2020屆高考數(shù)學(xué) 專(zhuān)題五 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用精準(zhǔn)培優(yōu)專(zhuān)練 理

培優(yōu)點(diǎn)五 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、求切線(xiàn)方程例1：曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為【答案】【解析】，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線(xiàn)可知在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程的斜率為，切線(xiàn)方程為二、求單調(diào)區(qū)間和極值例2：已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，記在區(qū)間的最大值為，最小值為，求的取值范圍【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1），當(dāng)時(shí)，此時(shí)在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得或；令，解得，此時(shí)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得或；令，解得，此時(shí)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，綜上可得，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（2）由（1）中結(jié)論可知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增此時(shí)，當(dāng)時(shí)，令，則，在單調(diào)遞減又，即當(dāng)時(shí)，綜上，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是三、導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)例3：已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有個(gè)零點(diǎn)【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)可得，取，則，在內(nèi)，為單調(diào)遞減函數(shù)，且，所以在內(nèi)存在一個(gè)，使得，所以在內(nèi)，為增函數(shù)；在內(nèi)，為減函數(shù)，所以在在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)增，且，可得，則在此區(qū)間單調(diào)減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)增，且，則在此區(qū)間單調(diào)增；又，則在上有唯一零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，單調(diào)減，且，則存在唯一的，使得，在時(shí)，單調(diào)增；在時(shí)，單調(diào)減，且，所以在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)減，單調(diào)減，則在上單調(diào)減，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上無(wú)零點(diǎn)，綜上可得，有且僅有個(gè)零點(diǎn)對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)一、選擇題1設(shè)函數(shù)若為奇函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）ABCD【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，解得，所以，所以，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，化簡(jiǎn)可得，故選D2函數(shù)的圖像大致為（）ABCD【答案】B【解析】，為奇函數(shù)，舍去A，舍去D；，所以舍去C；因此選B3曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）ABCD【答案】C【解析】因?yàn)椋郧€(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，故曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為4若函數(shù) (是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在的定義域上單調(diào)遞增，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì)，下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是（）ABCD【答案】A【解析】對(duì)于A，令，則在上單調(diào)遞增，故具有性質(zhì)，故選A5已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，則（）A，B，C，D，【答案】D【解析】令，則，得，可得故選D6已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）ABCD【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和，不滿(mǎn)足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，令，得或，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，且，此時(shí)在必有零點(diǎn)，故不滿(mǎn)足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，且，要使得存在唯一的零點(diǎn)，且，只需，即，則，故選C7已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（）ABCD【答案】C【解析】函數(shù)的零點(diǎn)滿(mǎn)足，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，為設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，為，若，函數(shù)與函數(shù)沒(méi)有交點(diǎn)；若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)和有一個(gè)交點(diǎn)，即，解得故選C8若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極小值為（）ABCD【答案】A【解析】由題可得，因?yàn)?，所以，故，令，解得或，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值為，故選A二、填空題9曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為，則_【答案】【解析】，則，所以10在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在曲線(xiàn)上，且該曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)的坐標(biāo)是【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，則又，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A在曲線(xiàn)上的切線(xiàn)為，即，代入點(diǎn)，得，即，考查函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故存在唯一的實(shí)數(shù)根，此時(shí)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為11若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為_(kāi)【答案】【解析】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)且，所以，因此，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，12已知函數(shù)，則的最小值是_【答案】【解析】，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)增，從而得到函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)，所以，故答案是三、解答題13已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)的切線(xiàn)【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，又，所以在區(qū)間存在一個(gè)零點(diǎn)，且，所以在區(qū)間上也存在一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)有且只有2個(gè)零點(diǎn)（2）因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以有曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為，曲線(xiàn)曲線(xiàn)當(dāng)切線(xiàn)斜率為時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線(xiàn)方程為，化簡(jiǎn)為，所以曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)的切線(xiàn)14已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為？若存在，求出的所有值；若不存在，說(shuō)明理由【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）存在，或滿(mǎn)足題意【解析】（1），當(dāng)時(shí)，此時(shí)在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得或；令，解得，此時(shí)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得或；令，解得，此時(shí)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，綜上可得，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（2）由（1）中結(jié)論可知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，此時(shí)，滿(mǎn)足題意當(dāng)時(shí)，若，即，則在單調(diào)遞減，此時(shí)，滿(mǎn)足題意若，即，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增此時(shí)，當(dāng)時(shí)，由可得，與矛盾，故不成立當(dāng)時(shí)，由可得，與矛盾，故不成立綜上可知，或滿(mǎn)足題意15已知函數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)（1）證明：在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)；（2）若時(shí)，求的取值范圍【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）由題意得，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，的最大值為，又，即，在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)（2）由題設(shè)知，可得由（1）知，在只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減又，所以當(dāng)時(shí)，又當(dāng)，時(shí)，故因此，的取值范圍是15