（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理與古典概率 8 第8講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差高效演練分層突破

第8講離散型隨機(jī)變量的均值與方差基礎(chǔ)題組練1若隨機(jī)變量X的分布列為，其中C為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()AE(X)D(X)0BE(X)C，D(X)0CE(X)0，D(X)CDE(X)D(X)C解析：選B.E(X)C×1C，D(X)(E(X)C)2×10，故選B.2(2020·稽陽市聯(lián)誼學(xué)校高三聯(lián)考)隨機(jī)變量的分布列如下，且滿足E()2，則E(ab)的值為()123PabcA.0B1C2 D無法確定，與a，b有關(guān)解析：選B.因?yàn)镋()2，則a2b3c2，又abc1，聯(lián)立兩式可得ac，2ab1，E(ab)aE()b2ab1.3(2018·高考浙江卷)設(shè)0<p<1，隨機(jī)變量的分布列是012P則當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時(shí)，()AD()減小 BD()增大CD()先減小后增大 DD()先增大后減小解析：選D.由題可得E()p，所以D()p2p，所以當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時(shí)，D()先增大后減小故選D.4設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(Xk)(k2，4，6，8，10)，則D(X)等于()A5 B8C10 D16解析：選B.因?yàn)镋(X)(246810)6，所以D(X)(4)2(2)20222428.5設(shè)擲1枚骰子的點(diǎn)數(shù)為，則()AE()3.5，D()3.52BE()3.5，D()CE()3.5，D()3.5DE()3.5，D()解析：選B.隨機(jī)變量的分布列為123456P從而E()1×2×3×4×5×6×3.5，D()(13.5)2×(23.5)2×(33.5)2×(43.5)2×(53.5)2×(63.5)2×.6如圖，將一個(gè)各面都凃了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)()A. B.C. D.解析：選B.依題意得X的取值可能為0，1，2，3，且P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).故E(X)0×1×2×3×.7(2020·嘉興市一中高考適應(yīng)性考試)隨機(jī)變量X的分布列如下表，且E(X)2，則D(2X3)()X02aPpA.2 B3C4 D5解析：選C.由題意可得，p1，解得p，因?yàn)镋(X)2，所以0×2×a×2，解得a3.D(X)(02)2×(22)2×(32)2×1.D(2X3)4D(X)4.故選C.8(2020·嘉興質(zhì)檢)簽盒中有編號為1，2，3，4，5，6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個(gè)，則X的數(shù)學(xué)期望為()A5 B5.25C5.8 D4.6解析：選B.由題意可知，X可以取3，4，5，6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)3×4×5×6×5.25.9罐中有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)X為取得紅球的次數(shù)，則X的方差D(X)的值為()A. B.C. D.解析：選B.因?yàn)槭怯蟹呕氐孛?，所以每次摸?試驗(yàn))摸得紅球(成功)的概率均為，連續(xù)摸4次(做4次試驗(yàn))，X為取得紅球(成功)的次數(shù)，則XB，所以D(X)4××.10已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球，乙盒中有m個(gè)紅球和n個(gè)藍(lán)球(m3，n3)，從乙盒中隨機(jī)抽取i(i1，2)個(gè)球放入甲盒中(1)放入i個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為i(i1，2)；(2)放入i個(gè)球后，從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為pi(i1，2)，則()Ap1>p2，E(1)<E(2) Bp1<p2，E(1)>E(2)Cp1>p2，E(1)>E(2) Dp1<p2，E(1)<E(2)解析：選A.隨機(jī)變量1，2的分布列為112P2123P所以E(1)，E(2)，所以E(1)<E(2)因?yàn)閜1·，p2··，p1p2>0，所以p1>p2.11某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊比賽中所得環(huán)數(shù)的分布列如下：3456Px0.10.3y已知的均值E()4.3，則y的值為_解析：由題意知，x0.10.3y1，又E()3x4×0.15×0.36y4.3，兩式聯(lián)立解得y0.2.答案：0.212已知X的分布列為X101P且YaX3，E(Y)，則a的值為_解析：E(X)1×0×1×，E(Y)E(aX3)aE(X)3a3，所以a2.答案：213設(shè)口袋中有黑球、白球共9個(gè)從中任取2個(gè)球，若取到白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，則口袋中白球的個(gè)數(shù)為_解析：設(shè)白球有m個(gè)，則取得白球的數(shù)學(xué)期望是×0×1×2，即×2，解得m3.答案：314隨機(jī)變量的分布列如下表：101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列若E()，則D()的值是_解析：由題意可得解得所以D()×××.答案：15已知隨機(jī)變量的分布列為101P那么的數(shù)學(xué)期望E()_，設(shè)21，則的數(shù)學(xué)期望E()_解析：由離散型隨機(jī)變量的期望公式及性質(zhì)可得，E()1×0×1×，E()E(21)2E()12×1.答案：16(2020·浙江新高考沖刺卷)某中學(xué)的十佳校園歌手有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)，其中3名來自1班，其余7名來自其他互不相同的7個(gè)班，現(xiàn)從10名同學(xué)中隨機(jī)選擇3名參加文藝晚會(huì)，則選出的3名同學(xué)來自不同班級的概率為_，設(shè)X為選出3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，則該變量X的數(shù)學(xué)期望為_解析：設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同班級”為事件A，則P(A).隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，P(Xk)(k0，1，2，3)所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)01×2×3×.答案：17從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同取法有_種，記取出的4只鞋子中成雙的鞋子對數(shù)為X，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)_解析：從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同取法有CCCC48.X0，1，2，P(X0)，P(X1)，P(X2).X的分布列為X012PE(X)01×2×.答案：48綜合題組練1袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號的有10個(gè)，記上n號的有n個(gè)(n1，2，3，4)，現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若YaXb，E(Y)1，D(Y)11，試求a，b的值解：(1)X的取值為0，1，2，3，4，其分布列為X01234P所以E(X)0×1×2×3×4×1.5，D(X)(01.5)2×(11.5)2×(21.5)2×(31.5)2×(41.5)2×2.75.(2)由D(Y)a2D(X)得2.75a211，得a±2，又E(Y)aE(X)b，所以當(dāng)a2時(shí)，由12×1.5b，得b2；當(dāng)a2時(shí)，由12×1.5b，得b4，所以或2設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分(1)當(dāng)a3，b2，c1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此球所得分?jǐn)?shù)若E，D，求abc.解：(1)由題意得2，3，4，5，6.故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列為23456P(2)由題意知的分布列為123P所以E，D(1)2·(2)2·(3)2·，化簡得解得a3c，b2c，故abc321.3C1：yaxb，a，b1，2，3，4，5，C2：x2y22.(1)求C1，C2有交點(diǎn)的概率P(A)；(2)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望E()解：(1)設(shè)圓心(0，0)到直線axyb0的距離為d，若C1，C2有交點(diǎn)，則db22(a21)當(dāng)b1時(shí)，a1，2，3，4，5；當(dāng)b2時(shí)，a1，2，3，4，5；當(dāng)b3時(shí)，a2，3，4，5；當(dāng)b4時(shí)，a3，4，5；當(dāng)b5時(shí)，a4，5.共5543219種情況，所以P(A).(2)當(dāng)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0時(shí)，直線與圓相離，有6種情況；當(dāng)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1時(shí)，直線與圓相切，b22(a21)，只有a1，b2這1種情況；當(dāng)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2時(shí)，由(1)知直線與圓相交，有18種情況所以E()0×1×2×.4(2020·溫州八校聯(lián)考)某公司準(zhǔn)備將1 000萬元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)建設(shè)項(xiàng)目供選擇若投資甲項(xiàng)目一年后可獲得的利潤1(萬元)的概率分布列如下表所示：1110120170Pm0.4n且1的期望E(1)120；若投資乙項(xiàng)目一年后可獲得的利潤2(萬元)與該項(xiàng)目建設(shè)材料的成本有關(guān)，在生產(chǎn)的過程中，公司將根據(jù)成本情況決定是否在第二和第三季度進(jìn)行產(chǎn)品的價(jià)格調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨(dú)立且調(diào)整的概率分別為p(0p1)和1p .若乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)X(次)與2的關(guān)系如下表所示：X012241.2117.6204(1)求m，n的值；(2)求2的分布列；(3)若E(1)E(2)，則選擇投資乙項(xiàng)目，求此時(shí)p的取值范圍解：(1)由題意得解得m0.5，n0.1.(2)2的可能取值為41.2，117.6，204，P(241.2)(1p)1(1p)p(1p)，P(2117.6)p1(1p)(1p)(1p)p2(1p)2，P(2204)p(1p)，所以2的分布列為241.2117.6204Pp(1p)p2(1p)2p(1p)(3)由(2)可得：E(2)41.2p(1p)117.6p2(1p)2204p(1p)10p210p117.6，由E(1)E(2)，得12010p210p117.6，解得0.4p0.6，即當(dāng)選擇投資乙項(xiàng)目時(shí)，p的取值范圍是(0.4，0.6)10