八年級數(shù)學(xué)下冊 1_4 角平分線 第2課時 三角形三個內(nèi)角的平分線導(dǎo)學(xué)案 （新版）北師大版

第2課時 三角形三個內(nèi)角的平分線 1．能證明三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等． 2．能利用角平分線的性質(zhì)定理及判定定理進(jìn)行相關(guān)的證明與計算． 閱讀教材P30-P31“隨堂練習(xí)”之前的內(nèi)容，完成下列問題。 自學(xué)反饋 學(xué)生獨立完成下列問題： 已知：如圖，設(shè)△ABC的角平分線．BM、CN相交于點P， 證明：P點在∠BAC的角平分線上． 證明：過P點作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足． ∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上， ∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等)． 同理：PE=PF． ∴PD=PF． ∴點P在∠BAC的平分線上(在一個角的內(nèi)部，且到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上)． 總結(jié)：在證明過程中，我們除證明了三角形的三條角平分線相交于一點外，還有什么“附帶”的成果呢? PD=PE=PF，即這個交點到三角形三邊的距離相等． 于是我們得出了有關(guān)三角形的三條角平分線的結(jié)論，即定理三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等． 活動1 小組討論 例1 已如圖，在△ABC中．AC=BC，∠C=90，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E． (1)已知CD=4 cm，求AC的長； (2)求證：AB=AC+CD． 解：（1）∵AD是△ABC的角平分線，DC⊥AC，DE⊥AB ∴DE=CD=4cm， 又∵AC=BC， ∴∠B=∠BAC， 又∵∠C=90， ∴∠B=∠B DE=45， ∴BE=DE 在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理得，BD=cm ∴AC=BC=CD+BD=4+(cm) （2）由（1）的求解過程可知： △ACD≌△AED， ∴AC=AE， 又∵BE=DE=CD ∴AB=AE+BE=AC+CD 本例需要運用前面所學(xué)的多個定理，而且將計算和證明融合在一起，目的是使學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握這些知識和方法，并能綜合運用它們解決問題．第(1)問中，求AC的長，需求出BC的長，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，DE=CD=4cm，再根據(jù)勾股定理便可求出DB的長．第(2)問中，求證AB=AC+CD．這是我們第一次遇到這種形式的證明，利用轉(zhuǎn)化的思想AB=AE+BE，所以需證AC=AE，CD=BE． 例2 直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？你如何發(fā)現(xiàn)的? 解：∵中轉(zhuǎn)站要到三條公路的距離都相等， ∴貨物中轉(zhuǎn)站必須是三條相交直線所組成的三角形的內(nèi)角或外角平分線的交點， 而外角平分線有3個交點，內(nèi)角平分線有一個交點， ∴貨物中轉(zhuǎn)站可以供選擇的地址有4個. 利用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理． 活動2 跟蹤訓(xùn)練 1.如圖,已知點P到△ABC的三條邊所在直線的距離相等,則下列說法不正確的是(　D　) A.點P在∠B的平分線上 B.點P在∠ACE的平分線上 C.點P在∠DAC的平分線上 D.點P在三邊的垂直平分線上 2.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,AD平分∠BAC交BC于點D,DE⊥AB于點E.若BC=32,且BD∶DE=9∶7,則CD的長為　14　　　　. 3.如圖,BD是∠ABC的平分線,DE⊥AB于點E,S△ABC=36 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,則DE的長是　2.4㎝ . 4.如圖,在△ABC中,N是三條角平分線的交點,EF⊥BN于點N,∠BAN=20,∠ENA=30,則∠FNC=　20　　　　. (第3題圖) (第4題圖) 5.如圖,已知AO平分∠BAC,OD⊥BC,OE⊥AB,垂足分別為D,E,且OD=OE. 求證:CO平分∠ACB. 證明：∵OD⊥BC,OE⊥AB,且OD=OE, ∴點O在∠B的平分線上. 又∵AO平分∠BAC, ∴點O是△ABC的角平分線的交點,即CO平分∠ACB(三角形的三條角平分線相交于一點). 活動3 課堂小結(jié) 本節(jié)課我們利用角平分線的性質(zhì)和判定定理證明了三角形三條角平分線交于一點，且這一點到三角形各邊的距離相等．并綜合運用我們前面學(xué)過的性質(zhì)定理等解決了幾何中的計算和證明問題． 2