（山東專(zhuān)用）2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題09 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（含解析）

專(zhuān)題09 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一、【知識(shí)精講】1.對(duì)數(shù)的概念如果axN(a>0，且a1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：alogaNN；logaabb(a>0，且a1).(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logamMnlogaM(m，nR，且m0).(3)換底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1).3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)ylogax(a0，且a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，).(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，)值域：R當(dāng)x1時(shí)，y0，即過(guò)定點(diǎn)(1，0)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，)上是增函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a>0，且a1)與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，且a1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線(xiàn)yx對(duì)稱(chēng).微點(diǎn)提醒1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論(1)logab；(2)logambnlogab.其中a>0，且a1，b>0，且b1，m，nR.2.在第一象限內(nèi)，不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.3.對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，且a1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1，0)，且過(guò)點(diǎn)(a，1)，函數(shù)圖象只在第一、四象限.二、【典例精練】考點(diǎn)一對(duì)數(shù)的運(yùn)算【例1】 (1)計(jì)算：÷100_.(2)計(jì)算：_.【答案】(1)20(2)1【解析】(1)原式(lg 22lg 52)×100lg×10lg 102×102×1020.(2)原式1.【解法小結(jié)】1.在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.2.先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.3.abNblogaN(a>0，且a1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.考點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2】(1)函數(shù)ylg|x1|的圖象是()(2)已知當(dāng)0<x時(shí)，有<logax，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)【答案】(1)A(2)【解析】(1)因?yàn)閥lg|x1|當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)無(wú)意義，故排除B、D.又當(dāng)x2或0時(shí)，y0，所以A項(xiàng)符合題意(2)若<logax在x時(shí)成立，則0<a<1，且y的圖象在ylogax圖象的下方，作出圖象如圖所示由圖象知 <loga，所以解得<a<1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【解法小結(jié)】1.在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).2.一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.考點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度1對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【例31】 (2017·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ln xln(2x)，則()A.f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增B.f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減C.yf(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x1對(duì)稱(chēng)D.yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱(chēng)【答案】C【解析】由題意知，f(x)ln xln(2x)的定義域?yàn)?0，2)，f(x)lnx(2x)ln(x1)21，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減，所以排除A，B；又f(2x)ln(2x)ln xf(x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x1對(duì)稱(chēng)，C正確，D錯(cuò)誤.角度2比較大小或解簡(jiǎn)單的不等式【例32】 (1).(2017·全國(guó)卷)設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x3y5z，則()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z【答案】D【解析】令t2x3y5z，x，y，z為正數(shù)，t>1.則xlog2t，同理，y，z.2x3y>0，2x>3y.又2x5z<0，2x<5z，3y<2x<5z.(2)若loga(a21)<loga2a<0，則a的取值范圍是()A.(0，1) B.C.D.(0，1)(1，)【答案】C【解析】由題意得a>0且a1，故必有a21>2a，又loga(a21)<loga2a<0，所以0<a<1，同時(shí)2a>1，a>.綜上，a.角度3對(duì)數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例33】 已知函數(shù)f(x)loga(3ax).(1)當(dāng)x0，2時(shí)，函數(shù)f(x)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)a>0且a1，設(shè)t(x)3ax，則t(x)3ax為減函數(shù)，x0，2時(shí)，t(x)的最小值為32a，當(dāng)x0，2時(shí)，f(x)恒有意義，即x0，2時(shí)，3ax>0恒成立.32a>0.a<.又a>0且a1，a的取值范圍是(0，1).(2)t(x)3ax，a>0，函數(shù)t(x)為減函數(shù).f(x)在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，ylogat為增函數(shù)，a>1，x1，2時(shí)，t(x)最小值為32a，f(x)最大值為f(1)loga(3a)，即故不存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，并且最大值為1.【解法小結(jié)】1.確定函數(shù)的定義域，研究或利用函數(shù)的性質(zhì)，都要在其定義域上進(jìn)行.2.如果需將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價(jià)性，否則結(jié)論錯(cuò)誤.3.在解決與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的比較大小或解不等式問(wèn)題時(shí)，要優(yōu)先考慮利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求解.在利用單調(diào)性時(shí)，一定要明確底數(shù)a的取值對(duì)函數(shù)增減性的影響，及真數(shù)必須為正的限制條件.【思維升華】1.對(duì)數(shù)值取正、負(fù)值的規(guī)律當(dāng)a>1且b>1或0<a<1且0<b<1時(shí)，logab>0；當(dāng)a>1且0<b<1或0<a<1且b>1時(shí)，logab<0.2.利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問(wèn)題，其基本方法是“同底法”，即把不同底的對(duì)數(shù)式化為同底的對(duì)數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來(lái)解決.3.比較冪、對(duì)數(shù)大小有兩種常用方法：(1)數(shù)形結(jié)合；(2)找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性.4.多個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問(wèn)題，可通過(guò)比較圖象與直線(xiàn)y1交點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行判定.【易錯(cuò)注意點(diǎn)】1.在對(duì)數(shù)式中，真數(shù)必須是大于0的，所以對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax的定義域應(yīng)為(0，).對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a與1的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)，要分0<a<1與a>1兩種情況討論.2.在運(yùn)算性質(zhì)logaMlogaM中，要特別注意條件，在無(wú)M>0的條件下應(yīng)為logaMloga|M|(N*，且為偶數(shù)).3.解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)需注意兩點(diǎn)：(1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對(duì)數(shù)底數(shù)的取值范圍.三、【名校新題】1. (2019·武漢月考)已知函數(shù)yloga(xc)(a，c為常數(shù)，其中a>0，且a1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是()A.a>1，c>1B.a>1，0<c<1C.0<a<1，c>1D.0<a<1，0<c<1【答案】D【解析】由題圖可知，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以0<a<1.又當(dāng)x0時(shí)，y>0，即logac>0，所以0<c<1.2.(2018·天津卷)已知alog3，b，clog，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b【答案】D【解析】loglog3151log35，因?yàn)楹瘮?shù)ylog3x在(0，)上為增函數(shù)，所以log35>log3>log331，因?yàn)楹瘮?shù)y在(，)上為減函數(shù)，所以<1，故c>a>b.3.(2018·張家界三模)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)2ax，g(x)loga(x2)(a>0，且a1)的圖象大致為()【答案】A【解析】由題意，知函數(shù)f(x)2ax(a>0，且a1)為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)2ax的零點(diǎn)x>2，且函數(shù)g(x)loga(x2)在(2，)上為單調(diào)遞減函數(shù)，C，D均不滿(mǎn)足；當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)2ax的零點(diǎn)x<2，且x>0，又g(x)loga(x2)在(2，)上是增函數(shù)，排除B，綜上只有A滿(mǎn)足.4.(2019·肇慶二模)已知f(x)lg(10x)lg(10x)，則()A.f(x)是奇函數(shù)，且在(0，10)上是增函數(shù)B.f(x)是偶函數(shù)，且在(0，10)上是增函數(shù)C.f(x)是奇函數(shù)，且在(0，10)上是減函數(shù)D.f(x)是偶函數(shù)，且在(0，10)上是減函數(shù)【答案】D【解析】由得x(10，10)，且f(x)lg(100x2).f(x)是偶函數(shù)，又t100x2在(0，10)上單調(diào)遞減，ylg t在(0，)上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)在(0，10)上單調(diào)遞減.5. (2019·濰坊一模)若函數(shù)f(x)axax(a>0且a1)在R上為減函數(shù)，則函數(shù)yloga(|x|1)的圖象可以是()【答案】D【解析】由f(x)在R上是減函數(shù)，知0<a<1.又yloga(|x|1)是偶函數(shù)，定義域是(，1)(1，).當(dāng)x>1時(shí)，yloga(x1)的圖象由ylogax的圖象向右平移一個(gè)單位得到.因此選項(xiàng)D正確.6.(2019·商丘二模)已知a>0且a1，函數(shù)f(x)loga(x)在區(qū)間(，)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)g(x)loga|x|b|的圖象是()【答案】A【解析】函數(shù)f(x)loga(x)在區(qū)間(，)上是奇函數(shù)，f(0)0，b1，又函數(shù)f(x)loga(x)在區(qū)間(，)上是增函數(shù)，所以a>1.所以g(x)loga|x|1|，當(dāng)x>1時(shí)，g(x)loga(x1)為增函數(shù)，排除B，D；當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)loga(1x)為減函數(shù)，排除C；故選A.7.(2019·武漢調(diào)研)函數(shù)f(x)loga(x24x5)(a>1)的單調(diào)遞增區(qū)間是_【答案】(5，)【解析】由函數(shù)f(x)loga(x24x5)，得x24x5>0，得x<1或x>5.令m(x)x24x5，則m(x)(x2)29，m(x)在2，)上單調(diào)遞增，又由a>1及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(5，)8. (2019·成都七中檢測(cè))已知a>b>1，若logablogba，abba，則a_，b_.【答案】4,2【解析】設(shè)logbat，則t>1，因?yàn)閠，所以t2，則ab2.又abba，所以b2bbb2，即2bb2，又a>b>1，解得b2，a4.9.(2019·昆明診斷)設(shè)f(x)lg是奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值范圍是_.【答案】(1，0)【解析】由f(x)是奇函數(shù)可得a1，f(x)lg，定義域?yàn)?1，1).由f(x)<0，可得0<<1，1<x<0.10.(2019·武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)若f(2a)1，則f(a)_.【答案】-2【解析】當(dāng)2a<2，即a>0時(shí)，f(2a)log2(1a)1.解得a，不合題意.當(dāng)2a2，即a0時(shí)，f(2a)2a11，即2a2，解得a1，所以f(a)f(1)log242.11(2019·日照調(diào)研)已知函數(shù)f(x)若方程f(x)a0恰有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.【答案】02，)【解析】作出函數(shù)yf(x)的圖象(如圖所示).方程f(x)a0恰有一個(gè)實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)yf(x)的圖象與直線(xiàn)ya恰有一個(gè)公共點(diǎn)，故a0或a2，即a的取值范圍是02，).12.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(0)0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)logx.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)>2.【解析】(1)當(dāng)x<0時(shí)，x>0，則f(x)log(x).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)log(x)，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)(2)因?yàn)閒(4)log42，f(x)是偶函數(shù)，所以不等式f(x21)>2轉(zhuǎn)化為f(|x21|)>f(4).又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，)上是減函數(shù)，所以|x21|<4，解得<x<，即不等式的解集為(，).13.已知函數(shù)f(x)ln.(1)求函數(shù)f(x)的定義域，并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)對(duì)于x2，6，f(x)ln>ln恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)由>0，解得x<1或x>1，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，1)(1，)，當(dāng)x(，1)(1，)時(shí)，f(x)lnlnlnlnf(x).f(x)ln是奇函數(shù).(2)由于x2，6時(shí)，f(x)ln>ln恒成立，>>0恒成立，x2，6，0<m<(x1)(7x)在x2，6上恒成立.令g(x)(x1)(7x)(x3)216，x2，6，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，x2，3時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，x3，6時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，即x2，6時(shí)，g(x)ming(6)7，0<m<7.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0，7).11