（山東專用）2020年高考數學一輪復習 專題08 指數與指數函數（含解析）

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1、專題08 指數與指數函數 一、【知識精講】 1.根式 (1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指數，a叫做被開方數. (2)性質：()n＝a(a使有意義)；當n為奇數時，＝a，當n為偶數時，＝|a|＝ 2.分數指數冪 (1)規(guī)定：正數的正分數指數冪的意義是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數的負分數指數冪的意義是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分數指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義. (2)有理指數冪的運算性質：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 3.指數函數及其性質 (1)概念：函數y＝

2、ax(a>0且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，函數的定義域是R，a是底數. (2)指數函數的圖象與性質 a>1 00時，y>1； 當x<0時，01； 當x>0時，00，且a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0，1)，. 2.在第一象限內，指數函數y＝ax(a>0且a≠1)的圖象越高，底數越大

3、. 二、【典例精練】 考點一　指數冪的運算 【例1】 化簡下列各式： (1)＋2－2·－(0.01)0.5； (2)(－6ab)÷. 【解析】(1)原式＝1＋×－ ＝1＋×－＝1＋－＝. (2) 原式＝[2×(－6)÷(－3)]ab＝4ab0＝4a. 【解法小結】　1.指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統(tǒng)一為分數指數冪，以便利用法則計算，但應注意：(1)必須同底數冪相乘，指數才能相加；(2)運算的先后順序. 2.當底數是負數時，先確定符號，再把底數化為正數. 3.運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數. 考點二　指數函數的圖象及應用 【例2】

4、(1) 若函數y＝21－x＋m的圖象不經過第一象限，則m的取值范圍________． 【答案】(－∞，－2] 【解析】y＝21－x＋m＝x－1＋m，函數y＝x－1的圖象如圖所示， 則要使其圖象不經過第一象限， 則m≤－2. 故m的取值范圍為(－∞，－2]． (2)若函數f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數b的取值范圍是________. 【答案】(0，2) 【解析】在同一平面直角坐標系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示. ∴當0

5、】　1.對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到.特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論. 2.有關指數方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數型函數圖象，數形結合求解. 考點三　指數函數的性質及應用　 角度1　指數函數的單調性 【例3－1】 (1) (2016·全國卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，則(　　) A．b

6、 【解析】　(1)　因為a＝2，b＝4＝2，由函數y＝2x在R上為增函數知，b－3，所以－3

7、)＝的值域是，則f(x)的單調遞增區(qū)間是________. 【答案】(1)(－∞，4]　(2)(－∞，－1] 【解析】(1)令t＝|2x－m|，則t＝|2x－m|在區(qū)間上是增加的，在區(qū)間上是減少的.而y＝2t在R上是增加的，所以要使函數f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上是增加的，則有≤2，即m≤4，所以m的取值范圍是(－∞，4]. (2)令g(x)＝ax2＋2x＋3， 由于f(x)的值域是， 所以g(x)的值域是[2，＋∞). 因此有解得a＝1， 這時g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝. 由于g(x)的單調遞減區(qū)間是(－∞，－1]， 所以f(x)的單調遞增區(qū)間是(－∞

8、，－1]. 角度3　函數的最值問題 【例3－3】 如果函數y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在區(qū)間[－1，1]上的最大值是14，則a的值為________. 【答案】3或 【解析】令ax＝t，則y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.當a>1時，因為x∈ [－1，1]，所以t∈，又函數y＝(t＋1)2－2在上單調遞增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(負值舍去).當0

9、數式的大小的方法是：(1)能化成同底數的先化成同底數冪，再利用單調性比較大??；(2)不能化成同底數的，一般引入“1”等中間量比較大小. 2.求解與指數函數有關的復合函數問題，首先要熟知指數函數的定義域、值域、單調性等相關性質，其次要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷. 易錯警示　在研究指數型函數的單調性時，當底數a與“1”的大小關系不確定時，要分類討論. 【思維升華】 1.根式與分數指數冪的實質是相同的，分數指數冪與根式可以互化，通常利用分數指數冪進行根式的化簡運算. 2.判斷指數函數圖象上底數大小的問題，可以先通過令x＝1得到

10、底數的值再進行比較. 3.指數函數的單調性取決于底數a的大小，當底數a與1的大小關系不確定時應分01兩種情況分類討論. 【易錯注意點】 1.對與復合函數有關的問題，要弄清楚復合函數由哪些基本初等函數復合而成，并且一定要注意函數的定義域. 2.對可化為a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助換元法解題，但應注意換元后“新元”的范圍. 三、【名校新題】 1.(2019·永州模擬)下列函數中，與函數y＝2x－2－x的定義域、單調性與奇偶性均一致的是(　　) A.y＝sin x B.y＝x3 C.y＝ D.y＝log2x

11、【答案】B 【解析】y＝2x－2－x是定義域為R的單調遞增函數，且是奇函數.而y＝sin x不是單調遞增函數，不符合題意；y＝是非奇非偶函數，不符合題意； y＝log2x的定義域是(0，＋∞)，不符合題意； y＝x3是定義域為R的單調遞增函數，且是奇函數符合題意. 2. (2019·衡水中學檢測)不論a為何值，函數y＝(a－1)2x－恒過定點，則這個定點的坐標是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】(1)y＝(a－1)2x－＝a－2x，令2x－＝0，得x＝－1，故函數y＝(a－1)2x－恒過定點. 3.(2019·東北三校聯考)函數f(x)＝ax－1(a>

12、0，a≠1)的圖象恒過點A，下列函數中圖象不經過點A的是(　　) A.y＝ B.y＝|x－2| C.y＝2x－1 D.y＝log2(2x) 【答案】A 【解析】　f(x)過定點A(1，1)，將點A(1，1)代入四個選項，y＝的圖象不過點A(1，1). 4. (2019·貴陽監(jiān)測)已知函數f(x)＝4＋2ax－1的圖象恒過定點P，則點P的坐標是(　　) A．(1,6)　　　　　　　 　B．(1,5) C．(0,5) D．(5,0) 【答案】A 【解析】　由于函數y＝ax的圖象過定點(0,1)，當x＝1時，f(x)＝4＋2＝6，故函數f(x)＝4＋2ax－1的圖象恒過

13、定點P(1,6)． 5.(2019·南寧調研)函數f(x)＝的單調遞增區(qū)間是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】令x－x2≥0，得0≤x≤1，所以函數f(x)的定義域為[0,1]，因為y＝t是減函數，所以函數f(x)的增區(qū)間就是函數y＝－x2＋x在[0,1]上的減區(qū)間，故選D. 6.(2019·郴州質檢)已知函數f(x)＝ex－，其中e是自然對數的底數，則關于x的不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集為(　　) A.∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C.∪(2，＋∞) D．(－∞，2) 【答案】B 【解析】　函數f(x)＝ex－

14、的定義域為R， ∵f(－x)＝e－x－＝－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函數，那么不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0等價于f(2x－1)>－f(－x－1)＝f(1＋x)，易證f(x)是R上的單調遞增函數，∴2x－1>x＋1，解得x>2，∴不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集為(2，＋∞)． 7.(2019·西安市質檢)在我國大西北，某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上一年增長10.4%，專家預測經過x年可能增長到原來的y倍，則函數y＝f(x)的圖象大致為(　　) 【答案】D 【解析】設原有荒漠化土地面積為b，經過x年后荒漠化面積為z，則z＝b(1＋10.4%)x，故y

15、＝＝(1＋10.4%)x，其是底數大于1的指數函數.其圖象應為選項D. 8.(2019·合肥檢測)當x∈(－∞，－1]時，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，則實數m的取值范圍是(　　) A.(－2，1) B.(－4，3) C.(－3，4) D.(－1，2) 【答案】D 【解析】原不等式變形為m2－m<， 又y＝在(－∞，－1]上是減函數，知≥＝2. 故原不等式恒成立等價于m2－m<2，解得－1

16、8…是自然對數的底數)在f(x)的定義域上單調遞增，則稱函數f(x)具有M性質．下列函數中所有具有M性質的函數的序號為________． ①f(x)＝2－x；②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3； ④f(x)＝x2＋2. 【答案】①④ 【解析】：設g(x)＝exf(x)，對于①，g(x)＝ex·2－x， 則g′(x)＝(ex·2－x)′＝ex·2－x(1－ln 2)>0， 所以函數g(x)在(－∞，＋∞)上為增函數，故①符合要求； 對于②，g(x)＝ex·3－x， 則g′(x)＝(ex·3－x)′＝ex·3－x(1－ln 3)<0， 所以函數g(x)在(－∞，＋∞)上為減函數

17、，故②不符合要求； 對于③，g(x)＝ex·x3， 則g′(x)＝(ex·x3)′＝ex·(x3＋3x2)， 顯然函數g(x)在(－∞，＋∞)上不單調，故③不符合要求； 對于④，g(x)＝ex·(x2＋2)， 則g′(x)＝[ex·(x2＋2)]′＝ex·(x2＋2x＋2)＝ex·[(x＋1)2＋1]>0， 所以函數g(x)在(－∞，＋∞)上為增函數，故④符合要求． 綜上，具有M性質的函數的序號為①④. 11. (2019·西安質檢)若偶函數f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則不等式f(x－2)>0的解集為________． 【答案】{x|x>4或x<0} 【解析】

18、　∵f(x)為偶函數， 當x＜0時，－x>0，則f(x)＝f(－x)＝2－x－4. ∴f(x)＝ 當f(x－2)＞0時，有或 解得x＞4或x＜0. ∴不等式的解集為{x|x>4或x<0}． 12.(2018·長沙一中月考)已知函數f(x)＝為奇函數. (1)求a的值； (2)判斷函數f(x)的單調性，并加以證明. 【解析】　(1)因為函數f(x)是奇函數，且f(x)的定義域為R；所以f(0)＝＝0，所以a＝－1. (2)由(1)知f(x)＝＝1－，函數f(x)在定義域R上單調遞增. 證明：設x1

19、x2，所以3x1－3x2<0， 所以f(x1)0，函數f(x)＝的圖象經過點P，Q.若2p+q＝36pq，則a＝________. 【解析】　因為f(x)＝＝，且其圖象經過點P，Q， 則f(p)＝＝，即＝－，① f(q)＝＝－，即＝－6，② ①×②得＝1，則2p＋q＝a2pq＝36pq， 所以a2＝36，解得a＝±6，因為a>0，所以a＝6. 14.已知定義在R上的函數f(x)＝2x－， (1)若f(x)＝，求x的值； (2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0對于t∈[1，2]恒成立，求實數m的取值范圍. 【解析】　(1)當x<0時，f(x)＝0，故f(x)＝無解； 當x≥0時，f(x)＝2x－， 由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0， 將上式看成關于2x的一元二次方程， 解得2x＝2或2x＝－， 因為2x>0，所以2x＝2，所以x＝1. (2)當t∈[1，2]時，2t＋m≥0， 即m(22t－1)≥－(24t－1)，因為22t－1>0， 所以m≥－(22t＋1)， 因為t∈[1，2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故實數m的取值范圍是[－5，＋∞). 10