（山東專用）2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題11 函數(shù)與方程及其應(yīng)用（含解析）

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1、專題11 函數(shù)與方程及其應(yīng)用 一、【知識(shí)精講】 1．函數(shù)的零點(diǎn) (1)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)． (2)零點(diǎn)的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)． 函數(shù)的零點(diǎn)不是函數(shù)y＝f(x)與x軸的交點(diǎn)，而是y＝f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也就是說函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù). 2．函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a

2、，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根． 函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn)，而不能判斷函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)，而且連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件. 3．二分法的定義 對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法． 二、常用結(jié)論匯總——規(guī)律多一點(diǎn) 有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論 (1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)． (2)連續(xù)

3、不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)． (3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)． 二、【典例精練】 例1.　(1)設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝的圖象的交點(diǎn)為(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，則x0所在的區(qū)間是________. (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝x－ln x，則函數(shù)y＝f(x)(　　) A．在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn) B．在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均無零點(diǎn) C．在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點(diǎn) D．在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn) 【答案】(1)C　(2)D 【解析】　(1) 設(shè)f(x)＝x3－，則x0是函

4、數(shù)f(x)的零點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y＝x3與y＝的圖象如圖所示. 因?yàn)閒(1)＝1－＝－1<0， f(2)＝8－＝7>0， 所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1，2). (2)法一：圖象法 令f(x)＝0得x＝ln x．作出函數(shù)y＝x和y＝ln x的圖象，如圖， 顯然y＝f(x)在內(nèi)無零點(diǎn)，在(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)． 法二：定理法 當(dāng)x∈時(shí)，函數(shù)圖象是連續(xù)的，且f′(x)＝－＝<0，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減． 又f＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝e－1<0，所以函數(shù)有唯一的零點(diǎn)在區(qū)間(1，e)內(nèi)． 【解法小結(jié)】　掌握判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法 (

5、1)解方程法 若對(duì)應(yīng)方程f(x)＝0可解，通過解方程，即可判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)，其中方程有幾個(gè)解就對(duì)應(yīng)有幾個(gè)零點(diǎn)． (2)定理法 利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷，但必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)． (3)數(shù)形結(jié)合法 合理轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象(易畫出圖象)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其是否有交點(diǎn)，若有交點(diǎn)，其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 考法(一)　已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍 例2.　(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是(　　) A．[

6、－1,0)　　　　　　 　B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 【答案】C 【解析】　令h(x)＝－x－a， 則g(x)＝f(x)－h(huán)(x)． 在同一坐標(biāo)系中畫出y＝f(x)，y＝h(x)的示意圖，如圖所示． 若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則y＝f(x)的圖象與y＝h(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，平移y＝h(x)的圖象，可知當(dāng)直線y＝－x－a過點(diǎn)(0,1)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)1＝－0－a，a＝－1. 當(dāng)y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1時(shí)，僅有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意． 當(dāng)y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，符合題意． 綜上，a的取值范

7、圍為[－1，＋∞)． 考法(二)　已知函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍 例3.　(2019·安慶摸底)若函數(shù)f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 【答案】 【解析】　∵函數(shù)f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零點(diǎn)， ∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解， 即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解． 方程a＝4x－2x可變形為a＝2－， ∵x∈[－1,1]，∴2x∈， ∴2－∈. ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 例4.(2018·浙江卷)已知λ∈R，函數(shù)f(x)＝ (1)當(dāng)λ＝2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是____

8、____. (2)若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是________. 【答案】(1)(1，4)　(2)(1，3]∪(4，＋∞) 【解析】　(1)若λ＝2，當(dāng)x≥2時(shí)，令x－4<0，得2≤x<4；當(dāng)x<2時(shí)，令x2－4x＋3<0，解得14. 【解法小結(jié)】 1．利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的3種方法 直接法 直接根據(jù)題設(shè)

9、條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍 分離參數(shù)法 分離參數(shù)(a＝g(x))后，將原問題轉(zhuǎn)化為y＝g(x)的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線y＝a與y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解 數(shù)形結(jié)合法 先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解 2.利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的步驟 三、【名校新題】 1. (2019·北京西城區(qū)模擬)若函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(1,3)　　　　　　　 　B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) 【答案】C　 【

10、解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2x－－a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0， 即a(a－3)<0，解得0

11、有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0,1) D．(－∞，1] 【答案】A 【解析】　畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，需00時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，需－a<0，即a>0.綜上，0

12、C　 【解析】令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，則f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因?yàn)閒(x)是R上的單調(diào)函數(shù)， 所以2x2＋1＝x－λ，只有一個(gè)實(shí)根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一個(gè)實(shí)根，則Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－. 5.已知函數(shù)f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零點(diǎn)依次為a，b，c，則(　　) A.a

13、1，即01. 7.(2019·北京燕博園聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)y＝f(x)－k有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A.(－2，2) B.(－2，1) C.(0，2

14、) D.(1，3) 【答案】C 【解析】　當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x3－3x，則f′(x)＝3x2－3， 令f′(x)＝0，∴x＝±1(舍去正根)， 故f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在(－1，0)上單調(diào)遞減. 又f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增. 則函數(shù)f(x)圖象如圖所示. f(x)極大值＝f(－1)＝2，且f(0)＝0， 故當(dāng)k∈(0，2)時(shí)，y＝f(x)－k有三個(gè)不同零點(diǎn). 8.(2019·永州模擬)已知函數(shù)f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值為8，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A.(5，6) B.(7，8) C.(

15、8，9) D.(9，10) 【答案】A 【解析】　由于f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－∞，0)上是減函數(shù)， ∴f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8. 令g(a)＝a＋log2a－8，a>0. 則g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0， 又g(a)在(0，＋∞)上是增函數(shù)， ∴實(shí)數(shù)a所在的區(qū)間為(5，6). 9.(2018·鄭州一模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，f(x)＝x2.令g(x)＝f(x)－kx－k，若在區(qū)間[－1，3]內(nèi)，函數(shù)g(x)＝0有4個(gè)不相等實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　

16、　) A.(0，＋∞) B. C. D. 【答案】C 【解析】令g(x)＝0，得f(x)＝k(x＋1)， 由f(x)的周期性，作出y＝f(x)在[－1，3]上的圖象如圖所示. 設(shè)直線y＝k1(x＋1)經(jīng)過點(diǎn)(3，1)，則k1＝. ∵直線y＝k(x＋1)經(jīng)過定點(diǎn)(－1，0)，且由題意知直線y＝k(x＋1)與y＝f(x)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，∴0

17、圖象可知， 即 解得

18、函數(shù).當(dāng)方程2x＋3x＝k的解在(1，2)內(nèi)時(shí)，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5

19、數(shù)m的取值范圍是 14.(2019·邯鄲模擬)若曲線y＝log2(2x－m)(x>2)上至少存在一點(diǎn)與直線y＝x＋1上的一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則m的取值范圍為________. 【答案】(2，4] 【解析】　因?yàn)橹本€y＝x＋1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為y＝x－1，依題意方程log2(2x－m)＝x－1在(2，＋∞)上有解，即m＝2x－1在x∈(2，＋∞)上有解，∴m>2. 又2x－m>0恒成立，則m≤(2x)min＝4， 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(2，4]. 10