九年級數(shù)學上冊 24 圓導學案 （新版）新人教版

第二十四章　圓 24．1　圓的有關性質(zhì) 24. 1. 1　圓 1．了解圓的基本概念，并能準確地表示出來． 2. 理解并掌握與圓有關的概念：弦、直徑、圓弧、等圓、同心圓等． 重點：與圓有關的概念． 難點：圓的有關概念的理解． 一、自學指導．(10分鐘) 自學：研讀課本P79～80內(nèi)容，理解記憶與圓有關的概念，并完成下列問題． 探究： ①在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫做__圓__，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做__半徑__． ②用集合的觀點敘述以O為圓心，r為半徑的圓，可以說成是到定點O的距離為__r__的所有的點的集合． ③連接圓上任意兩點的__線段__叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做__直徑__；圓上任意兩點間的部分叫做圓弧；圓上任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做__優(yōu)弧__，小于半圓的弧叫做__劣弧__． 二、自學檢測：學生自主完成，小組內(nèi)展示，點評，教師巡視．(3分鐘) 1．以點A為圓心，可以畫__無數(shù)__個圓；以已知線段AB的長為半徑可以畫__無數(shù)__個圓；以點A為圓心，AB的長為半徑，可以畫__1__個圓． 點撥精講：確定圓的兩個要素：圓心(定點)和半徑(定長)．圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。? 2．到定點O的距離為5的點的集合是以__O__為圓心，__5__為半徑的圓． 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(5分鐘) 1．⊙O的半徑為3 cm，則它的弦長d的取值范圍是__0＜d≤6__． 點撥精講：直徑是圓中最長的弦． 2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半徑，則△AOB的形狀是__等邊三角形__． 點撥精講：與半徑相等的弦和兩半徑構造等邊三角形是常用數(shù)學模型． 3．如圖，點A，B，C，D都在⊙O上．在圖中畫出以這4點為端點的各條弦．這樣的弦共有多少條？ 解：圖略.6條． 二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路．(15分鐘) 1．(1)在圖中，畫出⊙O的兩條直徑； (2)依次連接這兩條直徑的端點，得一個四邊形．判斷這個四邊形的形狀，并說明理由． 解：矩形．理由：由于該四邊形對角線互相平分且相等，所以該四邊形為矩形．作圖略． 點撥精講：由剛才的問題思考：矩形的四個頂點一定共圓嗎？ 2．一點和⊙O上的最近點距離為4 cm，最遠點距離為10 cm，則這個圓的半徑是__3_cm或7_cm__． 點撥精講：這里分點在圓外和點在圓內(nèi)兩種情況． 3．如圖，圖中有__1__條直徑，__2__條非直徑的弦，圓中以A為一個端點的優(yōu)弧有__4__條，劣弧有__4__條． 點撥精講：這類數(shù)弧問題，為防多數(shù)或少數(shù)，通常按一定的順序和方向來數(shù)． ,第3題圖)　　　　,第4題圖) 4．如圖，⊙O中，點A，O，D以及點B，O，C分別在一直線上，圖中弦的條數(shù)為__2__． 點撥精講：注意緊扣弦的定義． 5．如圖，CD為⊙O的直徑，∠EOD＝72，AE交⊙O于B，且AB＝OC，求∠A的度數(shù)． 解：24. 點撥精講：連接OB構造三角形，從而得出角的關系． ,第5題圖)　　,第6題圖) 6．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，點D是BC的中點，若AC＝10 cm，求OD的長． 解：5 cm. 點撥精講：這里別忘了圓心O是直徑AB的中點． 學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘) 1．圓的定義、圓的表示方法及確定一個圓的兩個基本條件． 2．圓的相關概念：(1)弦、直徑；(2)弧及其表示方法；(3)等圓、等弧． 學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘) 24．1.2　垂直于弦的直徑 1．圓的對稱性． 2．通過圓的軸對稱性質(zhì)的學習，理解垂徑定理及其推論． 3．能運用垂徑定理及其推論進行計算和證明． 重點：垂徑定理及其推論． 難點：探索并證明垂徑定理． 一、自學指導．(10分鐘) 自學：研讀課本P81～83內(nèi)容，并完成下列問題． 1．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，它也是中心對稱圖形，對稱中心為圓心． 2．垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧，即一條直線如果滿足：①AB經(jīng)過圓心O且與圓交于A，B兩點；②AB⊥CD交CD于E，那么可以推出：③CE＝DE；④＝；⑤＝. 3．平分弦(非直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。? 點撥精講：(1)畫圖說明這里被平分的弦為什么不能是直徑． (2)實際上，當一條直線滿足過圓心、垂直弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，這五個條件中的任何兩個，就可推出另外三個． 二、自學檢測：學生自主完成，小組內(nèi)展示，點評，教師巡視．(6分鐘) 1．在⊙O中，直徑為10 cm，圓心O到AB的距離為3 cm，則弦AB的長為 __8_cm__． 2．在⊙O中，直徑為10 cm，弦AB的長為8 cm，則圓心O到AB的距離為__3_cm__． 點撥精講：圓中已知半徑、弦長、弦心距三者中的任何兩個，即可求出另一個． 3．⊙O的半徑OA＝5 cm，弦AB＝8 cm，點C是AB的中點，則OC的長為__3_cm__． 點撥精講：已知弦的中點，連接圓心和中點構造垂線是常用的輔助線． 4．某公園的一石拱橋是圓弧形(劣弧)，其跨度為24米，拱的半徑為13米，則拱高為多少米？ (8米) 點撥精講：圓中已知半徑、弦長、弦心距或弓形高四者中的任何兩個，即可求出另一個． 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(6分鐘) 1．AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，E為垂足，若AE＝9，BE＝1，求CD的長． 解：6. 點撥精講：常用輔助線：連接半徑，由半徑、半弦、弦心距構造直角三角形． 2．⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，M是弦AB上的動點，則線段OM的長的最小值為__3__，最大值為__5__． 點撥精講：當OM與AB垂直時，OM最小(為什么)，M在A(或B)處時OM最大． 3．如圖，線段AB與⊙O交于C，D兩點，且OA＝OB.求證：AC＝BD. 證明：作OE⊥AB于E.則CE＝DE. ∵OA＝OB，OE⊥AB， ∴AE＝BE， ∴AE－CE＝BE－DE. 即AC＝BD. 點撥精講：過圓心作垂線是圓中常用輔助線． 二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路．(10分鐘) 1．在直徑是20 cm的⊙O中，∠AOB的度數(shù)是60，那么弦AB的弦心距是__5__cm. 點撥精講：這里利用60角構造等邊三角形，從而得出弦長． 2．弓形的弦長為6 cm，弓形的高為2 cm，則這個弓形所在的圓的半徑為____cm. 3．如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點．求證：AC＝BD. 證明：過點O作OE⊥AB于點E.則AE＝BE，CE＝DE. ∴AE－CE＝BE－DE. 即AC＝BD. 點撥精講：過圓心作垂徑． 4．已知⊙O的直徑是50 cm，⊙O的兩條平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦AB與CD之間的距離． 解：過點O作直線OE⊥AB于點E，直線OE與CD交于點F.由AB∥CD，則OF⊥CD. (1)當AB，CD在點O兩側時，如圖①.連接AO，CO，則AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm. 由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm. ∴EF＝OE＋OF＝22 (cm)． 即AB與CD之間距離為22 cm. (2)當AB，CD在點O同側時，如圖②，連接AO，CO.則AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm. 由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm. ∴EF＝OE－OF＝8 (cm)． 即AB與CD之間距離為8 cm. 由(1)(2)知AB與CD之間的距離為22 cm或8 cm. 點撥精講：分類討論，①AB，CD在點O兩側，②AB，CD在點O同側． 學生總結本堂課的收獲與困惑．(3分鐘) 1．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸． 2．垂徑定理及其推論以及它們的應用． 學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘) 24．1.3　弧、弦、圓心角 1. 通過學習圓的旋轉(zhuǎn)性，理解圓的弧、弦、圓心角之間的關系． 2. 運用上述三者之間的關系來計算或證明有關問題． 重點：圓的弧、弦、圓心角之間的關系定理． 難點：探索推導定理及其應用． 一、自學指導．(10分鐘) 自學：自學教材P83～84內(nèi)容，回答下列問題． 探究： 1．頂點在__圓心__的角叫做圓心角，能夠重合的圓叫做__等圓__；能夠__重合__的弧叫做等?。粓A繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能夠與原來的圖形重合，這就是圓的__旋轉(zhuǎn)性__． 2．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧__相等__，所對的弦也__相等__． 3．在同圓或等圓中，兩個__圓心角__，兩條__弦__，兩條__弧__中有一組量相等，它們所對應的其余各組量也相等． 4．在⊙O中，AB，CD是兩條弦， (1)如果AB＝CD，那么__＝，__∠AOB＝∠COD__； (2)如果＝，那么__AB＝CD__，__∠AOB＝∠COD； (3)如果∠AOB＝∠COD，那么__AB＝CD__，＝__． 二、自學檢測：學生自主完成，小組內(nèi)展示，點評，教師巡視．(6分鐘) 1．如圖，AD是⊙O的直徑，AB＝AC，∠CAB＝120，根據(jù)以上條件寫出三個正確結論．(半徑相等除外) (1)__△ACO_≌_△ABO__； (2)__AD垂直平分BC__； (3)＝. 2．如圖，在⊙O中，＝，∠ACB＝60，求證：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 證明：∵＝，∴AB＝AC. 又∵∠ACB＝60， ∴△ABC為等邊三角形， ∴AB＝AC＝BC， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. ,第2題圖)　　　　,第3題圖) 3．如圖，(1)已知＝.求證：AB＝CD. (2)如果AD＝BC，求證：＝. 證明：(1)∵＝， ∴＋＝＋， ∴＝，∴AB＝CD. (2)∵AD＝BC， ∴＝， ∴＋＝＋，即＝. 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(7分鐘) 1．⊙O中，一條弦AB所對的劣弧為圓周的，則弦AB所對的圓心角為__90__． 點撥精講：整個圓周所對的圓心角即以圓心為頂點的周角． 2．在半徑為2的⊙O中，圓心O到弦AB的距離為1，則弦AB所對的圓心角的度數(shù)為__120__． 3．如圖，在⊙O中，＝，∠ACB＝75，求∠BAC的度數(shù)． 解：30. ,第3題圖)　　　　,第4題圖) 4．如圖，AB，CD是⊙O的弦，且AB與CD不平行，M，N分別是AB，CD的中點，AB＝CD，那么∠AMN與∠CNM的大小關系是什么？為什么？ 點撥精講：(1)OM，ON具備垂徑定理推論的條件． (2)同圓或等圓中，等弦的弦心距也相等． 解：∠AMN＝∠CNM. ∵AB＝CD，M，N為AB，CD中點， ∴OM＝ON，OM⊥AB，ON⊥CD， ∴∠OMA＝∠ONC，∠OMN＝∠ONM， ∴∠OMA－∠OMN＝∠ONC－∠ONM. 即∠AMN＝∠CNM. 二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路．(10分鐘) 1．如圖，AB是⊙O的直徑，＝＝，∠COD＝35，求∠AOE的度數(shù)． 解：75. ,第1題圖)　　,第2題圖) 2．如圖所示，CD為⊙O的弦，在CD上截取CE＝DF，連接OE，OF，它們的延長線交⊙O于點A，B. (1)試判斷△OEF的形狀，并說明理由； (2)求證：＝. 解：(1)△OEF為等腰三角形． 理由：過點O作OG⊥CD于點G， 則CG＝DG.∵CE＝DF， ∴CG－CE＝DG－DF. ∴EG＝FG.∵OG⊥CD， ∴OG為線段EF的垂直平分線． ∴OE＝OF， ∴△OEF為等腰三角形． (2)證明：連接AC，BD. 由(1)知OE＝OF， 又∵OA＝OB， ∴AE＝BF，∠OEF＝∠OFE. ∵∠CEA＝∠OEF，∠DFB＝∠OFE， ∴∠CEA＝∠DFB. 在△CEA與△DFB中， AE＝BF，∠CEA＝∠BFD，CE＝DF， ∴△CEA≌△DFB，∴AC＝BD，∴＝. 點撥精講：(1)過圓心作垂徑；(2)連接AC，BD，通過證弦等來證弧等． 3．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，M，N是AO，BO 的中點．CM⊥AB，DN⊥AB，分別與圓交于C，D點．求證：＝. 證明：連接AC，OC，OD，BD. ∵M，N為AO，BO中點， ∴OM＝ON，AM＝BN. ∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠CMO＝∠DNO＝90. 在Rt△CMO與Rt△DNO中， OM＝ON，OC＝OD， ∴Rt△CMO≌Rt△DNO. ∴CM＝DN.在Rt△AMC和Rt△BND中， AM＝BN，∠AMC＝∠BND，CM＝DN， ∴△AMC≌△BND. ∴AC＝BD.∴＝. 點撥精講：連接AC，OC，OD，BD，構造三角形． 學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘) 圓心角定理是圓中證弧等、弦等、弦心距等、圓心角等的常用方法． 學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘) 24．1.4　圓周角 1．理解圓周角的定義，會區(qū)分圓周角和圓心角． 2．能在證明或計算中熟練運用圓周角的定理及其推論． 重點：圓周角的定理、圓周角的定理的推導及運用它們解題． 難點：運用數(shù)學分類思想證明圓周角的定理． 一、自學指導．(10分鐘) 自學：閱讀教材P85～87，完成下列問題． 歸納： 1．頂點在__圓周__上，并且兩邊都與圓__相交__的角叫做圓周角． 2．在同圓或等圓中，__等弧__或__等弦__所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的__圓心角__的一半． 3．在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也__相等__． 4．半圓(或直徑)所對的圓周角是__直角__，90的圓周角所對的弦是__直徑__． 5．圓內(nèi)接四邊形的對角__互補__． 二、自學檢測：學生自主完成，小組內(nèi)展示，點評，教師巡視．(8分鐘) 1．如圖所示，點A，B，C，D在圓周上，∠A＝65，求∠D的度數(shù)． 解：65. ,第1題圖)　　　　,第2題圖) 2．如圖所示，已知圓心角∠BOC＝100，點A為優(yōu)弧上一點，求圓周角∠BAC的度數(shù)． 解：50. 3．如圖所示，在⊙O中，∠AOB＝100，C為優(yōu)弧AB的中點，求∠CAB的度數(shù)． 解：65. ,第3題圖)　　　　,第4題圖) 4．如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，∠BAC＝32，D是AC的中點，那么∠DAC的度數(shù)是多少？解：29. 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(7分鐘) 1．如圖所示，點A，B，C在⊙O上，連接OA，OB，若∠ABO＝25，則∠C＝__65__． ,第1題圖)　　,第2題圖) 2．如圖所示，AB是⊙O的直徑，AC是弦，若∠ACO＝32，則∠COB＝ __64__． 3．如圖，⊙O的直徑AB為10 cm，弦AC為6 cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，求BC，AD，BD的長． 解：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90. ∴BC＝＝8 (cm)． ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD， ∴AD＝BD.由AB為直徑，知AD⊥BD， ∴△ABD為等腰直角三角形， ∴AD2＋BD2＝2AD2＝2BD2＝AB2， ∴AD＝5 cm，BD＝5 cm. 點撥精講：由直徑產(chǎn)生直角三角形，由相等的圓周角產(chǎn)生等腰三角形． 二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路．(8分鐘) 1．如圖所示，OA為⊙O的半徑，以OA為直徑的⊙C與⊙O的弦AB相交于點D，若OD＝5 cm，則BE＝__10_cm__． 點撥精講：利用兩個直徑構造兩個垂直，從而構造平行，產(chǎn)生三角形的中位線． ,第1題圖)　　,第2題圖) 2．如圖所示，點A，B，C在⊙O上，已知∠B＝60，則∠CAO＝__30__． 3．OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠AOB＝2∠BOC.求證：∠ACB＝2∠BAC. 證明：∵∠AOB是劣弧所對的圓心角， ∠ACB是劣弧所對的圓周角， ∴∠AOB＝2∠ACB. 同理∠BOC＝2∠BAC，∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠ACB＝2∠BAC. 點撥精講：看圓周角一定先看它是哪條弧所對圓周角，再看所對的圓心角． 4．如圖，在⊙O中，∠CBD＝30，∠BDC＝20，求∠A. 解：∠A＝50 點撥精講：圓內(nèi)接四邊形的對角互補． 學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘) 圓周角的定義、定理及推論． 學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘) 24．2　點和圓、直線和圓的位置關系 24．2.1　點和圓的位置關系 1. 結合實例，理解平面內(nèi)點與圓的三種位置關系． 2．理解不在同一直線上的三個點確定一個圓并掌握它的運用． 3．了解三角形的外接圓和三角形外心的概念． 4．了解反證法的證明思想． 重點：點和圓的位置關系；不在同一直線上的三個點確定一個圓及它們的運用． 難點：反證法的證明思路． 一、自學指導．(10分鐘) 自學：閱讀教材P92～94. 歸納： 1．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外?__d＞r__；點P在圓上?__d＝r__ ；點P在圓內(nèi)?__d＜r__ . 2.經(jīng)過已知點A可以作__無數(shù)__個圓，經(jīng)過兩個已知點A，B可以作__無數(shù)__個圓；它們的圓心__在線段AB的垂直平分線__上；經(jīng)過不在同一條直線上的A，B，C三點可以作__一個__圓． 3．經(jīng)過三角形的__三個頂點__的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形的三條邊__垂直平分線__的交點，叫做這個三角形的外心． 任意三角形的外接圓有__一個__，而一個圓的內(nèi)接三角形有__無數(shù)個__． 4．用反證法證明命題的一般步驟： ①反設：__假設命題結論不成立__； ②歸繆：__從假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾__； ③下結論：__由矛盾判定假設不成立，從而肯定命題成立__． 二、自學檢測：學生自主完成，小組內(nèi)展示，點評，教師巡視．(6分鐘) 1．在平面內(nèi)，⊙O的半徑為5 cm，點P到圓心的距離為3 cm，則點P與⊙O的位置關系是點__P在圓內(nèi)__． 2．在同一平面內(nèi)，一點到圓上的最近距離為2，最遠距離為10，則該圓的半徑是__4或6__． 3．△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠OAB＝28，則∠C的度數(shù)是__62或118__． 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(7分鐘) 1．經(jīng)過同一條直線上的三個點能作出一個圓嗎？ (用反證法證明) 2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，AB＝10，CD是斜邊AB上的中線，以AC為直徑作⊙O，設線段CD的中點為P，則點P與⊙O的位置關系是怎樣的？ 點撥精講：利用數(shù)量關系證明位置關系． 3．如圖，⊙O的半徑r＝10，圓心O到直線l的距離OD＝6，在直線l上有A，B，C三點，AD＝6，BD＝8，CD＝9，問A，B，C三點與⊙O的位置關系是怎樣的？ 點撥精講：垂徑定理和勾股定理的綜合運用． 4．用反證法證明“同位角相等，兩直線平行”． 二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路．(10分鐘) 1．已知⊙O的半徑為4，OP＝3.4，則P在⊙O的__內(nèi)部__． 2．已知點P在⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半徑r滿足__0<r<5__． 3．已知⊙O的半徑為5，M為ON的中點，當OM＝3時，N點與⊙O的位置關系是N在⊙O的__外部__． 4．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求△ABC的外接圓半徑． 解：連接AO并延長交BC于點D，再連接OB，OC. ∵AB＝AC， ∴∠AOB＝∠AOC. ∵AO＝BO＝CO，∴∠OAB＝∠OAC. 又∵△ABC為等腰三角形，∴AD⊥BC， ∴BD＝BC＝6.在Rt△ABD中， ∵AB＝10，∴AD＝＝8. 設△ABC的外接圓半徑為r. 則在Rt△BOD中，r2＝62＋(8－r)2，解得r＝. 即△ABC的外接圓半徑為. 點撥精講：這里連接AO，要先證明AO垂直BC，或作AD⊥BC，要證AD過圓心． 5．如圖，已知矩形ABCD的邊AB＝3 cm，AD＝4 cm. (1)以點A為圓心，4 cm為半徑作⊙A，則點B，C，D與⊙A的位置關系是怎樣的？ (2)若以A點為圓心作⊙A，使B，C，D三點中至少有一點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，則⊙A的半徑r的取值范圍是什么？ 解：(1)點B在⊙A內(nèi)，點C在⊙A外，點D在⊙A上； (2)3＜r＜5. 點撥精講：第(2)問中B，C，D三點中至少有一點在圓內(nèi)，必然是離點A最近的點B在圓內(nèi)；至少有一點在圓外，必然是離點A最遠的點C在圓外． 學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘) 1．點和圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為d，則 2．不在同一條直線上的三個點確定一個圓． 3．三角形外接圓和三角形外心的概念． 4．反證法的證明思想． 學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘) 24.2.2　直線和圓的位置關系(1) 1．理解掌握同一平面內(nèi)的直線與圓的三種位置關系及相關概念． 2．能根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系，準確判斷出直線與圓的位置關系． 重點：判斷直線與圓的位置關系． 難點：理解圓心到直線的距離． 一、自學指導．(10分鐘) 自學：閱讀教材P95～96. 歸納： 1．直線和圓有__兩個__公共點時，直線和圓相交，直線叫做圓的__割線__． 2．直線和圓有__一個__公共點時，直線和圓相切，直線叫做圓的__切線__，這個點叫做__切點__． 3．直線和圓有__零個__公共點時，直線和圓相離． 二、自學檢測：學生自主完成，小組內(nèi)展示，點評，教師巡視．(6分鐘) 1．設⊙O的半徑為r，直線l到圓心O的距離為d，則有：直線l和⊙O相交?__d＜r__；直線l和⊙O相切?__d＝r__；直線l和⊙O相離?d＞r__． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3 cm，AB＝6 cm，以點C為圓心，與AB邊相切的圓的半徑為____cm. 3．已知⊙O的半徑r＝3 cm，直線l和⊙O有公共點，則圓心O到直線l的距離d的取值范圍是0≤d≤3__． 4．已知⊙O的半徑是6，點O到直線a的距離是5，則直線a與⊙O的位置關系是__相交__． 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(7分鐘) 1．已知⊙O的半徑是3 cm，直線l上有一點P到O的距離為3 cm，試確定直線l和⊙O的位置關系． 解：相交或相切． 點撥精講：這里P到O的距離等于圓的半徑，而不是直線l到O的距離等于圓的半徑． 2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，若以C為圓心，r為半徑的圓與斜邊AB只有一個公共點，則r的取值范圍是多少？ 解：r＝或3＜r≤4. 點撥精講：分相切和相交兩類討論． 3．在坐標平面上有兩點A(5，2)，B(2，5)，以點A為圓心，以AB的長為半徑作圓，試確定⊙A和x軸、y軸的位置關系． 解：⊙A與x軸相交，與y軸相離． 點撥精講：利用數(shù)量關系證明位置關系． 二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路．(10分鐘) 1．在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，以C為圓心，r為半徑作圓． ①當r滿足__0＜r＜__時，⊙C與直線AB相離． ②當r滿足__r＝__時，⊙C與直線AB相切． ③當r滿足__r＞__時，⊙C與直線AB相交． 2．已知⊙O的半徑為5 cm，圓心O到直線a的距離為3 cm，則⊙O與直線a的位置關系是__相交．直線a與⊙O的公共點個數(shù)是__2個__． 3．已知⊙O的直徑是6 cm，圓心O到直線a的距離是4 cm，則⊙O與直線a的位置關系是__相離． 4．已知⊙O的半徑為r，點O到直線l的距離為d，且|d－3|＋(6－2r)2＝0.試判斷直線與⊙O的位置關系． 解：相切． 5．設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，d，r是一元二次方程(m＋9)x2－(m＋6)x＋1＝0的兩根，且直線l與⊙O相切，求m的值． 解：m＝0或m＝－8. 學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘) 1．直線與圓的三種位置關系． 2．根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系，判斷出直線與圓的位置關系． 學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘) 24．2.2　直線和圓的位置關系(2) 1. 理解掌握切線的判定定理和性質(zhì)定理． 2．判定一條直線是否為圓的切線；會過圓上一點畫圓的切線． 3．會運用圓的切線的性質(zhì)與判定來解決相關問題． 重點：切線的判定定理；切線的性質(zhì)定理及其運用它們解決一些具體的題目． 難點：切線的判定和性質(zhì)及其運用． 一、自學指導．(10分鐘) 自學：閱讀教材P97～98. 歸納： 1．經(jīng)過__半徑的外端__并且__垂直于這條半徑__的直線是圓的切線． 2．切線的性質(zhì)有：①切線和圓只有__1個__公共點；②切線和圓心的距離等于__半徑__；③圓的切線__垂直于__過切點的半徑． 3．當已知一條直線是某圓的切線時，切點的位置是確定的，輔助線常常是連接__圓心__和切點__，得到半徑，那么半徑__垂直于__切線． 二、自學檢測：學生自主完成，小組內(nèi)展示，點評，教師巡視．(7分鐘) 1．如圖，已知AB是⊙O的直徑，PB是⊙O的切線，PA交⊙O于C，AB＝3 cm，PB＝4 cm，則BC＝____cm. 2．如圖，BC是半圓O的直徑，點D是半圓上一點，過點D作⊙O的切線AD，BA⊥DA于點A，BA交半圓于點E，已知BC＝10，AD＝4，那么直線CE與以點O為圓心，為半徑的圓的位置關系是__相離__． 3．如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點于點D，DE⊥AC于E，連接AD，則下面結論正確的有__①②③④__． ①AD⊥BC；　　　②∠EDA＝∠B； ③OA＝AC; ④DE是⊙O的切線． 4．如圖，AB為⊙O的直徑，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D，若AD＝2，TC＝3，則⊙O的半徑是____． 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(7分鐘) 1．如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，E是BC邊上的中點，連接PE，則PE與⊙O相切嗎？若相切，請加以證明；若不相切，請說明理由． 解：相切； 證明：連接OP，BP，則OP＝OB. ∴∠OBP＝∠OPB. ∵AB為直徑，∴BP⊥PC. 在Rt△BCP中，E為斜邊中點， ∴PE＝BC＝BE. ∴∠EBP＝∠EPB. ∴∠OBP＋∠PBE＝∠OPB＋∠EPB. 即∠OBE＝∠OPE.∵BE為切線， ∴AB⊥BC.∴OP⊥PE， ∴PE是⊙O的切線． 2．如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點B，連接OC交⊙O于點E，弦AD∥OC，連接CD.求證：(1) 點E是的中點； (2)CD是⊙O的切線． 證明：略． 點撥精講：(1)連接OD，要證弧等可先證弧所對的圓心角等； (2)在(1)的基礎上證△ODC與△OBC全等． 二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路．(9分鐘) 1．教材P98的練習． 2．如圖，∠ACB＝60，半徑為1 cm的⊙O切BC于點C，若將⊙O在CB上向右滾動，則當滾動到⊙O與CA也相切時，圓心O移動的水平距離是____cm. ,第2題圖)　　　　,第3題圖) 3．如圖，直線AB，CD相交于點O，∠AOC＝30，半徑為1 cm的⊙P的圓心在射線OA上，且與點O的距離為6 cm，如果⊙P以1 cm/s的速度沿A向B的方向移動，則經(jīng)過__4或8__秒后⊙P與直線CD相切． 4．如圖，以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于點C，若大圓半徑為10 cm，小圓半徑為6 cm，則弦AB的長為__16__cm. ,第4題圖)　　　　,第5題圖) 5．如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，DC切⊙O于點C，若∠A＝25，則∠D＝ __40__． 學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘) 圓的切線的判定與性質(zhì)． 學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘) 24．2.2　直線和圓的位置關系(3) 1．理解并掌握切線長定理，能熟練運用所學定理來解答問題． 2．了解三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心的特點，會畫三角形的內(nèi)切圓． 重點：切線長定理及其運用． 難點：切線長定理的導出及其證明和運用切線長定理解決一些實際問題． 一、自學指導．(10分鐘) 自學：閱讀教材P99～100. 歸納： 1．經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和__切點__之間的__線段長__叫做切線長． 2．從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長__相等__，這一點和圓心的連線平分__兩條切線的夾角，這就是切線長定理． 3．與三角形各邊都__相切__的圓叫做三角形的內(nèi)切圓． 4．三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形__三條角平分線的交點，叫做三角形的__內(nèi)心__，它到三邊的距離__相等__． 二、自學檢測：學生自主完成，小組內(nèi)展示，點評，教師巡視．(7分鐘) 1．如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點，直線OP交⊙O于點D，E，交AB于點C，圖中互相垂直的直線共有__3__對． ,第1題圖)　　　,第2題圖) 2．如圖，PA，PB分別切⊙O于點A，B，點E是⊙O上一點，且∠AEB＝60，則∠P＝__60__度． 3．如圖，PA，PB分別切⊙O于點A，B，⊙O的切線EF分別交PA，PB于點E，F(xiàn)，切點C在上，若PA長為2，則△PEF的周長是__4__． ,第3題圖)　　,第4題圖) 4．⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，D，E，F(xiàn)為切點，∠DOB＝73，∠DOF＝120，則∠DOE＝__146，∠C＝__60__，∠A＝__86__． 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(7分鐘) 1．如圖，直角梯形ABCD中，∠A＝90，以AB為直徑的半圓切另一腰CD于P，若AB＝12 cm， 梯形面積為120 cm2，求CD的長． 解：20 cm. 點撥精講：這里CD＝AD＋BC. 2．如圖，已知⊙O是Rt△ABC(∠C＝90)的內(nèi)切圓， 切點分別為D，E，F(xiàn).(1)求證：四邊形ODCE是正方形．(2)設BC＝a，AC＝b，AB＝c，求⊙O的半徑r. 解：(1)證明略；(2). 點撥精講：這里(2)的結論可記住作為公式來用． 3．如圖所示，點I是△ABC的內(nèi)心，∠A＝70，求∠BIC的度數(shù)． 解：125. 點撥精講：若I為內(nèi)心，∠BIC＝90＋∠A；若I為外心，∠BIC＝2∠A. 二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路．(9分鐘) 1．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝6，BC＝8，則△ABC的內(nèi)切圓半徑r＝__2__． ,第1題圖)　　　　,第2題圖) 2．如圖，AD，DC，BC都與⊙O相切，且AD∥BC，則∠DOC＝__90__． 3．如圖，AB，AC與⊙O相切于B，C兩點，∠A＝50，點P是圓上異于B，C的一動點，則∠BPC＝__65__． ,第3題圖)　　,第4題圖) 4．如圖，點O為△ABC的外心，點I為△ABC的內(nèi)心，若∠BOC＝140，則∠BIC＝__125__． 學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘) 1．圓的切線長概念； 2．切線長定理； 3．三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心的概念． 學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘) 24．3　正多邊形和圓 1．了解正多邊形的概念，會通過等分圓心角的方法等分圓周畫出所需的正多邊形． 2．會判定一個正多邊形是中心對稱圖形還是軸對稱圖形，能夠用直尺和圓規(guī)作圖，作出一些特殊的正多邊形． 3. 會進行有關圓與正多邊形的計算． 重點：正多邊形和圓中正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關系． 難點：理解正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關系． 一、自學指導．(10分鐘) 自學：閱讀教材P105～107. 歸納： 1．__各邊__相等，__各角__也相等的多邊形叫做正多邊形． 2．把一個圓分成幾等份，連接各點所得到的多邊形是__正多邊形__，它的中心角等于____． 3．一個正多邊形的外接圓的__圓心__叫做這個正多邊形的中心；外接圓的__半徑__叫做正多邊形的半徑；正多邊形每一邊所對的__圓心角__叫做正多邊形的中心角；中心到正多邊形的一邊的__距離__叫做正多邊形的邊心距． 4．正n邊形都是軸對稱圖形，當邊數(shù)為偶數(shù)時，它的對稱軸有__n__條，并且還是中心對稱圖形；當邊數(shù)為奇數(shù)時，它只是__軸對稱圖形__． 二、自學檢測：學生自主完成，小組內(nèi)展示，點評，教師巡視．(5分鐘) 1．如果正多邊形的一個外角等于60，那么它的邊數(shù)為__6__． 2．若正多邊形的邊心距與邊長的比為1∶2，則這個正多邊形的邊數(shù)為__4__． 3．已知正六邊形的外接圓半徑為3 cm，那么它的周長為__18_cm__． 4．正多邊形的一邊所對的中心角與該正多邊形的一個內(nèi)角的關系是__互補__． 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(9分鐘) 1．如圖所示，⊙O中，＝＝＝＝＝. 求證：六邊形ABCDEF是正六邊形． 證明：略． 點撥精講：由本題的結論可得：只要將圓分成n等分，順次連接各等分點，就可得到這個圓的內(nèi)接正n邊形． 2．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的內(nèi)接正三角形ACE的面積為48，試求正六邊形的周長． 解：48. 點撥精講：圓的內(nèi)接正六邊形的邊長等于圓的半徑，故要求正六邊形的邊長，需先求圓的半徑． 3．利用你手中的工具畫一個邊長為3 cm的正五邊形． 點撥精講：要畫正五邊形，首先要畫一個圓，然后對圓五等分，因此，應該先求邊長為3 cm的正五邊形的半徑． 4．你能用尺規(guī)作出正四邊形、正八邊形嗎？ 點撥精講：只要作出已知⊙O的互相垂直的直徑即得圓內(nèi)接正方形，再過圓心作各邊的垂線與⊙O相交，或作各中心角的角平分線與⊙O相交，即得圓內(nèi)接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形…… 5．你能用尺規(guī)作出正六邊形、正三角形、正十二邊形嗎？ 點撥精講：以半徑長在圓周上截取六段相等的弧，順次連接各等分點，則作出正六邊形．先作出正六邊形，則可作正三角形，正十二邊形，正二十四邊形…… 二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路．(9分鐘) 1．正n邊形的一個內(nèi)角與一個外角之比是5∶1，那么n等于__12__． 2．若一正四邊形與一正八邊形的周長相等，則它們的邊長之比為__2∶1__． 3．正八邊形有__8__條對稱軸，它不僅是__軸__對稱圖形，還是__中心__對稱圖形． 點撥精講：正n邊形的中心對稱性和軸對稱性． 4．有兩個正多邊形邊數(shù)比為2∶1，內(nèi)角度數(shù)比為4∶3，求它們的邊數(shù)． 解：10，5. 點撥精講：本題應用方程的方法來解決． 5．教材P106練習． 學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘) 1．正多邊形和圓的有關概念：正多邊形的中心，正多邊形的半徑，正多邊形的中心角，正多邊形的邊心距． 2．正多邊形的半徑、正多邊形的中心角、邊長、正多邊形的邊心距之間的等量關系． 3．畫正多邊形的方法． 學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘) 24．4　弧長和扇形面積(1) 1. 了解扇形的概念，復習圓的周長、圓的面積公式． 2. 探索n的圓心角所對的弧長l＝和扇形面積S扇形＝的計算公式，并應用這些公式解決相關問題． 重點：n的圓心角所對的弧長l＝，扇形面積S扇形＝及它們的應用． 難點：兩個公式的應用． 一、自學指導．(10分鐘) 自學：閱讀教材P111～112. 歸納： 1．在半徑為R的圓中，1的圓心角所對的弧長是____，n的圓心角所對的弧長是____． 2．在半徑為R的圓中，1的圓心角所對應的扇形面積是____，n的圓心角所對應的扇形面積是_____. 3．半徑為R，弧長為l的扇形面積S＝lR. 二、自學檢測：學生自主完成，小組內(nèi)展示，點評，教師巡視．(6分鐘) 1．已知⊙O的半徑OA＝6，∠AOB＝90，則∠AOB所對的弧長的長是__3π__． 2．一個扇形所在圓的半徑為3 cm，扇形的圓心角為120，則扇形的面積為__3π_cm2__． 3．在一個圓中，如果60的圓心角所對的弧長是6π cm，那么這個圓的半徑r＝__18_cm__． 4．已知扇形的半徑為3，圓心角為60，那么這個扇形的面積等于____． 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(7分鐘) 1．在一個周長為180 cm的圓中，長度為60 cm的弧所對圓心角為__120__度． 2．已知扇形的弧長是4π cm，面積為12π cm2，那么它的圓心角為__120__度． 3．如圖，⊙O的半徑是⊙M的直徑，C是⊙O上一點，OC交⊙M于B，若⊙O的半徑等于5 cm，的長等于⊙O的周長的，求的長． 解：π cm. 點撥精講：利用的長等于⊙O的周長的求出所對的圓心角，從而得出所對的圓心角． 二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路．(10分鐘) 1．已知弓形的弧所對的圓心角∠AOB為120，弓形的弦AB長為12，求這個弓形的面積． 解：16π－12. 點撥精講：弓形的面積等于扇形面積減去三角形的面積． 2．如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6 cm，其中水面高0.9 cm，求截面上有水部分的面積．(精確到0.01 cm2) 解：≈0.91(cm2)． 點撥精講：有水部分的面積等于扇形面積加三角形面積． 3．如圖，在同心圓中，兩圓半徑分別為2，1，∠AOB＝120，求陰影部分的面積． 解：S＝(π22－π12)＝2π. 4．已知正三角形的邊長為a，求它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積． 解：由直角三角形三邊關系，得(a)2＝R2－r2，S環(huán)＝πR2－πr2＝πa2. 點撥精講：本題的結論可作為公式記憶運用． 5．已知P，Q分別是半徑為1的半圓圓周上的兩個三等分點，AB是直徑，求陰影部分的面積． 解：. 點撥精講：連接OP，OQ，利用同底等高將△BPQ的面積轉(zhuǎn)化成△OPQ的面積． 學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘) 1．n的圓心角所對的弧長l＝； 2．扇形的概念； 3．圓心角為n的扇形面積是S扇形＝. 學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘) 24．4　弧長和扇形面積(2) 1. 了解圓錐母線的概念；理解圓錐側面積計算公式；理解圓錐全面積的計算方法，并會應用公式解決問題． 2. 探索圓錐側面積和全面積的計算公式以及應用它解決現(xiàn)實生活中的一些實際問題． 重點：圓錐側面積和全面積的計算公式． 難點：探索兩個公式的由來． 一、自學指導．(10分鐘) 自學：閱讀教材P113～114. 歸納： 1．圓錐是由一個__底面__和一個__側面__圍成的，連接圓錐__頂點__和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線，連接頂點和__底面圓心__的線段叫做圓錐的高． 2．圓錐的側面展開圖是一個__扇形__，其半徑為圓錐的__母線__，弧長是圓錐底面圓的__周長__． 3．圓錐的母線l，圓錐的高h，底面圓的半徑r，存在關系式：__l2＝h2＋r2__，圓錐的側面積S＝πl(wèi)r；圓錐的全面積S全＝S底＋S側＝__πl(wèi)r＋πr2__． 點撥精講：圓錐的底面圓周長等于其側面展開圖扇形的弧長，由此設圓錐底面圓的半徑為r，其側面展開圖扇形的半徑為R，圓心角度數(shù)為n，則可推得r，R，n，360之間存在的關系是：r＝. 二、自學檢測：學生自主完成，小組內(nèi)展示，點評，教師巡視．(6分鐘) 1．已知圓錐的底面直徑為4，母線長為6，則它的側面積為__12π__． 2．圓錐的底面半徑為3 cm，母線長為6 cm，則這個圓錐側面展開圖扇形的圓心角是__180__． 點撥精講：始終牢記圓錐側面的弧長即為底面圓的周長． 3．如果圓錐的高為3 cm，母線長為5 cm，則圓錐的全面積是__36π__cm2. 4．已知圓錐底面的面積為16π cm，高為3 cm，那么它的全面積為__36π__cm2. 點撥精講：涉及到圓錐的高時通常利用高、半徑、母線構造直角三角形． 5．已知△ABC中，∠ACB＝90，AC＝3 cm，BC＝4 cm，將△ABC繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周，求所得圓錐的側面積． 解：20π cm2或15π cm2. 點撥精講：這里直角邊分AC，BC兩種情況． 一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果．(8分鐘) 1．圓錐的側面積是底面積的2倍，這個圓錐的側面展開圖扇形的圓心角是__180__． 2．圓錐的底面半徑為10 cm，母線長30 cm，底面圓周上的螞蟻繞側面一周的最短長度是多少？ 解：如圖①，不失一般性，假設螞蟻在圖中點P處，將圓錐側面從母線OA展開，如圖②所示扇形，則P點在的中點上．過點P作PB⊥OA于點B，連接OP，易知，螞蟻繞側面一周的最短的長度l最短＝2BP. 設扇形的圓心角為n，則 π3010＝，解得n＝120，即∠AOA′＝120.則∠POB＝∠AOA′＝60， ∵OP＝30 cm，∴BP＝15 cm. ∴l(xiāng)最短＝2BP＝30 cm. 即最短長度為30 cm. 點撥精講：螞蟻繞側面一周的長度指螞蟻的起點和終點間的距離． 3．一個扇形，半徑為30 cm，圓心角為120度，用它做成一個圓錐的側面，那么這個圓錐的底面半徑為__10_cm__． 4．一個圓錐的高為3，側面展開圖是半圓，求： ①圓錐的母線與底面半徑之比；②錐角的大??；③圓錐的表面積． 解：①2∶1；②60；③18π. 點撥精講：由側面展開圖是半圓求出圓錐的母線與底面半徑之比，再利用高構造直角三角形． 二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路．(9分鐘) 1．已知扇形的圓心角為120，半徑為2，則這個扇形的面積S扇＝__π__；已知扇形面積為π，圓心角為120，則這個扇形的半徑R＝____． 2．已知扇形的半徑為5 cm，面積為20 cm2，則扇形弧長為__8__cm. 3．已知扇形的圓心角為210，弧長是28π，則扇形的面積為__336π__. 4．教材第114頁練習． 學生總結本堂課的收獲與困惑．(2分鐘) 1．圓錐的母線． 2．圓錐的側面積和全面積公式． 學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘)