（江蘇專版）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 板塊命題點(diǎn)專練（三）基本初等函數(shù)（Ⅰ）及函數(shù)與方程 文（含解析）蘇教版

板塊命題點(diǎn)專練(三) 基本初等函數(shù)()及函數(shù)與方程命題點(diǎn)一基本初等函數(shù)()1(2017·全國卷改編)設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x3y5z，則2x,3y,5z的大小關(guān)系為_解析：設(shè)2x3y5zk1，所以xlog2k，ylog3k，zlog5k.因?yàn)?x3y2log2k3log3k0，所以2x3y；因?yàn)?y5z3log3k5log5k0，所以3y5z；因?yàn)?x5z2log2k5log5k0，所以5z2x.所以5z2x3y.答案：5z2x3y2(2018·天津高考改編)已知alog3，b，clog，則a，b，c的大小關(guān)系為_解析：cloglog35，alog3，又ylog3x在(0，)上是增函數(shù)，log35log3log331，ca1.yx在(，)上是減函數(shù)，01，即b1.cab.答案：cab3(2015·江蘇高考)不等式24的解集為_解析：因?yàn)?x2x4，所以222，所以x2x2，即x2x20，所以1x2.答案：(1,2)4(2015·全國卷)若函數(shù)f(x)xln(x)為偶函數(shù)，則a_.解析：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(x)f(x)0恒成立，所以xln(x)xln(x)0恒成立，所以xln a0恒成立，所以ln a0，即a1.答案：15(2018·上海高考)已知常數(shù)a0，函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P，Q，若2pq36pq，則a_.解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P，Q，所以f(p)f(q)1，化簡得2pqa2pq.因?yàn)?pq36pq，所以a236且a0，所以a6.答案：66(2016·江蘇高考)已知函數(shù)f(x)axbx(a0，b0，a1，b1)(1)設(shè)a2，b.求方程f(x)2的根；若對(duì)于任意xR，不等式f(2x)mf(x)6恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值(2)若0a1，b1，函數(shù)g(x)f(x)2有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求ab的值解：(1)因?yàn)閍2，b，所以f(x)2x2x.方程f(x)2，即2x2x2，亦即(2x)22×2x10，所以(2x1)20，即2x1，解得x0.由條件知f(2x)22x22x(2x2x)22(f(x)22.因?yàn)閒(2x)mf(x)6對(duì)于xR恒成立，且f(x)0，所以m對(duì)于xR恒成立而f(x)2 4，且4，所以m4，故實(shí)數(shù)m的最大值為4.(2)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)f(x)2axbx2有且只有1個(gè)零點(diǎn)，而g(0)f(0)2a0b020，所以0是函數(shù)g(x)的唯一零點(diǎn)因?yàn)間(x)axln abxln b，又由0a1，b1知ln a0，ln b0，所以g(x)0有唯一解x0log.令h(x)g(x)，則h(x)(axln abxln b)ax(ln a)2bx(ln b)2，從而對(duì)任意xR，h(x)0，所以g(x)h(x)是(，)上的單調(diào)增函數(shù)于是當(dāng)x(，x0)時(shí)，g(x)g(x0)0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，g(x)g(x0)0.因而函數(shù)g(x)在(，x0)上是單調(diào)減函數(shù)，在(x0，)上是單調(diào)增函數(shù)下證x00.若x00，則x00，于是gg(0)0.又g(loga2)ab2a20，且函數(shù)g(x)在以和loga2為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的圖象不間斷，所以在和loga2之間存在g(x)的零點(diǎn)，記為x1.因?yàn)?a1，所以loga20.又0，所以x10，與“0是函數(shù)g(x)的唯一零點(diǎn)”矛盾若x00，同理可得，在和logb2之間存在g(x)的非0的零點(diǎn)，與“0是函數(shù)g(x)的唯一零點(diǎn)”矛盾因此，x00.于是1，故ln aln b0，所以ab1.7(2016·上海高考)已知aR，函數(shù)f(x)log2.(1)當(dāng)a5時(shí)，解不等式f(x)0；(2)若關(guān)于x的方程f(x)log2(a4)x2a50的解集中恰有一個(gè)元素，求a的取值范圍；(3)設(shè)a0，若對(duì)任意t，函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上的最大值與最小值的差不超過1，求a的取值范圍解：(1)由log20，得51，解得x(0，)(2)由原方程可得a(a4)x2a5，即(a4)x2(a5)x10.當(dāng)a4時(shí)，x1，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意當(dāng)a3時(shí)，x1x21，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意當(dāng)a3且a4時(shí)，x1，x21，x1x2.若x1是原方程的解，則a0，即a2；若x2是原方程的解，則a0，即a1.由題意知x1，x2只有一個(gè)為方程的解，所以或于是滿足題意的a(1,2綜上，a的取值范圍為(1,23,4(3)易知f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上的最大值與最小值分別為f(t)，f(t1)f(t)f(t1)log2log21，即at2(a1)t10對(duì)任意t恒成立因?yàn)閍0，所以函數(shù)yat2(a1)t1在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)t時(shí)，y有最小值a.由a0，得a.故a的取值范圍為.命題點(diǎn)二函數(shù)與方程1.(2017·江蘇高考)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間0,1)上，f(x)其中集合D，則方程f(x)lg x0的解的個(gè)數(shù)是_解析：由于f(x)0,1)，因此只需考慮1x10的情況，在此范圍內(nèi)，當(dāng)xQ且xZ時(shí)，設(shè)x，q，pN*，p2且p，q互質(zhì)若lg xQ，則由lg x(0,1)，可設(shè)lg x，m，nN*，m2且m，n互質(zhì)，因此10，則10nm，此時(shí)左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾，因此lg xQ，故lg x不可能與每個(gè)周期內(nèi)xD對(duì)應(yīng)的部分相等，只需考慮lg x與每個(gè)周期內(nèi)xD部分的交點(diǎn)畫出函數(shù)草圖(如圖)，圖中交點(diǎn)除(1,0)外其他交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無理數(shù)，屬于每個(gè)周期xD的部分，且x1處(lg x)1，則在x1附近僅有一個(gè)交點(diǎn)，因此方程f(x)lg x0的解的個(gè)數(shù)為8.答案：82(2015·江蘇高考)已知函數(shù)f(x)|ln x|，g(x)則方程|f(x)g(x)|1實(shí)根的個(gè)數(shù)為_解析：當(dāng)0x1時(shí)，方程為ln x1，解得x.當(dāng)1x2時(shí)，f(x)g(x)ln x2x2單調(diào)遞減，值域?yàn)?ln 22,1)，方程f(x)g(x)1無解，方程f(x)g(x)1恰有一解當(dāng)x2時(shí)，f(x)g(x)ln xx26單調(diào)遞增，值域?yàn)閘n 22，)，方程f(x)g(x)1恰有一解，方程f(x)g(x)1恰有一解綜上所述，原方程有4個(gè)實(shí)根答案：43(2018·全國卷改編)已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是_解析：令h(x)xa，則g(x)f(x)h(x)在同一坐標(biāo)系中畫出yf(x)，yh(x)的示意圖，如圖所示若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則yf(x)的圖象與yh(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，平移yh(x)的圖象，可知當(dāng)直線yxa過點(diǎn)(0,1)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)10a，a1.當(dāng)yxa在yx1上方，即a1時(shí)，僅有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意當(dāng)yxa在yx1下方，即a1時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，符合題意綜上，a的取值范圍是1，)答案：1，)4(2018·天津高考)已知a0，函數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f(x)ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是_解析：法一：作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示l1是過原點(diǎn)且與拋物線yx22ax2a相切的直線，l2是過原點(diǎn)且與拋物線yx22axa相切的直線由圖可知，當(dāng)直線yax在l1，l2之間(不含直線l1，l2)變動(dòng)時(shí)，符合題意由消去y，整理得x2ax2a0.由a28a0，得a8(a0舍去)由消去y，整理得x2axa0.由a24a0，得a4(a0舍去)綜上可得a的取值范圍是(4,8)法二：當(dāng)x0時(shí)，由x22axaax，得ax2ax；當(dāng)x0時(shí)，由x22ax2aax，得2ax2ax.令g(x)作出直線ya，y2a，函數(shù)g(x)的圖象如圖所示，g(x)的最大值為，由圖象可知，若f(x)ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a2a，解得4a8.答案：(4,8)命題點(diǎn)三函數(shù)模型及其應(yīng)用1(2018·浙江高考)我國古代數(shù)學(xué)著作張邱建算經(jīng)中記載百雞問題：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”設(shè)雞翁，雞母，雞雛個(gè)數(shù)分別為x，y，z，則當(dāng)z81時(shí)，x_，y_.解析：由題意，得即解得答案：8112(2015·江蘇高考)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l.如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.假設(shè)曲線C符合函數(shù)y(其中a，b為常數(shù))模型(1)求a，b的值(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t.請(qǐng)寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長度最短？求出最短長度解：(1)由題意知，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(5,40)，(20，2.5)將其分別代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x，y軸分別于A，B兩點(diǎn)，y，則l的方程為y(xt)，由此得A，B.故f(t) ，t5,20設(shè)g(t)t2，則g(t)2t.令g(t)0，解得t10.當(dāng)t(5,10)時(shí)，g(t)0，g(t)是減函數(shù)；當(dāng)t(10，20)時(shí)，g(t)0，g(t)是增函數(shù)從而，當(dāng)t10時(shí)，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值，所以g(t)min300，此時(shí)f(t)min15.故當(dāng)t10時(shí)，公路l的長度最短，最短長度為15千米3(2012·江蘇高考)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說明理由解：(1)令y0，得kx(1k2)x20，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x0，k0，故x10，當(dāng)且僅當(dāng)k1時(shí)取等號(hào)所以炮的最大射程為10千米(2)因?yàn)閍0，所以炮彈可擊中目標(biāo)存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立關(guān)于k的方程a2k220aka2640有正根判別式(20a)24a2(a264)0a6.所以當(dāng)a不超過6(千米)時(shí)，可擊中目標(biāo)9