高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 學(xué)業(yè)分層測評(píng)12 數(shù)學(xué)歸納法 新人教A版選修4-5
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高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 學(xué)業(yè)分層測評(píng)12 數(shù)學(xué)歸納法 新人教A版選修4-5
【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 學(xué)業(yè)分層測評(píng)12 數(shù)學(xué)歸納法 新人教A版選修4-5 (建議用時(shí):45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1設(shè)f(n)1(nN),則f(n1)f(n)等于()A.B.C. D.【解析】因?yàn)閒(n)1,所以f(n1)1,所以f(n1)f(n).故選D.【答案】D2在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n3)條時(shí),第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0等于()A1 B2C3D.0【解析】邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形【答案】C3已知a1,an1,猜想an等于() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):32750066】A. B.C. D.【解析】a2,a3,a4,猜想an.【答案】D4用數(shù)學(xué)歸納法證明:(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)時(shí),從“k到k1”左邊需增乘的代數(shù)式是()A2k1 B.C2(2k1) D.【解析】當(dāng)nk1時(shí),左邊(k11)(k12)(k1k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(k1)(k2)(k3)(kk)2(2k1)【答案】C5記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k),則凸k1邊形的內(nèi)角和f(k1)等于f(k)加上()A. BC2 D.【解析】從nk到nk1時(shí),內(nèi)角和增加.【答案】B二、填空題6觀察式子11,14(12),149123,猜想第n個(gè)式子應(yīng)為_【答案】14916(1)n1n2(1)n17用數(shù)學(xué)歸納法證明“12222n12n1(nN)”的過程中,第二步假設(shè)nk時(shí)等式成立,則當(dāng)nk1時(shí)應(yīng)得到_【解析】nk時(shí),命題為“12222k12k1”,nk1時(shí)為使用歸納假設(shè),應(yīng)寫成12222k12k2k12k2k11.【答案】12222k12k2k118用數(shù)學(xué)歸納法證明34n152n1(nN)能被14整除,當(dāng)nk1時(shí),對(duì)于34(k1)152(k1)1應(yīng)變形為_【解析】34(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1.【答案】81(34k152k1)5652k1三、解答題9用數(shù)學(xué)歸納法證明:(n2,nN)【證明】(1)當(dāng)n2時(shí),左邊1,右邊.等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2,kN)時(shí),等式成立,即(k2,kN)當(dāng)nk1時(shí),當(dāng)nk1時(shí),等式成立根據(jù)(1)和(2)知,對(duì)n2,nN時(shí),等式成立10用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)于任意正整數(shù)n,整式anbn都能被ab整除【證明】(1)當(dāng)n1時(shí),anbnab能被ab整除(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN,k1)時(shí),akbk能被ab整除,那么當(dāng)nk1時(shí),ak1bk1ak1akbakbbk1ak(ab)b(akbk)因?yàn)?ab)和akbk都能被ab整除,所以上面的和ak(ab)b(akbk)也能被ab整除這也就是說當(dāng)nk1時(shí),ak1bk1能被ab整除根據(jù)(1)(2)可知對(duì)一切正整數(shù)n,anbn都能被ab整除能力提升1設(shè)f(n)(nN),那么f(n1)f(n)等于() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):32750067】A. B.C. D.【解析】因?yàn)閒(n),所以f(n1),所以f(n1)f(n).【答案】D2某同學(xué)回答“用數(shù)學(xué)歸納法證明n1(nN)的過程如下:證明:(1)當(dāng)n1時(shí),顯然命題是正確的:(2)假設(shè)nk時(shí)有k1,那么當(dāng)nk1時(shí),(k1)1,所以當(dāng)nk1時(shí)命題是正確的由(1)(2)可知對(duì)于nN,命題都是正確的以上證法是錯(cuò)誤的,錯(cuò)誤在于()A從k到k1的推理過程沒有使用歸納假設(shè)B歸納假設(shè)的寫法不正確C從k到k1的推理不嚴(yán)密D當(dāng)n1時(shí),驗(yàn)證過程不具體【解析】證明(k1)1時(shí)進(jìn)行了一般意義的放大而沒有使用歸納假設(shè)k1.【答案】A3用數(shù)學(xué)歸納法證明2232n21(nN,且n1)時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證n_,當(dāng)nk1時(shí),左邊的式子為_【解析】所證明的等式為2232n21(nN,n1)又第一步驗(yàn)證的值應(yīng)為第一個(gè)值(初始值),n應(yīng)為2.又當(dāng)nk1時(shí),等式左邊的式子實(shí)際上是將左邊式子中所有的n換成k1,即2232k2(k1)2.【答案】22232k2(k1)24是否存在常數(shù)a,b,c使等式(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c對(duì)一切正整數(shù)n成立?證明你的結(jié)論【解】存在分別用n1,2,3代入,解方程組得故原等式右邊.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)當(dāng)n1時(shí),由上式可知等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN,k1)時(shí)等式成立,即(k212)2(k222)k(k2k2)k4k2.則當(dāng)nk1時(shí),左邊(k1)2122(k1)222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)2(k212)2(k222)k(k2k2)(2k1)2(2k1)k(2k1)k4k2(2k1)(k1)4(k1)2,故nk1時(shí),等式成立由(1)(2)得等式對(duì)一切nN均成立