（山東專用）2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題06 函數(shù)的奇偶性與周期性（含解析）

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1、專題06 函數(shù)的奇偶性與周期性 一、【知識(shí)精講】 1．函數(shù)的奇偶性 (1) 奇偶性 定義 圖象特點(diǎn) 偶函數(shù) 如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù) 關(guān)于y軸 對(duì)稱奇函數(shù) 如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 (2)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件． 2．函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，

2、稱T為這個(gè)函數(shù)的周期． (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期． 3．函數(shù)的對(duì)稱性常見的結(jié)論 (1)函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝對(duì)稱?f(a＋x)＝f(b－x)?f(x)＝f(b＋a－x)． 特殊：函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝a對(duì)稱?f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)＝f(2a－x)； 函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝0對(duì)稱?f(x)＝f(－x)(即為偶函數(shù))． (2)函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?f(2a＋x)＋f(－x)＝2b. 特殊：函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱?

3、f(a＋x)＋f(a－x)＝0?f(2a＋x)＋f(－x)＝0； 函數(shù)y＝f(x)關(guān)于(0,0)對(duì)稱?f(x)＋f(－x)＝0(即為奇函數(shù))． (3)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)?函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱； y＝f(x＋a)是奇函數(shù)?函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱． [知識(shí)拓展] 1．函數(shù)奇偶性常用結(jié)論 (1)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0. (2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)． (3)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性． (4)y＝f(x＋a)是奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－

4、f(x＋a)； y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則f(－x＋a)＝f(x＋a)． 2．函數(shù)周期性常用結(jié)論 對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a＞0)． (2)若f(x＋a)＝1fx，則T＝2a(a＞0)． (3)若f(x＋a)＝－1fx，則T＝2a(a＞0)． 二、【典例精練】 考點(diǎn)一　判斷函數(shù)的奇偶性 例1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 【解析】　(1)由得x2＝3，解得x＝±， 即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－，}， 從而f(x)＝＋＝0. 因此f(－x)＝－f(

5、x)且f(－x)＝f(x)， ∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). (2)由得定義域?yàn)?－1，0)∪(0，1)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. ∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝. 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù). (3)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. ∵當(dāng)x<0時(shí)，－x>0， 則f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 當(dāng)x>0時(shí)，－x<0， 則f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 綜上可知：對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù). 【解

6、法小結(jié)】　判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件： (1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域； (2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立. 考點(diǎn)二　函數(shù)的周期性及其應(yīng)用 例2. (1) (2018·全國(guó)Ⅱ卷)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A.－50 B.0 C.2 D

7、.50 (2)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為________. 【答案】　(1)C　(2)7 【解析】(1)法一　∵f(x)在R上是奇函數(shù)，且f(1－x)＝f(1＋x). ∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x). 因此f(x＋4)＝f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)， 由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2， 故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0 令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2， 令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝

8、－f(2)＝0， 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2. 法二　取一個(gè)符合題意的函數(shù)f(x)＝2sin，則結(jié)合該函數(shù)的圖象易知數(shù)列{f(n)}(n∈N*)是以4為周期的周期數(shù)列. 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2. (2)因?yàn)楫?dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f(0)＝0， 則f(6)＝f(4)＝f(2

9、)＝f(0)＝0. 又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0， 故函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)有7個(gè). 【解法小結(jié)】　1.根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性求給定區(qū)間上的函數(shù)值或解析式時(shí)，應(yīng)根據(jù)周期性或奇偶性，由待求區(qū)間轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間. 2.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常數(shù)，且a≠0)，則2a為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.第(1)題法二是利用周期性構(gòu)造一個(gè)特殊函數(shù)，優(yōu)化了解題過程. 考點(diǎn)三　函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用　 角度1　函數(shù)單調(diào)性與奇偶性 【例3－1】(2017·全國(guó)卷Ⅰ)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f

10、(x－2)≤1的x的取值范圍是(　　) A．[－2,2]　　　　 　　 　B．[－1,1] C．[0,4] D．[1,3] 【答案】D 【解析】　(1)∵f(x)為奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)． ∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1. 故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)． 又f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減， ∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3. 【解法小結(jié)】　1.函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性. 2.本題充分利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)＝f(|x|)，避免了不必要的討論，簡(jiǎn)化

11、了解題過程. 角度2　函數(shù)的奇偶性與周期性 【例3－2】（1）(2017·山東高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當(dāng)x∈[－3,0]時(shí)，f(x)＝6－x，則f(919)＝________. 【答案】6 【解析】　∵f(x＋4)＝f(x－2)， ∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期為6， ∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)． 又f(x)為偶函數(shù)，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6. (2)(2018·洛陽模擬)已知函數(shù)y＝f(x)滿足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，且f(1)＝，設(shè)F(x)＝f(x)＋f(－

12、x)，則F(3)＝(　　) A. B. C.π D. 【答案】B 【解析】由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函數(shù)知f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＝f(－x＋2)，則f(x＋2)＝f(x－2). ∴f(x＋4)＝f(x)，則y＝f(x)的周期為4. 所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝. 例3-3（1）(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A．－50　　　　　　　　 　B．0 C．2 D．5

13、0 (2)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f＝f(x)，當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝log (1－x)，則f(x)在區(qū)間內(nèi)是(　　) A．減函數(shù)且f(x)>0 B．減函數(shù)且f(x)<0 C．增函數(shù)且f(x)>0 D．增函數(shù)且f(x)<0 【答案】　(1)C　(2)D 【解析】　(1)法一：∵f(x)是奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(1－x)＝－f(x－1)． 由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)， ∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， ∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)． 由f(x)為奇函數(shù)得f(0)

14、＝0. 又∵f(1－x)＝f(1＋x)， ∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱， ∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0. 又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50) ＝0×12＋f(49)＋f(50) ＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2. 法二：由題意可設(shè)f(x)＝2sin，作出f(x)的部分圖象如圖所示．由圖可知，f(x)的一個(gè)周期為4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f

15、(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2. (2)當(dāng)x∈時(shí)，由f(x)＝log (1－x)可知，f(x)單調(diào)遞增且f(x)>0，又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間上也單調(diào)遞增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函數(shù)的周期為，所以在區(qū)間上，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增且f(x)<0. 【解法小結(jié)】　周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解. 【思維升華】

16、1.判斷函數(shù)的奇偶性，首先應(yīng)該判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件. 2.利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題： (1)求函數(shù)值；(2)求解析式；(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值；(4)畫函數(shù)圖象，確定函數(shù)單調(diào)性. 3.在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用. 【易錯(cuò) 注意點(diǎn)】 1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函數(shù)的充分條件，也不是必要條件. 2.函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對(duì)稱性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的

17、周期性，在使用這兩個(gè)關(guān)系時(shí)不要混淆. 三、【名校新題】 1.(2019·衡水模擬)下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(　　) A.y＝x3 B.y＝x C.y＝|x| D.y＝|tan x| 【答案】C 【解析】　對(duì)于A，y＝x3為奇函數(shù)，不符合題意； 對(duì)于B，y＝x是非奇非偶函數(shù)，不符合題意； 對(duì)于D，y＝|tan x|是偶函數(shù)，但在區(qū)間(0，＋∞)上不單調(diào)遞增. 2．(2019·南昌聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝的圖象(　　) A．關(guān)于x軸對(duì)稱 B．關(guān)于y軸對(duì)稱 C．關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱 【答案】B 【解析】　因?yàn)閒(x

18、)＝＝3x＋3－x，易知f(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱． 3． (2019·河北“五個(gè)一”名校聯(lián)盟二模)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 且f(x)＝則g(－8)＝(　　) A.－2 B.－3 C.2 D.3 【答案】A 【解析】　法一　當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，且f(x)為奇函數(shù)， 則f(－x)＝log3(1－x)，所以f(x)＝－log3(1－x). 因此g(x)＝－log3(1－x)，x<0， 故g(－8)＝－log39＝－2. 法二　由題意知，g(－8)＝f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2. 4.(2019·山東、湖北部分重

19、點(diǎn)中學(xué)模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(x＋1)是偶函數(shù)，不等式f(m＋2)≥f(x－1)對(duì)任意的x∈[－1，0]恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A.[－3，1] B.[－4，2] C.(－∞，－3]∪[1，＋∞) D.(－∞，－4]∪[2，＋∞) 【答案】A 【解析】　因?yàn)閒(x＋1)是偶函數(shù)，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，由f(m＋2)≥f(x－1)得|(m＋2)－1|≤|(x－1)－1|，即|m＋1|≤|x－2|在x∈[－1，0]恒成立，所以|m＋1|≤|x－2|min，所以|m＋1|≤2，解得

20、－3≤m≤1. 5.(2019·石家莊模擬)已知奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，則x的取值范圍為(　　) A.{x|02} B.{x|x<0或x>2} C.{x|x<0或x>3} D.{x|x<－1或x>1} 【答案】A　 【解析】由題意知函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，且f(－1)＝0， 不等式f(x－1)>0?f(x－1)>f(1)或f(x－1)>f(－1). ∴x－1>1或0>x－1>－1， 解之得x>2或0

21、，當(dāng)x∈(－3,0]時(shí)，f(x)＝－x－1，當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，f(x)＝log2x，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值等于(　　) A．403 B．405 C．806 D．809 【答案】B　 【解析】定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足f(x＋5)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為5.又當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.當(dāng)x∈(－3,0]時(shí)，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝

22、403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405. 7．(2018·石家莊一模)設(shè)f(x)是定義在[－2b,3＋b]上的偶函數(shù)，且在[－2b,0]上為增函數(shù)，則f(x－1)≥f(3)的解集為(　　) A．[－3,3] B．[－2,4] C．[－1,5] D．[0,6] 【答案】B　 【解析】因?yàn)閒(x)是定義在[－2b,3＋b]上的偶函數(shù)， 所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3， 由函數(shù)f(x)在[－6,0

23、]上為增函數(shù)，得f(x)在(0,6]上為減函數(shù)，故f(x－1)≥f(3)?f(|x－1|)≥f(3)?|x－1|≤3，故－2≤x≤4. 8．(2019·長(zhǎng)春質(zhì)檢)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(　　) A．y＝ex＋e－x　　　　　 　B．y＝ln(|x|＋1) C．y＝ D．y＝x－ 【答案】D　 【解析】選項(xiàng)A，B顯然是偶函數(shù)，排除；選項(xiàng)C是奇函數(shù)，但在(0，＋∞)上不是單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題意；選項(xiàng)D中，y＝x－是奇函數(shù)，且y＝x和y＝－在(0，＋∞)上均為增函數(shù)，故y＝x－在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以選項(xiàng)D正確． 9．(2019·合肥調(diào)研)定義在

24、R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1]上是減函數(shù)，則有(　　) A．f

25、奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)， 則有f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)， 則f(x)的最小正周期是12， 故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2. 11.(2019·上海崇明二模)設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f(x)＝________. 【答案】log2(3－x) 　【解析】當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，x－2∈[－1，0]，2－x∈[0，1]， 又f(x)在R上是以2為周期的偶函數(shù)， ∴f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝log2(2－x＋1)＝log2(3－x

26、). 12. (2018·日照調(diào)研)函數(shù)y＝f(x)對(duì)任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，f(1)＝4，則f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值為________. 【答案】4 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱， 所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 所以f(x)是R上的奇函數(shù)， f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期為4. 所以f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4， 所以f(2 016)＋f(2 018)＝－

27、f(2 014)＋f(2 014＋4)＝－f(2 014)＋f(2 014)＝0， 所以f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4. 13．(2019·洛陽統(tǒng)考)若函數(shù)f(x)＝ln(ex＋1)＋ax為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________. 【答案】－. 【解析】法一：(定義法)∵函數(shù)f(x)＝ln(ex＋1)＋ax為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)， 即ln(e－x＋1)－ax＝ln(ex＋1)＋ax， ∴2ax＝ln(e－x＋1)－ln(ex＋1)＝ln＝ln＝－x， ∴2a＝－1，解得a＝－. 法二：(特殊值法)由題意知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，由f(x)為偶函

28、數(shù)得f(－1)＝f(1)， ∴l(xiāng)n(e－1＋1)－a＝ln(e1＋1)＋a，∴2a＝ln(e－1＋1)－ln(e1＋1)＝ln＝ln＝－1， ∴a＝－. 14．(2019·陜西一測(cè))若函數(shù)f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域?yàn)開_______． 【答案】 【解析】由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得a－4＋a＝0，即a＝2，則函數(shù)f(x)＝2x＋b，其定義域?yàn)閇－2,2]，所以f(0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝，易知g(x)在[－4，－1]上單調(diào)遞減，故值域?yàn)閇g(－1)，g(－4)]，即. 15．(20

29、19·惠州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，則f(－a)＝________. 【答案】-4 【解析】法一：因?yàn)閒(x)＋1＝x＋， 設(shè)g(x)＝f(x)＋1＝x＋， 易判斷g(x)＝x＋為奇函數(shù)， 故g(x)＋g(－x)＝x＋－x－＝0， 即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故f(x)＋f(－x)＝－2. 所以f(a)＋f(－a)＝－2，故f(－a)＝－4. 法二：由已知得f(a)＝a＋－1＝2， 即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4. 16．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)． (1)求實(shí)數(shù)m的值； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a

30、－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【解析】：(1)設(shè)x<0，則－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增， 結(jié)合f(x)的圖象(如圖所示)知所以1＜a≤3， 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3]． 17.設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積.

31、 【解析】　(1)由f(x＋2)＝－f(x)得， f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)， 所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函數(shù)且f(x＋2)＝－f(x)， 得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x). 故知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱. 又當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x，且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則f(x)的圖象如下圖所示. 當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S， 則S＝4S△OAB＝4×＝4. 12