（山東專(zhuān)用）2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題16 定積分與微積分基本定理（含解析）

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1、專(zhuān)題16 定積分與微積分基本定理 一、【知識(shí)精講】 1.定積分的概念與幾何意義 (1)定積分的定義 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間[a，b]等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)ξi(i＝1，2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝f(ξi)，當(dāng)n→∞時(shí)，上述和式無(wú)限接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dx＝ 在f(x)dx中，a，b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式. (2)定積分的幾何意義 f(x) f(x)

2、dx的幾何意義 f(x)≥0 表示由直線(xiàn)x＝a，x＝b，y＝0及曲線(xiàn)y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積 f(x)＜0 表示由直線(xiàn)x＝a，x＝b，y＝0及曲線(xiàn)y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù) f(x)在[a，b]上有正有負(fù) 表示位于x軸上方的曲邊梯形的面積減去位于x軸下方的曲邊梯形的面積 2.定積分的性質(zhì) (1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k為常數(shù)). (2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx. (3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b). 3.微積分基本定理 一般地，如果f(x)是在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函

3、數(shù)，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a).這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茨公式.可以把F(b)－F(a)記為F(x)，即f(x)dx＝F(x))＝F(b)－F(a). [微點(diǎn)提醒] 函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[－a，a]上連續(xù)，則有 (1)若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)dx＝2f(x)dx. (2)若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)dx＝0. 二、【典例精練】 考點(diǎn)一　定積分的計(jì)算 【例1】 (1)(cos x＋1)dx＝________. (2) （2012山東）設(shè)，若曲線(xiàn)與直線(xiàn)所圍成封閉圖形的面積為，則 ． 【答案】　(1)π　(2) 【

4、解析】(1)(cos x＋1)dx＝(sin x＋x)＝π. (2)【解析】，解得． 【解法小結(jié)】　運(yùn)用微積分基本定理求定積分時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： (1)對(duì)被積函數(shù)要先化簡(jiǎn)，再求積分； (2)若被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分“對(duì)區(qū)間的可加性”，先分段積分再求和； (3)對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù)，要先去掉絕對(duì)值符號(hào)再求積分. 考點(diǎn)二　定積分的幾何意義　 角度1　利用定積分的幾何意義計(jì)算定積分 【例2－1】 (1)計(jì)算：(2x＋)dx＝________. (2) （2013福建）當(dāng)時(shí)，有如下表達(dá)式: 兩邊同時(shí)積分得： 從而得到如下等式： 請(qǐng)根據(jù)以下材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)

5、思想方法，計(jì)算： =． 【答案】　(1)＋1　(2) 【解析】　(1)由定積分的幾何意義知， dx表示以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓的面積的，所以 dx＝，又2xdx＝x2＝1，所以(2x＋)dx＝＋1. (2)由 兩邊同時(shí)積分得： 從而得到如下等式： =． 答案角度2　利用定積分計(jì)算平面圖形的面積 【例2－2】 （2014山東）直線(xiàn)與曲線(xiàn)在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】由得，、或（舍去），直線(xiàn)與曲線(xiàn)在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積． 【解法小結(jié)】　1.運(yùn)用定積分的幾何意

6、義求定積分，當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)不易找到時(shí)常用此方法求定積分. 2.利用定積分求曲邊梯形面積的基本步驟：畫(huà)草圖、解方程得積分上、下限，把面積表示為已知函數(shù)的定積分(注意：兩曲線(xiàn)的上、下位置關(guān)系，分段表示的面積之間的關(guān)系). 考點(diǎn)三　定積分在物理中的應(yīng)用 【例3】 (1)物體A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直線(xiàn)l上運(yùn)動(dòng)，物體B在直線(xiàn)l上，且在物體A的正前方5 m處，同時(shí)以v＝10t(m/s)的速度與A同向運(yùn)動(dòng)，出發(fā)后，物體A追上物體B所用的時(shí)間t(s)為(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 (2)設(shè)變力F(x)作用在質(zhì)點(diǎn)M上，使M沿x軸正向從x＝1運(yùn)動(dòng)到x＝10，已

7、知F(x)＝x2＋1且方向和x軸正向相同，則變力F(x)對(duì)質(zhì)點(diǎn)M所做的功為_(kāi)_______ J(x的單位：m，力的單位：N). 【答案】　(1)C　(2)342 【解析】(1)因?yàn)槲矬wA在t秒內(nèi)行駛的路程為(3t2＋1)dt，物體B在t秒內(nèi)行駛的路程為10tdt. 所以(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)＝t3＋t－5t2＝5. 整理得(t－5)(t2＋1)＝0，解得t＝5. (2)變力F(x)＝x2＋1使質(zhì)點(diǎn)M沿x軸正向從x＝1運(yùn)動(dòng)到x＝10所做的功為 W＝F(x)dx＝(x2＋1)dx＝＝342(J). 【解法小結(jié)】　定積分在物理中的兩個(gè)應(yīng)用 (1)變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)

8、的位移：如果變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)物體的速度為v＝v(t)，那么從時(shí)刻t＝a到t＝b所經(jīng)過(guò)的位移s＝v(t)dt. (2)變力做功：一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同方向從x＝a移動(dòng)到x＝b時(shí)，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx. 【思維升華】 1.定積分是一個(gè)數(shù)值(極限值)，它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān). 2.f(x)dx、|f(x)|dx與|f(x)dx|在幾何意義上有不同的含義，由于被積函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上可正可負(fù)，也就是它的圖象可以在x軸上方、也可以在x軸下方、還可以在x軸的上下兩側(cè)，所以f(x)dx表示由x軸、函數(shù)

9、f(x)的曲線(xiàn)及直線(xiàn)x＝a，x＝b(a≠b)之間各部分面積的代數(shù)和；而|f(x)|是非負(fù)的，所以|f(x)|dx表示在區(qū)間[a，b]上所有以|f(x)|為曲邊的正曲邊梯形的面積；而|f(x)dx|則是f(x)dx的絕對(duì)值，三者的值一般情況下是不相同的. 【易錯(cuò)注意點(diǎn)】 1.若定積分的被積函數(shù)是分段函數(shù)，應(yīng)分段積分然后求和. 2.若積分式子中有幾個(gè)不同的參數(shù)，則必須先分清誰(shuí)是被積變量. 3.定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負(fù)，而定積分的結(jié)果可以為負(fù). 三、【名校新題】 1.(2019·西安調(diào)研)定積分(2x＋ex)dx的值為(　　) A.e＋2 B.e＋1

10、 C.e D.e－1 【答案】C 【解析】　(2x＋ex)dx＝(x2＋ex))＝1＋e1－1＝e. 2.(2019·鄭州模擬)汽車(chē)以v＝(3t＋2) m/s做變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，在第1 s至第2 s之間的1 s內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程是(　　) A. m B.6 m C. m D.7 m 【答案】A 【解析】　s＝(3t＋2)dt＝＝×4＋4－＝10－＝(m). 3.(2018·青島月考)直線(xiàn)y＝4x與曲線(xiàn)y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積S，正確的是(　　) A.S＝(4x－x3)dx B.S＝(x3－4x)dx C.S＝dy D.S＝dy 【答案】A 【解析】

11、　兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0，0)，(2，8)，故對(duì)x積分時(shí)，積分上限是2、下限是0，由于在[0，2]上，4x≥x3，故直線(xiàn)y＝4x與曲線(xiàn)y＝x3所圍成的封閉圖形的面積 S＝(4x－x3)dx. 4.(2019·安陽(yáng)模擬)若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sin xdx，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A.a

12、2dx,T=0Msin 2xdx,則T的值為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.12 B.-12 C.-1 D.1 【答案】　A　 【解析】先求出M=π4，∴T=0π4sin2xdx=-12cosπ2-1=12 6.(2019屆山東日照一中第二次質(zhì)量達(dá)標(biāo)檢測(cè))在函數(shù)y=cos x,x∈-π2,π2的圖象上有一點(diǎn)P(t,cos t),若該函數(shù)的圖象與x軸、直線(xiàn)x=t,圍成圖形(如圖陰影部分)的面積為S,則函數(shù)S=g(t)的圖象大致是(　　) 【答案】　B　 【解析】因?yàn)間（t）=-π2tcostdt=sint+1，所以圖像是B. 7.(2019屆吉林

13、長(zhǎng)春實(shí)驗(yàn)中學(xué)上學(xué)期期中,6)設(shè)f(x)=1π1-x2,x∈[0,1],2-x,x∈(1,2],則02f(x)dx等于(　　) A.34 B.45 C.56 D.0 【答案】　A　 【解析】原式=011π1-x2dx+122-xdx=1π×π4+2×2-222-2×1-12=34 8.(2018山東菏澤第一次模擬)若3x+1xxn(n∈N*)的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng),且n的最小值為a, 則-aaa2-x2dx=(　　) A.36π B.81π2 C.25π2 D.25π 【答案】　C　 【解析】可求出a=5,由定積分的幾何意義知：所求定積分為半徑為5的半圓的面積，為12π×52=25

14、π2. 9.（荊州市2019屆高三聯(lián)考） 已知函數(shù)，若函數(shù) 的零點(diǎn)都在區(qū)間 內(nèi)，當(dāng)取最小值時(shí)，等于（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】：B 【解析】 ，可知當(dāng)時(shí)，成立，又 ，可知當(dāng)時(shí)，成立，所以對(duì)任意，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，，，所以的零點(diǎn)位于區(qū)間，所以函數(shù) 的零點(diǎn)位于區(qū)間，即，所以 10.(2019·昆明診斷)若x2dx＝9，則常數(shù)a的值為_(kāi)_______. 【答案】-3 【解析】　x2dx＝x3＝－a3＝9，∴a3＝－27，a＝－3. 11.(2019·濟(jì)南模擬)設(shè)a>0，若曲線(xiàn)y＝與直線(xiàn)x＝a，y＝0所圍成封閉圖形的面積為a2

15、，則a＝________. 【答案】　 【解析】封閉圖形如圖所示，則dx＝x＝a－0＝a2，解得a＝. 12.(2019·廣州調(diào)研)設(shè)f(x)＝則f(x)dx的值為_(kāi)_______. 【答案】　＋ 【解析】　f(x)dx＝dx＋(x2－1)dx ＝π×12＋＝＋. 13.(2019·長(zhǎng)春模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線(xiàn)y＝x與直線(xiàn)x＝1及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，圓錐的體積V圓錐＝πx2dx＝x3＝.據(jù)此類(lèi)比：將曲線(xiàn)y＝2 ln x與直線(xiàn)y＝1及x軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，該旋轉(zhuǎn)體的體積V＝________. 【答案】π(e－

16、1) 【解析】　類(lèi)比已知結(jié)論，將曲線(xiàn)y＝2ln x與直線(xiàn)y＝1及x軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)為一定積分，被積函數(shù)為π(e)2＝πey，積分變量為y，積分區(qū)間為[0，1]，即V＝πeydy＝πey＝π(e－1). 14.(2019屆安徽皖南八校第一次聯(lián)考)用min{a,b}表示a,b兩個(gè)數(shù)中的最小數(shù),設(shè)f(x)=min1x,xx≥14,則由函數(shù)f(x)的圖象,x軸,直線(xiàn)x=14和直線(xiàn)x=2所圍成的封閉圖形的面積為　　　　.? 【答案】　712+ln 2 【解析】S=141xdx+121xdx=231-1432+ln2-ln1=712+ln2. 15.(2019屆江西新余第四中學(xué)月考)由x=-π3,x=π3,y=0,y=cos x四條曲線(xiàn)所圍成的封閉圖形的面積為　　　　.? 【答案】　3 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=cosx在-π3，π3上為偶函數(shù)，所以所求面積S=20π3cosxdx=2sinπ3=3 16.（黃山市普通高中2019屆高三“八校聯(lián)考”）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則________． 【答案】23 【解析】由題意可求出a=1,∴01xdx=23×1=23 8