（山東專用）2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題07 二次函數(shù)與冪函數(shù)（含解析）

專題07 二次函數(shù)與冪函數(shù)一、【知識(shí)精講】1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如yx的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，為常數(shù).(2)常見的5種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)在(0，)上都有定義；當(dāng)>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)，且在(0，)上單調(diào)遞減.2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0).頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)2n(a0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n).零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn).(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)yax2bxc(a>0)yax2bxc(a<0)圖象(拋物線)定義域R值域?qū)ΨQ軸x頂點(diǎn)坐標(biāo)奇偶性當(dāng)b0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b0時(shí)是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在上是減函數(shù)；在上是增函數(shù)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù) 微點(diǎn)提醒1.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對(duì)稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).2.若f(x)ax2bxc(a0)，則當(dāng)時(shí)恒有f(x)>0，當(dāng)時(shí)，恒有f(x)<0.二、【典例精練】考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例1】 (1) 冪函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3，)，則f(x)是()A偶函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)B偶函數(shù)，且在(0，)上是減函數(shù)C奇函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)D非奇非偶函數(shù)，且在(0，)上是減函數(shù)(2)若a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c【答案】(1)C(2)D【解析】(1) (1)設(shè)f(x)x，將點(diǎn)(3，)代入f(x)x，解得，所以f(x)x，可知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)，故選C. (2)因?yàn)閥x在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，所以a>b，因?yàn)閥是減函數(shù)，所以a<c，所以b<a<c.【解法小結(jié)】1.對(duì)于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，即x1，y1，yx所分區(qū)域.根據(jù)<0，0<<1，1，>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.2.在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.考點(diǎn)二二次函數(shù)的解析式【例2】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定該二次函數(shù)的解析式.【解析】法一(利用“一般式”解題)設(shè)f(x)ax2bxc(a0).由題意得解得所求二次函數(shù)的解析式為f(x)4x24x7.法二(利用“頂點(diǎn)式”解題)設(shè)f(x)a(xm)2n(a0).因?yàn)閒(2)f(1)，所以拋物線的對(duì)稱軸為x，所以m.又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值8，所以n8，所以yf(x)a8.因?yàn)閒(2)1，所以a81，解得a4，所以f(x)484x24x7.法三(利用“零點(diǎn)式”解題)由已知f(x)10的兩根為x12，x21，故可設(shè)f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)有最大值8，即8.解得a4或a0(舍).故所求函數(shù)的解析式為f(x)4x24x7.【解法小結(jié)】求二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是根據(jù)已知條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)解析式的形式，一般選擇規(guī)律如下：考點(diǎn)三二次函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例3】 (1)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0且a1)與二次函數(shù)y(a1)x2x在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是()(2) (2017·浙江卷)若函數(shù)f(x)x2axb在區(qū)間0，1上的最大值是M，最小值是m，則Mm()A.與a有關(guān)，且與b有關(guān)B.與a有關(guān)，但與b無關(guān)C.與a無關(guān)，且與b無關(guān)D.與a無關(guān)，但與b有關(guān)【答案】(1)A(2)B【解析】(1)若0<a<1，則ylogax在(0，)上單調(diào)遞減，y(a1)x2x開口向下，其圖象的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，排除C，D.若a>1，則ylogax在(0，)上是增函數(shù)，y(a1)x2x圖象開口向上，且對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，因此B項(xiàng)不正確，只有選項(xiàng)A滿足.(2)設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f(x)在0，1上的最小值點(diǎn)與最大值點(diǎn)，則mxax1b，Mxax2b.Mmxxa(x2x1)，顯然此值與a有關(guān)，與b無關(guān).【解法小結(jié)】1.研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個(gè)點(diǎn)是拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；“一線”是指對(duì)稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.2.求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條件.考點(diǎn)四二次函數(shù)的性質(zhì)角度1二次函數(shù)的單調(diào)性與最值【例41】(1)已知函數(shù)f(x)x22ax1a在x0,1時(shí)，有最大值2，則a的值為_(2)設(shè)二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，且f(m)f(0)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【答案】(1)1或2(2)0,2【解析】(1)函數(shù)f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，對(duì)稱軸方程為xa.當(dāng)a<0時(shí)，f(x)maxf(0)1a，所以1a2，所以a1.當(dāng)0a1時(shí)，f(x)maxa2a1，所以a2a12，所以a2a10，所以a(舍去)當(dāng)a>1時(shí)，f(x)maxf(1)a，所以a2.綜上可知，a1或a2.(2)依題意a0，二次函數(shù)f(x)ax22axc圖象的對(duì)稱軸是直線x1，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，所以a>0，即函數(shù)圖象的開口向上，所以f(0)f(2)，則當(dāng)f(m)f(0)時(shí)，有0m2.角度2二次函數(shù)的恒成立問題【例42】(1)已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對(duì)于任意xm，m1，都有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_；(2)已知函數(shù)f(x)x22x1，f(x)>xk在區(qū)間3，1上恒成立，則k的取值范圍為_【答案】(1)(2)(，1)【解析】(1)作出二次函數(shù)f(x)的草圖如圖所示，對(duì)于任意xm，m1，都有f(x)<0，則有fm<0,fm+1<0,即m2+m2-1<0m+12+mm+1-1<0,解得<m<0.(2)由題意得x2x1>k在區(qū)間3，1上恒成立設(shè)g(x)x2x1，x3，1，則g(x)在3，1上遞減g(x)ming(1)1.k<1.故k的取值范圍為(，1)【解法小結(jié)】1.二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.2.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵(1)一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù).(2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個(gè)思路的依據(jù)是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.【思維升華】1.冪函數(shù)yx的性質(zhì)和圖象，由于的取值不同而比較復(fù)雜，一般可從三方面考查：(1)的正負(fù)：>0時(shí)圖象經(jīng)過(0，0)點(diǎn)和(1，1)點(diǎn)，在第一象限的部分“上升”；<0時(shí)圖象不過(0，0)點(diǎn)，經(jīng)過(1，1)點(diǎn)，在第一象限的部分“下降”；(2)曲線在第一象限的凹凸性：>1時(shí)曲線下凹，0<<1時(shí)曲線上凸，<0時(shí)曲線下凹；(3)函數(shù)的奇偶性：一般先將函數(shù)式化為正指數(shù)冪或根式形式，再根據(jù)函數(shù)定義域和奇偶性定義判斷其奇偶性.2.求二次函數(shù)的解析式就是確定函數(shù)式f(x)ax2bxc(a0)中a，b，c的值.應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件選用適當(dāng)?shù)谋磉_(dá)形式，用待定系數(shù)法確定相應(yīng)字母的值.3.二次函數(shù)與一元二次不等式密切相關(guān)，借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可直觀地解決與不等式有關(guān)的問題.4.二次函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱軸緊密相連，二次函數(shù)的最值問題要根據(jù)其圖象以及所給區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系確定.【易錯(cuò)注意點(diǎn)】1.冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).2.對(duì)于函數(shù)yax2bxc，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a0，當(dāng)題目條件中未說明a0時(shí)，就要討論a0和a0兩種情況.三、【名校新題】1.(2019·濟(jì)寧聯(lián)考)下列命題正確的是()A.yx0的圖象是一條直線B.冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(0，0)，(1，1)C.若冪函數(shù)yx是奇函數(shù)，則yx是增函數(shù)D.冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限【答案】D【解析】A中，點(diǎn)(0，1)不在直線上，A錯(cuò)；B中，yx，當(dāng)<0時(shí)，圖象不過原點(diǎn)，B錯(cuò)；C中，當(dāng)<0時(shí)，yx在(，0)，(0，)上為減函數(shù)，C錯(cuò).冪函數(shù)圖象一定過第一象限，一定不過第四象限，D正確.2.(2019·衡水中學(xué)月考)若存在非零的實(shí)數(shù)a，使得f(x)f(ax)對(duì)定義域上任意的x恒成立，則函數(shù)f(x)可能是()A.f(x)x22x1 B.f(x)x21C.f(x)2xD.f(x)2x1【答案】A【解析】由存在非零的實(shí)數(shù)a，使得f(x)f(ax)對(duì)定義域上任意的x恒成立，可得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x0.只有選項(xiàng)A中，f(x)x22x1關(guān)于x1對(duì)稱.3.(2019·杭州模擬)已知f(x)4x24ax4aa2在0,1內(nèi)的最大值為5，則a的值為()A.B1或C1或 D5或【答案】D【解析】f(x)424a，對(duì)稱軸為直線x.當(dāng)1，即a2時(shí)，f(x)在0,1上單調(diào)遞增，f(x)maxf(1)4a2.令4a25，得a±1(舍去)當(dāng)0<<1，即0<a<2時(shí)，f(x)maxf4a.令4a5，得a.當(dāng)0，即a0時(shí)，f(x)在0,1上單調(diào)遞減，f(x)maxf(0)4aa2.令4aa25，得a5或a1(舍去)綜上所述，a或5.4.(2019·安陽模擬)已知函數(shù)f(x)x24xa，x0，1，若f(x)有最小值2，則f(x)的最大值為()A.1 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】f(x)x24xa(x2)2a4，函數(shù)f(x)x24xa在0，1上單調(diào)遞增，當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得最小值，當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得最大值，f(0)a2，f(1)3a321.5(2019·安徽名校聯(lián)考)冪函數(shù)yx|m1|與yx(mZ)在(0，)上都是增函數(shù)，則滿足條件的整數(shù)m的值為()A0 B1和2C2 D0和3【答案】C【解析】由題意可得解得m2.6.(2019·巢湖月考)已知p：|m1|<1，q：冪函數(shù)y(m2m1)xm在(0，)上單調(diào)遞減，則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】p：由|m1|<1得2<m<0，冪函數(shù)y(m2m1)xm在(0，)上單調(diào)遞減，m2m11，且m<0，解得m1.p是q的必要不充分條件.7.(2019·武漢模擬)冪函數(shù)yx，當(dāng)取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間0，1上它們的圖象是一組美麗的曲線(如圖)，設(shè)點(diǎn)A(1，0)，B(0，1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)yxa，yxb的圖象三等分，即有BMMNNA，那么a()A.0 B.1 C.D.2【答案】【解析】BMMNNA，點(diǎn)A(1，0)，B(0，1)，所以M，N，將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入yxa，yxb，得alog，blog，alog0.8.（2019濟(jì)南統(tǒng)考）若函數(shù)y=x2-3x-4的定義域?yàn)?.m，值域?yàn)?254,-4，則m的取值范圍是（ ）A.0.4 B.32,4C.32,+ D.32,3【答案】D【解析】y=x2-3x-4=x-322-254,函數(shù)在0，32內(nèi)單調(diào)減，在32,+單調(diào)增，且x=32時(shí)，ymin=-254,x=0時(shí)，y=-4,由二次函數(shù)的對(duì)稱性知：x=3時(shí)，y=-4.故根據(jù)已知函數(shù)值域，所求m32,39. (2019·銀川模擬)已知冪函數(shù)f(x)x，若f(a1)<f(102a)，則a的取值范圍是_【答案】(3,5)【解析】由題意得，冪函數(shù)f(x)x的定義域?yàn)?0，)，且函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，由f(a1)<f(102a)，得解得3<a<5.10.(2019·泉州質(zhì)檢)若二次函數(shù)f(x)ax2xb(a0)的最小值為0，則a4b的取值范圍是_.【答案】2，)【解析】依題意，知a>0，且14ab0，4ab1，且b>0.故a4b22，當(dāng)且僅當(dāng)a4b，即a1，b時(shí)等號(hào)成立.所以a4b的取值范圍是2，).11. (2018·浙江名校協(xié)作體考試)y的值域?yàn)?，)，則a的取值范圍是_【答案】0,2【解析】當(dāng)a0時(shí)，y，值域?yàn)?，)，滿足條件；當(dāng)a0時(shí)，要使y的值域?yàn)?，)，只需解得0<a2.綜上，0a2.12.已知奇函數(shù)yf(x)定義域是R，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x(1x).(1)求出函數(shù)yf(x)的解析式；(2)寫出函數(shù)yf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.(不用證明，只需直接寫出遞增區(qū)間即可)【解析】(1)當(dāng)x<0時(shí)，x>0，所以f(x)x(1x).又因?yàn)閥f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)f(x)x(1x).綜上f(x)(2)函數(shù)yf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.13.已知冪函數(shù)f(x)(m1)2xm24m2在(0，)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)2xk.(1)求m的值；(2)當(dāng)x1，2)時(shí)，記f(x)，g(x)的值域分別為集合A，B，設(shè)p：xA，q：xB，若p是q成立的必要條件，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【解析】(1)依題意得：(m1)21m0或m2，當(dāng)m2時(shí)，f(x)x2在(0，)上單調(diào)遞減，與題設(shè)矛盾，舍去，m0.(2)由(1)得，f(x)x2，當(dāng)x1，2)時(shí)，f(x)1，4)，即A1，4)，當(dāng)x1，2)時(shí)，g(x)2k，4k)，即B2k，4k)，因p是q成立的必要條件，則BA，則即得0k1.故實(shí)數(shù)k的取值范圍是0，1.14.已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)當(dāng)x1，1時(shí)，函數(shù)yf(x)的圖象恒在函數(shù)y2xm的圖象的上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)設(shè)f(x)ax2bx1(a0)，則f(x1)f(x)2x，得2axab2x.所以，2a2且ab0，解得a1，b1，又f(0)1，所以c1.因此f(x)的解析式為f(x)x2x1.(2)因?yàn)楫?dāng)x1，1時(shí)，yf(x)的圖象恒在y2xm的圖象上方，所以在1，1上，x2x1>2xm恒成立；即x23x1>m在區(qū)間1，1上恒成立.所以令g(x)x23x1，因?yàn)間(x)在1，1上的最小值為g(1)1，所以m<1.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(，1).11