4、是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故選C.
(2)因?yàn)閥＝x在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，所以a＝>b＝，因?yàn)閥＝是減函數(shù)，
所以a＝1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.
2.在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.
考點(diǎn)二 二次函數(shù)的解析式
【例2】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定該二次函數(shù)的解析式
5、.
【解析】 法一 (利用“一般式”解題)
設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由題意得解得
∴所求二次函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二 (利用“頂點(diǎn)式”解題)
設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
因?yàn)閒(2)＝f(－1)，
所以拋物線的對(duì)稱軸為x＝＝，所以m＝.
又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值8，所以n＝8，
所以y＝f(x)＝a＋8.
因?yàn)閒(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三 (利用“零點(diǎn)式”解題)
由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，
故可設(shè)f(x)＋1
6、＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函數(shù)有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍).
故所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
【解法小結(jié)】 求二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是根據(jù)已知條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)解析式的形式，一般選擇規(guī)律如下：
考點(diǎn)三 二次函數(shù)的圖象及應(yīng)用
【例3】 (1)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)與二次函數(shù)y＝(a－1)x2－x在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是( )
(2) (2017·浙江卷)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0，1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m(
7、 )
A.與a有關(guān)，且與b有關(guān)
B.與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)
C.與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān)
D.與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)
【答案】(1)A (2)B
【解析】(1)若01，則y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，
y＝(a－1)x2－x圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，
因此B項(xiàng)不正確，只有選項(xiàng)A滿足.
(2) 設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f(x)在[0，1]上的最小值點(diǎn)與最大值點(diǎn)，則m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.
∴M－m＝x－x＋a(x2－x1)
8、，顯然此值與a有關(guān)，與b無(wú)關(guān).
【解法小結(jié)】 1.研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開(kāi)口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個(gè)點(diǎn)是拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；“一線”是指對(duì)稱軸這條直線；“一開(kāi)口”是指拋物線的開(kāi)口方向.
2.求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條件.
考點(diǎn)四 二次函數(shù)的性質(zhì)
角度1 二次函數(shù)的單調(diào)性與最值
【例4－1】 (1)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]時(shí)，有最大值2，則a的值為_(kāi)_______．
(2)設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，且f
9、(m)≤f(0)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
【答案】(1)－1或2 (2)[0,2]
【解析】 (1)函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，對(duì)稱軸方程為x＝a.
當(dāng)a<0時(shí)，f(x)max＝f(0)＝1－a，
所以1－a＝2，所以a＝－1.
當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f(x)max＝a2－a＋1，
所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，
所以a＝(舍去)．
當(dāng)a>1時(shí)，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.
綜上可知，a＝－1或a＝2.
(2)依題意a≠0，二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c圖象的對(duì)稱軸是直線x＝1，因?yàn)楹瘮?shù)f(
10、x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，所以a>0，即函數(shù)圖象的開(kāi)口向上，所以f(0)＝f(2)，則當(dāng)f(m)≤f(0)時(shí)，有0≤m≤2.
角度2 二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題
【例4－2】 (1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對(duì)于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________；
(2)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，則k的取值范圍為_(kāi)_______．
【答案】(1) (2)(－∞，1)
【解析】 (1)作出二次函數(shù)f(x)的草圖如圖所示，對(duì)于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，
則有fm<0,fm+1
11、<0,
即m2+m2-1<0m+12+mm+1-1<0,
解得－k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立．
設(shè)g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
則g(x)在[－3，－1]上遞減．
∴g(x)min＝g(－1)＝1.
∴k<1.故k的取值范圍為(－∞，1)．
【解法小結(jié)】 1.二次函數(shù)最值問(wèn)題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.
2.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵
(1)一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù).
(2)兩
12、種思路都是將問(wèn)題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個(gè)思路的依據(jù)是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
【思維升華】
1.冪函數(shù)y＝xα的性質(zhì)和圖象，由于α的取值不同而比較復(fù)雜，一般可從三方面考查：
(1)α的正負(fù)：α>0時(shí)圖象經(jīng)過(guò)(0，0)點(diǎn)和(1，1)點(diǎn)，在第一象限的部分“上升”；α<0時(shí)圖象不過(guò)(0，0)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)(1，1)點(diǎn)，在第一象限的部分“下降”；
(2)曲線在第一象限的凹凸性：α>1時(shí)曲線下凹，0<α<1時(shí)曲線上凸，α<0時(shí)曲線下凹；
(3)函數(shù)的奇偶性：一般先將函數(shù)式化為正指數(shù)冪或根式形式，再根據(jù)
13、函數(shù)定義域和奇偶性定義判斷其奇偶性.
2.求二次函數(shù)的解析式就是確定函數(shù)式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值.應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件選用適當(dāng)?shù)谋磉_(dá)形式，用待定系數(shù)法確定相應(yīng)字母的值.
3.二次函數(shù)與一元二次不等式密切相關(guān)，借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可直觀地解決與不等式有關(guān)的問(wèn)題.
4.二次函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱軸緊密相連，二次函數(shù)的最值問(wèn)題要根據(jù)其圖象以及所給區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系確定.
【易錯(cuò)注意點(diǎn)】
1.冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交
14、，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).
2.對(duì)于函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a≠0，當(dāng)題目條件中未說(shuō)明a≠0時(shí)，就要討論a＝0和a≠0兩種情況.
三、【名校新題】
1.(2019·濟(jì)寧聯(lián)考)下列命題正確的是( )
A.y＝x0的圖象是一條直線
B.冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，0)，(1，1)
C.若冪函數(shù)y＝xα是奇函數(shù)，則y＝xα是增函數(shù)
D.冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限
【答案】D
【解析】 A中，點(diǎn)(0，1)不在直線上，A錯(cuò)；B中，y＝xα，當(dāng)α<0時(shí)，圖象不過(guò)原點(diǎn)，B錯(cuò)；C中，當(dāng)α<0時(shí)，y＝xα在(－∞，0)，(0，＋∞)上為減函數(shù)，C錯(cuò).冪函數(shù)圖象一
15、定過(guò)第一象限，一定不過(guò)第四象限，D正確.
2.(2019·衡水中學(xué)月考)若存在非零的實(shí)數(shù)a，使得f(x)＝f(a－x)對(duì)定義域上任意的x恒成立，則函數(shù)f(x)可能是( )
A.f(x)＝x2－2x＋1 B.f(x)＝x2－1
C.f(x)＝2x D.f(x)＝2x＋1
【答案】A
【解析】 由存在非零的實(shí)數(shù)a，使得f(x)＝f(a－x)對(duì)定義域上任意的x恒成立，可得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝≠0.只有選項(xiàng)A中，f(x)＝x2－2x＋1關(guān)于x＝1對(duì)稱.
3.(2019·杭州模擬)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]內(nèi)的最大值為－5，則a的值為( )
A.
16、 B．1或
C．－1或 D．－5或
【答案】D
【解析】f(x)＝－42－4a，對(duì)稱軸為直線x＝.
①當(dāng)≥1，即a≥2時(shí)，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，
∴f(x)max＝f(1)＝－4－a2.
令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．
②當(dāng)0<<1，即0
17、2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，則f(x)的最大值為( )
A.1 B.0 C.－1 D.2
【答案】A
【解析】f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，
∴函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最小值，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最大值，
∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1.
5．(2019·安徽名校聯(lián)考)冪函數(shù)y＝x|m－1|與y＝x(m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函數(shù)，則滿足條件的整數(shù)m的值為( )
A．0 B．1和2
C．2 D．0和3
【答案】C
18、【解析】由題意可得解得m＝2.
6.(2019·巢湖月考)已知p：|m＋1|<1，q：冪函數(shù)y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則p是q的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】 p：由|m＋1|<1得－2
19、(0，1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－＝( )
A.0 B.1 C. D.2
【答案】
【解析】 BM＝MN＝NA，點(diǎn)A(1，0)，B(0，1)，
所以M，N，
將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y＝xa，y＝xb，得a＝log，b＝log，∴a－＝log－＝0.
8.（2019濟(jì)南統(tǒng)考）若函數(shù)y=x2-3x-4的定義域?yàn)?.m，值域?yàn)?254,-4，則m的取值范圍是（ ）
A.0.4 B.32,4
C.32,+∞
20、 D.32,3
【答案】D
【解析】y=x2-3x-4=x-322-254,函數(shù)在0，32內(nèi)單調(diào)減，在32,+∞單調(diào)增，且x=32時(shí)，ymin=-254,x=0時(shí)，y=-4,由二次函數(shù)的對(duì)稱性知：x=3時(shí)，y=-4.故根據(jù)已知函數(shù)值域，所求m∈32,3
9. (2019·銀川模擬)已知冪函數(shù)f(x)＝x，若f(a＋1)
21、<5.
10.(2019·泉州質(zhì)檢)若二次函數(shù)f(x)＝ax2－x＋b(a≠0)的最小值為0，則a＋4b的取值范圍是________.
【答案】[2，＋∞)
【解析】 依題意，知a>0，且Δ＝1－4ab＝0，∴4ab＝1，且b>0.
故a＋4b≥2＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝4b，即a＝1，b＝時(shí)等號(hào)成立.
所以a＋4b的取值范圍是[2，＋∞).
11. (2018·浙江名校協(xié)作體考試)y＝的值域?yàn)閇0，＋∞)，則a的取值范圍是________．
【答案】[0,2]
【解析】當(dāng)a＝0時(shí)，y＝，值域?yàn)閇0，＋∞)，滿足條件；當(dāng)a≠0時(shí)，要使y＝的值域?yàn)閇0，＋∞)，只需解得0
22、綜上，0≤a≤2.
12.已知奇函數(shù)y＝f(x)定義域是R，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x(1－x).
(1)求出函數(shù)y＝f(x)的解析式；
(2)寫(xiě)出函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.(不用證明，只需直接寫(xiě)出遞增區(qū)間即可)
【解析】 (1)當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，
所以f(－x)＝－x(1＋x).
又因?yàn)閥＝f(x)是奇函數(shù)，
所以f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x).
綜上f(x)＝
(2)函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.
13.已知冪函數(shù)f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)當(dāng)x∈[1，2)時(shí)，記
23、f(x)，g(x)的值域分別為集合A，B，設(shè)p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要條件，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【解析】 (1)依題意得：(m－1)2＝1?m＝0或m＝2，
當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，與題設(shè)矛盾，舍去，∴m＝0.
(2)由(1)得，f(x)＝x2，
當(dāng)x∈[1，2)時(shí)，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)，
當(dāng)x∈[1，2)時(shí)，g(x)∈[2－k，4－k)，
即B＝[2－k，4－k)，
因p是q成立的必要條件，則B?A，
則即得0≤k≤1.
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是[0，1].
14.已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)
24、＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的圖象恒在函數(shù)y＝2x＋m的圖象的上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】 (1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，
則f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.
所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，
又f(0)＝1，所以c＝1.
因此f(x)的解析式為f(x)＝x2－x＋1.
(2)因?yàn)楫?dāng)x∈[－1，1]時(shí)，y＝f(x)的圖象恒在y＝2x＋m的圖象上方，
所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；
即x2－3x＋1>m在區(qū)間[－1，1]上恒成立.
所以令g(x)＝x2－3x＋1＝－，
因?yàn)間(x)在[－1，1]上的最小值為g(1)＝－1，
所以m<－1.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，－1).
11
（山東專用）2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題07 二次函數(shù)與冪函數(shù)（含解析）
