（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題一 高頻客觀命題點(diǎn) 1.5 不等式與線性規(guī)劃練習(xí) 文

1.5不等式與線性規(guī)劃高考命題規(guī)律1.每年必考考題,以線性規(guī)劃為主要考點(diǎn).2.填空題或選擇題,5分,難度中高檔.3.全國(guó)高考有6種命題角度,分布如下表.2020年高考必備2015年2016年2017年2018年2019年卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷命題角度1不等式的性質(zhì)與解不等式8命題角度2均值不等式命題角度3簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題151414137751414151311命題角度4非線性規(guī)劃問題命題角度5含參數(shù)的線性規(guī)劃問題命題角度6利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題16命題角度1不等式的性質(zhì)與解不等式高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2016全國(guó)·8)若a>b>0,0<c<1,則()A.logac<logbcB.logca<logcbC.ac<bcD.ca>cb答案B解析對(duì)于A,logac=1logca,logbc=1logcb.0<c<1,對(duì)數(shù)函數(shù)y=logcx在(0,+)上為減函數(shù),若0<b<a<1,則0<logca<logcb,1logca>1logcb,即logac>logbc;若0<b<1<a,則logca<0,logcb>0,1logca<1logcb,即logac<logbc;若1<b<a,則logca<logcb<0,1logca>1logcb,即logac>logbc.故A不正確;由以上解析可知,B正確;對(duì)于C,0<c<1,冪函數(shù)y=xc在(0,+)上為增函數(shù).a>b>0,ac>bc,故C不正確;對(duì)于D,0<c<1,指數(shù)函數(shù)y=cx在R上為減函數(shù).a>b>0,ca<cb,故D不正確.2.(2014四川·5)若a>b>0,c<d<0,則一定有()A.ac>bdB.ac<bdC.ad>bcD.ad<bc答案D解析c<d<0,-c>-d>0,0<1-c<1-d.即1-d>1-c>0.又a>b>0,a-d>b-c,ad<bc.典題演練提能·刷高分1.已知集合A=x|x2-2x-30,B=x|y=lg x,則AB=()A.-1,+)B.(0,1C.-1,0)D.(0,3答案D解析由題意知A=x|x2-2x-30=x|-1x3,B=x|y=lgx=x|x>0,AB=x|0<x3=(0,3.故選D.2.已知a<b<0,則下列不等式中恒成立的是()A.1a>1bB.-a<-bC.2a>2bD.a3>b3答案A解析a<b<0,1a>1b,故A正確;-a>-b,故B不正確;函數(shù)y=2a是增函數(shù),故2a<2b,故C不正確;函數(shù)y=x3是增函數(shù),故a3<b3,所以D不正確.故選A.3.實(shí)數(shù)x,y滿足x>y>0,則()A.1x>1yB.x-y<x-yC.12x>12yD.x2<xy答案B解析選項(xiàng)A中,由x>y>0得1x-1y=y-xxy<0,所以1x<1y,故A不正確.選項(xiàng)B中,將不等式兩邊平方得x+y-2xy<x-y,整理得y<xy,所以y<x,由于x>y>0,所以上式成立,故B正確.選項(xiàng)C中,由x>y>0得12x<12y,故C不正確.選項(xiàng)D中,由x>y>0得x2-xy=x(x-y)>0,所以x2>xy,故D不正確.故選B.4.設(shè)全集U=R,集合A=xx+13-x0,B=x142x8,則(UA)B為()A.(-1,3)B.-2,-1C.-2,3)D.-2,-1)3答案D解析由題意得A=xx+13-x0=x|-1x<3,B=x|2-22x8=x|-2x3,UA=x|x<-1或x3,(UA)B=x|-2x<-13.故選D.5.已知c3a<c3b<0,則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是()A.|b|>|a|B.ac>bcC.a-bc>0D.ln ab>0答案D解析因?yàn)閏3a<c3b<0,當(dāng)c<0時(shí),1a>1b>0,即b>a>0,|b|>|a|,ac>bc,a-bc>0成立,此時(shí)0<ab<1,lnab<0,故選D.6.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式(a-2)x2-2(a-2)-4<0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-,2)B.(-,2C.(-2,2D.(-2,2)答案C解析當(dāng)a-2=0,即a=2時(shí),原不等式變?yōu)?4<0,顯然不等式恒成立,此時(shí)符合題意.當(dāng)a-20,即a2時(shí),因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式(a-2)x2-2(a-2)-4<0恒成立,所以a-2<0,=-2(a-2)2-4(a-2)×(-4)<0,解得a<2,-2<a<2.-2<a<2.綜上可得-2<a2.故選C.命題角度2均值不等式高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2019天津·13)設(shè)x>0,y>0,x+2y=4,則(x+1)(2y+1)xy的最小值為. 答案92解析(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy.x+2y=4,422xy,2xy4.1xy12.2+5xy2+52=92.2.(2017江蘇·10)某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸,每次購(gòu)買x噸,運(yùn)費(fèi)為6萬元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x的值是. 答案30解析一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為4x+600x×6=4x+900x4×2900=240,當(dāng)且僅當(dāng)x=900x,即x=30時(shí)等號(hào)成立.典題演練提能·刷高分1.函數(shù)f(x)=x2+4|x|的最小值為()A.3B.4C.6D.8答案B解析f(x)=x2+4|x|=|x|+4|x|24=4,故選B.2.若lg a+lg b=0且ab,則2a+1b的取值范圍為()A.22,+B.22,+C.22,3(3,+)D.22,3(3,+)答案A解析lga+lgb=0且ab,lgab=0,即ab=1.2a+1b·ab=2b+a22ab=22,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=2時(shí)取等號(hào).2a+1b的取值范圍為22,+.3.已知三點(diǎn)A(1,-2),B(a,-1),C(-b,0)共線,則1+2aa+2+bb(a>0,b>0)的最小值為()A.11B.10C.6D.4答案A解析由A(1,-2),B(a,-1),C(-b,0)共線得-21+b=-1+2a-1,2a+b=1,1+2aa+2+bb=4a+ba+4a+3bb=7+ba+4ab7+2ba·4ab=11,當(dāng)且僅當(dāng)ba=4ab,2a+b=1a=14,b=12時(shí)取等號(hào),故選A.4.已知a>0,b>0,3a+b=2ab,則a+b的最小值為. 答案2+3解析由3a+b=2ab得32b+12a=1,故(a+b)32b+12a=2+3a2b+b2a2+3.5.要制作一個(gè)容積為4 m3,高為1 m 的無蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米200元,側(cè)面造價(jià)是每平方米100元,則該容器的最低總造價(jià)是元. 答案1 600解析設(shè)長(zhǎng)方體的底面的長(zhǎng)為xm,則寬為4xm,總造價(jià)為y元,則y=4×200+2×100×x+4x800+400×x·4x=1600,當(dāng)且僅當(dāng)x=4x,即x=2時(shí),等號(hào)成立,故答案為1600元.6.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足2a>b,且ab=12,則4a2+b2+12a-b的最小值為. 答案23解析由題意得2a-b>0,4a2+b2+12a-b=4a2+b2-4ab+32a-b=(2a-b)2+32a-b=(2a-b)+32a-b23,當(dāng)且僅當(dāng)2a-b=32a-b時(shí)等號(hào)成立.命題角度3簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2019全國(guó)·11)記不等式組x+y6,2x-y0表示的平面區(qū)域?yàn)镈.命題p:(x,y)D,2x+y9;命題q:(x,y)D,2x+y12.下面給出了四個(gè)命題pq􀱑pqp􀱑q􀱑p􀱑q這四個(gè)命題中,所有真命題的編號(hào)是()A.B.C.D.答案A解析如圖,不等式組表示的平面區(qū)域D為圖中陰影部分.作出直線2x+y=9與直線2x+y=12,可知兩直線均通過平面區(qū)域D,所以p真,q假,􀱑p假,􀱑q真,故真,假.故選A.2.(2019天津·2)設(shè)變量x,y滿足約束條件x+y-20,x-y+20,x-1,y-1,則目標(biāo)函數(shù)z=-4x+y的最大值為()A.2B.3C.5D.6答案C解析畫出可行域如圖,平移目標(biāo)函數(shù)z=-4x+y可知過點(diǎn)A時(shí)取得最大值,由x=-1,x-y+2=0,得A(-1,1).zmax=-4×(-1)+1=5.故選C.3.(2017全國(guó)·5)設(shè)x,y滿足約束條件3x+2y-60,x0,y0,則z=x-y的取值范圍是()A.-3,0B.-3,2C.0,2D.0,3答案B解析畫出不等式組表示的可行域,如圖.結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A(0·3)處取得最小值z(mì)=0-3=-3,在點(diǎn)B(2,0)處取得最大值z(mì)=2-0=2.故選B.4.(2019北京·10)若x,y滿足x2,y-1,4x-3y+10,則y-x的最小值為,最大值為. 解析作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè)z=y-x,則y=x+z.當(dāng)直線l0:y=x+z經(jīng)過點(diǎn)A(2,-1)時(shí),z取最小值-3,經(jīng)過點(diǎn)B(2,3)時(shí),z取最大值1.答案-315.(2019全國(guó)·13)若變量x,y滿足約束條件2x+3y-60,x+y-30,y-20,則z=3x-y的最大值是. 答案9解析畫出可行域?yàn)閳D中陰影部分,z=3x-y表示直線3x-y-z=0的縱截距的相反數(shù),當(dāng)直線3x-y-z=0過點(diǎn)C(3,0)時(shí),z取得最大值9.6.(2018全國(guó)·14)若x,y滿足約束條件x-2y-20,x-y+10,y0,則z=3x+2y的最大值為. 答案6解析作出可行域,如圖陰影部分所示(包括邊界).由z=3x+2y,得y=-32x+12z,作直線y=-32x并向上平移,顯然l過點(diǎn)B(2,0)時(shí),z取最大值,zmax=3×2+0=6.7.(2018全國(guó)·14)若x,y滿足約束條件x+2y-50,x-2y+30,x-50.則z=x+y的最大值為. 答案9解析由題意,作出可行域如圖.要使z=x+y取得最大值,當(dāng)且僅當(dāng)過點(diǎn)(5,4)時(shí),zmax=9.8.(2018全國(guó)·15)若變量x,y滿足約束條件2x+y+30,x-2y+40,x-20,則z=x+13y的最大值是. 答案3解析畫出可行域,如圖中陰影部分所示.又z=x+13yy=-3x+3z,當(dāng)過點(diǎn)B(2,3)時(shí),zmax=2+13×3=3.典題演練提能·刷高分1.(2019四川內(nèi)江高三三模)若x,y滿足x+y1,x-y1,x0,則z=x-2y的最大值是()A.1B.-1C.2D.-2答案C解析畫出可行域(如圖),由z=x-2y,得y=12x-12z.由圖可知,當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)A(0,-1)時(shí),z最大,且最大值為zmax=0-2×(-1)=2.故選C.2.(2019天津和平區(qū)高三模擬)設(shè)x,y滿足約束條件x-y-20,2x-y+30,x+y0,則y+4x+6的取值范圍是()A.-13,1B.-3,1C.(-,-31,+)D.-37,1答案B解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,目標(biāo)函數(shù)z=y+4x+6表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P(-6,-4)之間連線的斜率,數(shù)形結(jié)合可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)C(-1,1)處取得最大值1+4-1+6=1.目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A(-5,-7)處取得最小值-7+4-5+6=-3,故目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是-3,1.故選B.3.若實(shí)數(shù)x,y滿足2x-y+10,x+y0,x0,則z=|x-y|的最大值是()A.0B.1C.23D.13答案B解析作可行域如圖,則|x-y|=y-x,所以直線z=y-x過點(diǎn)A(0,1)時(shí),z取最大值1,故選B.4.已知向量a=(1,2),b=(x,y),且實(shí)數(shù)x,y滿足y0,yx,x+y-30,則z=a·b的最大值為. 答案92解析a=(1,2),b=(x,y),z=a·b=x+2y.所以y=-12x+12z,作出不等式組y0,yx,x+y-30所表示的平面區(qū)域.由y=x,x+y-3=0得x=y=32,結(jié)合圖形可知,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A32,32時(shí)縱截距最大,此時(shí)(x+2y)max=32+2×32=92.5.若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組y0,2x-y+30,x+y-10,則z=2y-|x|的最小值是. 答案-32解析畫出不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示.當(dāng)x0時(shí),z=2y-|x|=2y-x,可得y=x2+z2,平移直線y=x2+z2,結(jié)合圖形可得當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)B(1,0)時(shí),直線在y軸上的截距最小,此時(shí)z取得最小值,且zmin=-1.當(dāng)x<0時(shí),z=2y-|x|=2y+x,可得y=-x2+z2,平移直線y=-x2+z2,結(jié)合圖形可得當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)A-32,0時(shí),直線在y軸上的截距最小,此時(shí)z取得最小值,且zmin=-32.綜上可得zmin=-32.命題角度4非線性規(guī)劃問題高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2016山東·4)若變量x,y滿足x+y2,2x-3y9,x0,則x2+y2的最大值是()A.4B.9C.10D.12答案C解析如圖,作出不等式組所表示的可行域(陰影部分),設(shè)可行域內(nèi)任一點(diǎn)P(x,y),則x2+y2的幾何意義為|OP|2.顯然,當(dāng)P與A重合時(shí),取得最大值.由x+y=2,2x-3y=9,解得A(3,-1).所以x2+y2的最大值為32+(-1)2=10.故選C.2.(2015全國(guó)·15)若x,y滿足約束條件x-10,x-y0,x+y-40,則yx的最大值為. 答案3解析畫出約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域(如圖),點(diǎn)A為(1,3),要使yx最大,則y-0x-0最大,即過點(diǎn)(x,y),(0,0)兩點(diǎn)的直線斜率最大,由圖形知當(dāng)該直線過點(diǎn)A時(shí),yxmax=3-01-0=3.典題演練提能·刷高分1.(2019四川綿陽三診)已知變量x,y滿足x0,|y|1,x+y-20,則x2+y2的最大值為()A.10B.5C.4D.2答案A解析作出變量x,y滿足x0,|y|1,x+y-20所對(duì)應(yīng)的可行域(如圖陰影部分),由x+y-2=0,y=-1,解得A(3,-1).而z=x2+y2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,由數(shù)形結(jié)合可得最大距離為OA=32+(-1)2=10,即z=x2+y2的最大值為10.故選A.2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x-y+10,x+y-10,3x-y-30,則使不等式kx-y+k1恒成立的實(shí)數(shù)k的取值集合是()A.-,12B.-,14C.(-,1D.(-,2答案A解析作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖,由圖象知x0,由不等式kx-y+k1恒成立,得k(x+1)1+y,即ky+1x+1,設(shè)z=y+1x+1,則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D(-1,-1)的斜率,由圖象知AD的斜率最小,由x+y-1=0,3x-y-3=0,得x=1,y=0,即A(1,0),此時(shí)z的最小值為z=0+11+1=12,即k12,即實(shí)數(shù)k的取值范圍是-,12.故選A.3.已知變量x,y滿足x-y2,x+2y+20,2x-y-40,若方程x2+y2+6y-k=0有解,則實(shí)數(shù)k的最小值為()A.45-455B.-295C.45+33D.165答案B解析由題意,可作出約束條件的區(qū)域圖,如圖所示,由方程x2+y2+6y-k=0,得x2+(y+3)2=9+k,由此問題可轉(zhuǎn)化為求區(qū)域圖內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)C(0,3)的距離最小時(shí)實(shí)數(shù)k的值,結(jié)合圖形,點(diǎn)C到直線x+2y+2=0的距離d=|0-2×3+2|5=45為所求,則有9+k=452,解得k=-295.故選B.4.(2019河南鶴壁高中模擬)已知A(2,1),設(shè)P(x,y)為可行域x0,3x+2y7,4x-y2內(nèi)一點(diǎn),則OP·OA的最大值為()A.-2B.2C.4D.5答案C解析由題意作出其平面區(qū)域,由3x+2y=7,4x-y=2,解得M(1,2).OP·OA=z=2x+y,由線性規(guī)劃知識(shí)知經(jīng)過點(diǎn)M時(shí),z取得最大值,此時(shí)x=1,y=2時(shí),z=2x+y有最大值2×1+2=4,故選C.5.若x,y滿足約束條件x-10,x-y0,x+y-40,則yx+1的最大值為. 答案32解析作出可行域,如圖ABC內(nèi)部(含邊界),P(-1,0),A(1,1),C(1,3),yx+1表示可行域內(nèi)點(diǎn)(x,y)與P(-1,0)的連線的斜率,kPC=3-01-(-1)=32,因此yx+1的最大值為32.命題角度5含參數(shù)的線性規(guī)劃問題高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2015重慶·10)若不等式組x+y-20,x+2y-20,x-y+2m0表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?且其面積等于43,則m的值為()A.-3B.1C.43D.3答案B解析如圖,要使不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?則不等式x-y+2m0表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€x-y+2m=0下方的區(qū)域,且-2m<2,即m>-1.這時(shí)平面區(qū)域?yàn)槿切蜛BC.由x+y-2=0,x+2y-2=0,解得x=2,y=0,則A(2,0).由x+y-2=0,x-y+2m=0,解得x=1-m,y=1+m,則B(1-m,1+m).同理C2-4m3,2+2m3,M(-2m,0).因?yàn)镾ABC=SABM-SACM=12·(2+2m)·(1+m)-2+2m3=(m+1)23,由已知得(m+1)23=43,解得m=1(m=-3<-1舍去).2.(2014全國(guó)·11)設(shè)x,y滿足約束條件x+ya,x-y-1,且z=x+ay的最小值為7,則a=()A.-5B.3C.-5或3D.5或-3答案B解析當(dāng)a=0時(shí)顯然不滿足題意.當(dāng)a1時(shí),畫出可行域(如圖(1)所示的陰影部分),又z=x+ay,所以y=-1ax+1az,因此當(dāng)直線y=-1ax+1az經(jīng)過可行域中的Aa-12,a+12時(shí),z取最小值,于是a-12+a·a+12=7,解得a=3(a=-5舍去);當(dāng)0<a<1時(shí),畫出可行域(如圖(2)所示的陰影部分),顯然直線y=-1ax+1az的截距沒有最小值,不合題意;當(dāng)a<0時(shí),畫出可行域(如圖(3)所示的陰影部分),圖(1)圖(2)又z=x+ay,所以y=-1ax+1az,顯然直線y=-1ax+1az的截距沒有最大值,即z沒有最小值,不合題意.綜上,a的值為3,故選B.圖(3)典題演練提能·刷高分1.(2019湖南師范大學(xué)附中高三模擬)若x,y滿足約束條件x+2y-20,x-3y+30,2x-y-40,目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點(diǎn)(2,0)處取得最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.-2,12B.-13,00,12C.0,12D.-13,12答案A解析如圖,可行域?yàn)锳BC.當(dāng)a=0時(shí),符合題意;當(dāng)a>0時(shí),由z=ax+y變形得y=-ax+z,可知-a>-12,得0<a<12;當(dāng)a<0時(shí),由z=ax+y變形得y=-ax+z,可知-a<2,得-2<a<0.綜上得-2<a<12.故選A.2.實(shí)數(shù)x,y滿足x0,y0,x+y-c0,且x-y的最大值不小于1,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是()A.c-1B.c-1C.c-2D.c-2答案A解析作出可行域,如圖所示,令z=x-y,則y=x-z,當(dāng)直線經(jīng)過B(0,c)時(shí),z=x-y取到最大值,0-c1,即c-1,故選A.3.已知x,y滿足約束條件x-y+20,x1,x+y+k0,則z=x+3y的最大值是最小值的-2倍,則k=. 答案1解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)C(1,3)處取得最大值,在點(diǎn)B(1,-1-k)處取得最小值,所以zmax=1+3×3=10,zmin=1+3×(-1-k)=-2-3k,根據(jù)題意有10=-2(-2-3k),解得k=1.4.(2019廣東廣州高三模擬)已知關(guān)于x,y的不等式組2x-y+10,x+m0,y+20,表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0,y0),滿足x0-2y0=2,則m的取值范圍是. 答案-,43解析作出x,y的不等式組2x-y+10,x+m0,y+20,對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示.交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-m,-2),直線x-2y=2的斜率為12,斜截式方程為y=12x-1.要使平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0,y0)滿足x0-2y0=2,則點(diǎn)C(-m,-2)必在直線x-2y=2的下方,即-2-12m-1,解得m2,并且A在直線的上方,即A(-m,1-2m),可得1-2m-12m-1,解得m43,故m的取值范圍是-,43.命題角度6利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題高考真題體驗(yàn)·對(duì)方向1.(2016全國(guó)·16)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5個(gè)工時(shí);生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3個(gè)工時(shí).生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2 100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg,乙材料90 kg,則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為元. 答案216 000解析設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品Ax件,生產(chǎn)產(chǎn)品By件,由題意得1.5x+0.5y150,x+0.3y90,5x+3y600,x,yN,即3x+y300,10x+3y900,5x+3y600,x,yN.目標(biāo)函數(shù)z=2100x+900y,畫出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域(如圖陰影部分中的整數(shù)點(diǎn)所示),作直線y=-73x,當(dāng)直線過5x+3y=600與10x+3y=900的交點(diǎn)時(shí),z取最大值,由5x+3y=600,10x+3y=900,解得x=60,y=100,所以zmax=2100×60+900×100=216000.2.(2017天津·16)電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇,每次播放連續(xù)劇時(shí),需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí),連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)、廣告播放時(shí)長(zhǎng)、收視人次如下表所示:連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)(分鐘)廣告播放時(shí)長(zhǎng)(分鐘)收視人次(萬)甲70560乙60525已知電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600分鐘,廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘,且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍.分別用x,y表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù).(1)用x,y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;(2)問電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次,才能使總收視人次最多?解(1)由已知,x,y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為70x+60y600,5x+5y30,x2y,x0,y0,即7x+6y60,x+y6,x-2y0,x0,y0,該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D1中的陰影部分:圖1(2)設(shè)總收視人次為z萬,則目標(biāo)函數(shù)為z=60x+25y.考慮z=60x+25y,將它變形為y=-125x+z25,這是斜率為-125,隨z變化的一族平行直線.z25為直線在y軸上的截距,當(dāng)z25取得最大值時(shí),z的值最大.又因?yàn)閤,y滿足約束條件,所以由圖2可知,當(dāng)直線z=60x+25y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí),截距z25最大,即z最大.解方程組7x+6y=60,x-2y=0,得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,3).所以,電視臺(tái)每周播出甲連續(xù)劇6次,乙連續(xù)劇3次時(shí)才能使總收視人次最多.圖2典題演練提能·刷高分1.電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇,每次播放連續(xù)劇時(shí),需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí),連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)、廣告播放時(shí)長(zhǎng)、收視人次如下表所示:連續(xù)劇連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)/min廣告播放時(shí)長(zhǎng)/min收視人次/萬人甲70560乙60525電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)長(zhǎng)不多于600 min,廣告的總播放時(shí)長(zhǎng)不少于30 min,且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍,分別用x,y表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù),要使總收視人次最多,則電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)分別為()A.6,3B.5,2C.4,5D.2,7答案A解析依題意得70x+60y600,5x+5y30,x2y,x0,y0,目標(biāo)函數(shù)為z=60x+25y,畫出可行域如下圖所示,由圖可知,目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)(6,3)處取得最大值.故選A.2.某貨運(yùn)員擬運(yùn)送甲、乙兩種貨物,每件貨物的體積、質(zhì)量、可獲利潤(rùn)如下表所示:體積(升/件)質(zhì)量(千克/件)利潤(rùn)(元/件)甲20108乙102010在一次運(yùn)輸中,貨物總體積不超過110升,總質(zhì)量不超過100千克,那么在合理的安排下,一次運(yùn)輸獲得的最大利潤(rùn)為元. 答案62解析設(shè)運(yùn)送甲種貨物x件,乙種貨物y件,利潤(rùn)為z,則由題意得20x+10y110,10x+20y100,x,yN,即2x+y11,x+2y10,x,yN,且z=8x+10y,作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示,由2x+y=11,x+2y=10,得x=4,y=3,即B(4,3),由z=8x+10y得y=-45x+z10,平移直線y=-45x+z10,由圖可知當(dāng)直線y=-45x+z10,經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),直線的截距最大,此時(shí)z最大,故zmax=8×4+10×3=62,一次運(yùn)輸獲得的最大利潤(rùn)為62元.31