高中數(shù)學(xué) 第1章 不等關(guān)系與基本不等式 1.4 第3課時(shí) 不等式的證明——反證法、放縮法、幾何法學(xué)案 北師大版選修4-5

《高中數(shù)學(xué) 第1章 不等關(guān)系與基本不等式 1.4 第3課時(shí) 不等式的證明——反證法、放縮法、幾何法學(xué)案 北師大版選修4-5》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第1章 不等關(guān)系與基本不等式 1.4 第3課時(shí) 不等式的證明——反證法、放縮法、幾何法學(xué)案 北師大版選修4-5（12頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第3課時(shí)　不等式的證明——反證法、放縮法、幾何法 1．了解放縮法、反證法、幾何法的概念；理解用反證法、放縮法、幾何法證明不等式的步驟．(重點(diǎn)) 2．會(huì)用反證法、放縮法、幾何法證明一些簡(jiǎn)單的不等式．(難點(diǎn)) [基礎(chǔ)初探] 教材整理1　放縮法與幾何法 閱讀教材P18～P20，完成下列問題． 1．放縮法 證明命題時(shí)，有時(shí)可以通過縮小(或放大)分式的分母(或分子)，或通過放大(或縮小)被減式(或減式)來證明不等式，這種證明不等式的方法稱為放縮法． 2．幾何法 通過構(gòu)造幾何圖形，利用幾何圖形的性質(zhì)來證明不等式的方法稱為幾何法． 判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)分式的放縮可以通過放大(或縮小)分子(或分母)來進(jìn)行．(　　) (2)整式的放縮可以通過加減項(xiàng)來進(jìn)行．(　　) (3)從<來看，這是通過擴(kuò)大分子達(dá)到了放大的目的．(　　) 【解析】　根據(jù)放縮法的定義知(1)(2)正確，而(3)中，因m的符號(hào)不定，所以不一定達(dá)到放大的目的，故錯(cuò)誤． 【答案】　(1)√　(2)√　(3) 教材整理2　反證法 閱讀教材P20～P21，完成下列問題． 通過證明命題結(jié)論的否定不能成立，來肯定命題結(jié)論一定成立的證明方法叫反證法．其證明的步驟是：(1)作出否定結(jié)論的假設(shè)；(2)進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾；(3)否定假設(shè)，肯定結(jié)論． 判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)反證法與同一法實(shí)質(zhì)上是一致的．(　　) (2)證明“至少”“至多”“否定性命題”時(shí)宜用反證法．(　　) (3)證明結(jié)論“a，b，c至少一個(gè)為負(fù)數(shù)”時(shí)，提出假設(shè)可以是“a，b，c至多有兩個(gè)為負(fù)數(shù)”．(　　) 【解析】　(1)　從原理上分析，兩種方法截然不同． (2)√　反證法適合于證明這種類型． (3)　假設(shè)應(yīng)為“a，b，c沒有一個(gè)為負(fù)數(shù)”． 【答案】　(1)　(2)√　(3) [質(zhì)疑手記] 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問3：　 解惑：　 [小組合作型] 利用反證法證明否定性結(jié)論 　已知a，b，c∈(0,1)，求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同時(shí)大于. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910023】 【精彩點(diǎn)撥】　當(dāng)直接證明命題較困難時(shí)，可根據(jù)“正難則反”，利用反證法加以證明．凡涉及否定性、惟一性命題或含“至多”“至少”等語句的不等式時(shí)，常可考慮反證法． 【自主解答】　假設(shè)三式同時(shí)大于， 即b－ab>，c－bc>，a－ac>， 三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c>. ① ∵01. ① 同理>1， ② >1. ③ ①＋②＋③得3>3，矛盾．所以原命題得證. 反證法證明“至少”“至多” 型命題 　已知f(x)＝x2＋px＋q，求證： (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于. 【精彩點(diǎn)撥】　(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函數(shù)f(x)求值推算可得結(jié)論． (2)假設(shè)結(jié)論不成立，推出矛盾，得結(jié)論． 【自主解答】　(1)f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2. (2)用反證法證明． 假設(shè)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，則有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2. 又∵|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2， 互相矛盾，∴假設(shè)不成立，∴|f(1)|，|f(2)|， |f(3)|中至少有一個(gè)不小于. 1．當(dāng)證明的題目中含有“至多”“至少”“最多”等字眼時(shí)，常使用反證法證明，在證明中出現(xiàn)自相矛盾，說明假設(shè)不成立． 2．在用反證法證明的過程中，由于作出了與結(jié)論相反的假設(shè)，相當(dāng)于增加了題設(shè)條件，因此在證明過程中必須使用這個(gè)增加的條件，否則將無法推出矛盾． [再練一題] 2．已知函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)，求證：y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上至多有一個(gè)零點(diǎn)． 【證明】　假設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上至少有兩個(gè)零點(diǎn)． 不妨設(shè)x1，x2(x1≠x2)為函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的兩個(gè)零點(diǎn)，且x11)，>，<(k>1)，>(k>1)等． 探究2　在整式放縮中，常用到哪些性質(zhì)？ 【提示】　在整式的放縮中，常用到不等式的性質(zhì)．絕對(duì)值不等式、平均值不等式等．如a＋b≥2(a，b為正數(shù))，a2＋b2≥2ab，|a|－|b|≤|ab|≤|a|＋|b|等． 　已知an＝2n2，n為正整數(shù)，求證：對(duì)一切正整數(shù)n，有＋＋…＋＜. 【精彩點(diǎn)撥】　針對(duì)不等式的特點(diǎn)，對(duì)其通項(xiàng)進(jìn)行放縮、列項(xiàng)． 【自主解答】　∵當(dāng)n≥2時(shí)，an＝2n2＞2n(n－1)， ∴＝＜＝＝， ∴＋＋…＋＜1＋ ＝1＋ ＝1＋＝－＜， 即＋＋…＋＜. 放大或縮小時(shí)注意要適當(dāng)，必須目標(biāo)明確，合情合理，恰到好處，且不可放縮過大或過小，謹(jǐn)慎地添或減是放縮法的基本策略. [再練一題] 3．求證：1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈為正整數(shù))． 【證明】　∵k2>k(k－1)， ∴<＝－(k為正整數(shù)，且n≥2)， 分別令k＝2,3，…，n得 <＝1－，<＝－，… <＝－， 因此1＋＋＋…＋ <1＋＋＋…＋ ＝1＋1－＝2－， 故不等式1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n為正整數(shù))成立． [構(gòu)建體系] 1．實(shí)數(shù)a，b，c不全為0的等價(jià)條件為(　　) A．a(chǎn)，b，c均不為0 B．a(chǎn)，b，c中至多有一個(gè)為0 C．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)為0 D．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)不為0 【解析】　實(shí)數(shù)a，b，c不全為0的含義即是a，b，c中至少有一個(gè)不為0，其否定則是a，b，c全為0，故選D. 【答案】　D 2．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反證法求證a>0，b>0，c>0時(shí)的假設(shè)為(　　) A．a(chǎn)<0，b<0，c<0 B．a(chǎn)≤0，b>0，c>0 C．a(chǎn)，b，c不全是正數(shù) D．a(chǎn)bc<0 【答案】　C 3．已知a，b，c，d都是正數(shù)，S＝＋＋＋，則有(　　) A．S<1 B．S>1 C．S>2 D．以上都不對(duì) 【解析】　S>(a＋b＋c＋d)＝1. 【答案】　B 4．已知a為正數(shù)，則，，從大到小的順序?yàn)開_________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910024】 【解析】　∵＋>＋＝2， ＋<＋＝2， ∴2<＋<2， ∴>>. 【答案】　>> 5．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R. (1)若a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)； (2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結(jié)論． 【證明】　(1)∵a＋b≥0， ∴a≥－b. 由已知f(x)的單調(diào)性得：f(a)≥f(－b)． 又a＋b≥0?b≥－a?f(b)≥f(－a)． 兩式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)． (2)命題(1)的逆命題為：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0. 逆命題成立．下面用反證法證之． 假設(shè)a＋b<0，那么： ?f(a)＋f(b) D．∠B＝ 【解析】　假設(shè)∠B≥，則b最大，有b>a，b>c， ∴>，>. ∴＋>，與題意中的＋＝矛盾． ∴∠B<. 【答案】　B 2．應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中要把下列哪些作為條件使用(　　) ①否定原結(jié)論的假設(shè)；②原命題的條件； ③公理、定理、定義等；④原結(jié)論． A．①②　　 B．①②④ C．①②③ D．②③ 【解析】　由反證法的推理原理可知，反證法必須把結(jié)論的相反情況作為條件應(yīng)用于推理，同時(shí)還可應(yīng)用原條件以及公理、定理、定義等． 【答案】　C 3．用反證法證明命題“如果a>b，那么>”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容是(　　) A.＝ B．< C.＝且< D．＝或< 【解析】　應(yīng)假設(shè)≤，即＝或<. 【答案】　D 4．已知p＝a＋，q＝－a2＋4a(a>2)，則(　　) A．p>q B．p0， ∴p≥2＋2＝4，而q＝－(a－2)2＋4， 根據(jù)a>2，可得q<4，∴p>q. 【答案】　A 5．設(shè)M＝＋＋＋…＋，則(　　) A．M＝1 B．M<1 C．M>1 D．M與1大小關(guān)系不定 【解析】　M＝＋＋＋…＋<＝＝1.故選B. 【答案】　B 二、填空題 6．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60”時(shí)，假設(shè)應(yīng)為__________． 【解析】　“至少有一個(gè)不大于”的反面應(yīng)是“都大于”． 【答案】　假設(shè)三內(nèi)角都大于60 7．若a>b>0，m>0，n>0，則，，，，按由小到大的順序排列為________． 【解析】　由不等式a>b>0，m>0，n>0，知<<1，且<<1， 得>>1， 即1<<. 【答案】　<<< 8．設(shè)x>0，y>0，A＝，B＝＋，則A，B的大小關(guān)系為__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910025】 【解析】　B＝＋>＋＝＝A，即A0，b>0，且a＋b>2， 求證：，中至少有一個(gè)小于2. 【證明】　假設(shè)，都不小于2， 則≥2，≥2. ∵a>0，b>0， ∴1＋b≥2a,1＋a≥2b， ∴2＋a＋b≥2(a＋b)，即2≥a＋b， 這與a＋b>2矛盾． 故假設(shè)不成立．即，中至少有一個(gè)小于2. 10．已知△ABC三邊長(zhǎng)是a，b，c，且m是正數(shù)，求證：＋>. 【證明】　設(shè)f(x)＝＝1－(x>0，m>0)． 易知函數(shù)f(x)(x>0)是增函數(shù)． 則f(a)＋f(b)＝＋ >＋ ＝ ＝f(a＋b)． 又在△ABC中，a＋b>c>0， ∴f(a＋b)>f(c)＝， ∴＋>. [能力提升] 1．已知x＝a＋(a>2)，y＝(b<0)，則x，y之間的大小關(guān)系是(　　) A．x>y B．x2)， 而b2－2>－2(b<0)， 即y＝<＝4. 所以x>y. 【答案】　A 2．若|a|<1，|b|<1，則(　　) A.＝1 B．<1 C.≤1 D．≥1 【解析】　假設(shè)≥1， 故|a＋b|≥|1＋ab| ?a2＋b2＋2ab≥1＋2ab＋a2b2 ?a2＋b2－1－a2b2≥0 ?a2(1－b2)－(1－b2)≥0 ?(a2－1)(1－b2)≥0. 由上式知a2－1≤0,1－b2≤0或a2－1≥0,1－b2≥0. 與已知矛盾，故<1. 【答案】　B 3．設(shè)a，b∈R，給出下列條件： ①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1. 其中能推出“a，b中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)大于1”的條件是________． 【解析】　對(duì)于①，a，b均可小于1；對(duì)于②，a，b均可等于1；對(duì)于④⑤，a，b均可為負(fù)數(shù)；對(duì)于③，若a，b都不大于1，則a＋b≤2，與③矛盾．故若③成立，則“a，b中至少有一個(gè)實(shí)數(shù)大于1”成立． 【答案】?、? 4．若0

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高中數(shù)學(xué) 第1章 不等關(guān)系與基本不等式 不等 關(guān)系 基本 不等式

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