角函數的定義域、值域2 會求三角函數的周期：定義法，公式法，圖像法（如xysin與xycos的周期是）。3 會判斷三角函數奇偶性4 會求三角函數單調區(qū)間5 知道三角函數圖像的對稱中心，對稱軸6 知道sin()yAx，cos()yAx，tan()yAx的簡單性質（一）知識要點梳理1、正弦函數和余弦函數的圖象：正弦函數sinyx和余弦函數cosyx圖象的作圖方法：五點法：先取橫坐標分別為 0，3,222的五點，再用光滑的曲線把這五點連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個周期內的圖象。1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx2、正弦函數sin()yx xR、余弦函數cos()yx xR的性質：（1）定義域：都是 R。（2）值域：都是1,1，對sinyx，當22xkkZ時，y取最大值 1；當322xkkZ時，y取最小值 1；對cosyx，當2xkkZ時，y取最大值1，當2xkkZ時，y取最小值 1。（3）周期性：sinyx，cosyx的最小正周期都是2；（4）奇偶性與對稱性：正弦函數sin()yx xR是奇函數，對稱中心是,0kkZ，對稱軸是直線2xkkZ；余弦函數cos()yx xR是偶函數，對稱中心是,02kkZ，對稱軸是直線xkkZ；（正(余)弦型函數的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于x軸的直線，對稱中心為圖象與x軸的交點）。（5）單調性：精選學習資料 -名師歸納總結-第 3 頁，共 8 頁4 sin2,222yxkkkZ在上單調遞增，在32,222kkkZ單調遞減；cosyx在2,2kkkZ上單調遞增,在2,2kkkZ上單調遞減。特別提醒，別忘了kZ！3、正切函數tanyx的圖象和性質：（1）定義域：|,2x xkkZ。（2）值域是R，無最大值也無最小值；（3）奇偶性與對稱性：是奇函數，對稱中心是,02kkZ，特別提醒：正(余)切型函數的對稱中心有兩類：一類是圖象與x軸的交點，另一類是漸近線與x軸的交點，但無對稱軸，這是與正弦、余弦函數的不同之處。（4）單調性：正切函數在開區(qū)間,22kkkZ內都是增函數。但要注意在整個定義域上不具有單調性。4、正弦、余弦、正切函數的圖像和性質sinyxcosyxtanyx圖象定義域RR,2x xkk值域1,11,1R最值當22xkk時，max1y；當22xkk時，min1y當2xkk時，max1y；當2xkk時，min1y既無最大值也無最小值周期性22奇偶性奇函數偶函數奇函數單調性在2,222kkk上是增函數；在32,222kkk上是減函數在 2,2kkk上 是增函數；在2,2kkk上是減函數在,22kkk上是增函數函數性質精選學習資料 -名師歸納總結-第 4 頁，共 8 頁5 對稱性對稱中心,0kk對稱軸2xkk對稱中心,02kk對稱軸 xkk對稱中心,02kk無對稱軸5、研究函數sin()yAx性質的方法：類比于研究sinyx的性質，只需將sin()yAx中的x看成sinyx中的x。函數 y Asin（x）（A0，0）的性質。（1）定義域：R（2）值域：-A,A（3）周期性：2|T()sin()f xAx和()cos()f xAx的最小正周期都是2|T。()tan()f xAx的最小正周期都是|T。（4）單調性：函數yAsin（x）（A 0，0）的單調增區(qū)間可由2k2x2k2，kz 解得；單調減區(qū)間可由2k2x2k32，kz 解得。在求sin()yAx的單調區(qū)間時，要特別注意A和的符號，通過誘導公式先將化正。如函數23ysin(x)的遞減區(qū)間是 _（答：解 析：y=，所 以 求y的 遞 減 區(qū) 間 即 是 求的遞增區(qū)間，由得，所以 y 的遞減區(qū)間是四、函數sinyAx的圖像和三角函數模型的簡單應用一、知識要點1、幾個物理量：振幅：；周期：2；頻率：12f；相位：x；初相：2、函數sin()yAx表達式的確定：A 由最值確定；由周期確定；由圖象上的特殊點確定.函 數sinyx，當1xx時，取 得 最 小 值 為miny；當2xx時，取 得 最 大 值 為maxy，則maxmin12yy，maxmin12yy，21122xxxx3、函數sin()yAx圖象的畫法：“五點法”設Xx，令X0，3,222求出相應的x值，精選學習資料 -名師歸納總結-第 5 頁，共 8 頁6 y=sinxy=sinx橫坐標伸（縮）1倍左（右）平移縱坐標伸（縮）A 倍sinyxsinyxxAysiny=sinx 左（右）平移縱坐標伸（縮）A 倍橫坐標伸（縮）1倍左（右）平移xAysinxAysin橫坐標伸（縮）倍橫坐標伸（縮）1倍sinyAx縱坐標伸（縮）A 倍橫坐標伸(縮)1倍xysinxAysinxysinsiny Ax縱坐標伸（縮）A 倍左（右）平移左（右）平移縱坐標伸（縮）A 倍計算得出五點的坐標，描點后得出圖象；圖象變換法：這是作函數簡圖常用方法。4、函數 y sinx 的圖象經變換可得到sinyAx0的圖象5、函數sin()yAxb的圖象與sinyx圖象間的關系：函數sinyx的圖象向左（0）或向右（0）平移|個單位得sinyx的圖象；函數sinyx圖象的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到函數sinyx的圖象；函數sinyx圖象的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數sin()yAx的圖象；函數sin()yAx圖象向上（0b）或向下（0b）平移|b個單位，得到sinyAxb的圖象。要特別注意，若由sinyx得到sinyx的圖象，則向左或向右平移應平移|個單位，如要得到函數ysin(2x3)的圖象，只需將函數ysin2x 的圖象()(A)向左平移3個單位(B)向右平移3個單位(C)向左平移6個單位(D)向右平移6個單位6、函數 y Acos（x）和 y=Atan（x）的性質和圖象的變換與yAsin（x）類似。三角恒等變換1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：coscoscossinsin；coscos cossinsin；sinsincoscos sin；sinsincoscos sin；tantantan1tantan（tantantan1 tantan）；精選學習資料 -名師歸納總結-第 6 頁，共 8 頁7 tantantan1tantan（tantantan1 tantan）如oooo40tan20tan340tan20tan；（答案：3）2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sincos222)cos(sincossin2cossin2sin1如 cos2512cos212cos512cos12的值等于；（答案：54）2222cos2cossin2cos112sin升冪公式221cos22cos,1cos22sin降冪公式21cos2cos2，21cos2sin222 tantan 21tan3、二弦歸一把兩個三角函數的和或差化為一個三角函數：22sincossinabab，其中tanba4、三角變換時運算化簡的過程中運用較多的變換，靈活運用三角公式，掌握運算化簡的方法常用的方法技巧如下：（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達式中往往出現較多的異角，可根據角與角之間的和差，倍半，互補，互余的關系，尋找條件與結論中角的關系，運用角的變換，使問題獲解，對角的變形如：2是的二倍；4是2的二倍；是2的二倍；2是4的二倍；1545306045ooooo；問：12sin；12cos；)(；)4(24；)4()4()()(2；等等.如121tan,tan,tan5444則.（答案：322）2 若 cos()45，cos()45，且2 ，32 2，則 cos2 _，cos2 _.（答案：725，1）3 已知sincos21,tan,1cos23則tan2；（答案：18）（2）函數名稱變換：三角變形中，常常需要變函數名稱為同名函數。如在三角函數中正余弦是基礎，通?；袨橄?，變異名為同名（二弦歸一）。如)10tan31(50sinoo；132cos10sin102sin 301022cos103 sin102sin 40 cos40sin80=sin50sin50sin501cos10cos10cos10cos10cos10cos10oooooooooooooooooo解析：原式（3）常數代換：在三角函數運算，求值，證明中，有時需要將常數轉化為三角函數值，例如常數“1”的代換變形有：221sincossin90tan45oo（4）冪的變換：降冪是三角變換時常用方法，對次數較高的三角函數式，一般采用降冪處理的方法。常用降冪公式精選學習資料 -名師歸納總結-第 7 頁，共 8 頁8 有：；。有 時 需 要 升 冪，常 用 升 冪 公 式有：；.如對無理式cos1常用升冪化為有理式.（5）公式變形：三角公式是變換的依據，應熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應用。如：coscossinsin=_；sincoscossin=_；_tantan；_tantan1；_tantan；_tantan1；sincos_；2sincos22_；2222cossin_2cos1_ 2sin1_；cos1；cos1；tan2；2tan1；sincosab；（其中tan；）（6）三角函數式的化簡運算基本規(guī)則：復角化單角，異角化同角，見切化弦，二弦歸一，高次化低次，特殊值與特殊角的三角函數互化。精選學習資料 -名師歸納總結-第 8 頁，共 8 頁