（山東專用）2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題21 兩角和與差的正、余弦和正切公式（含解析）

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1、專題21 兩角和與差的正、余弦和正切公式 一、【知識精講】 1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α?β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)＝. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan 2α＝. 3.函數(shù)f(α)＝asin α＋bcos α(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ). [微點提醒

2、] 1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β). 2.cos2α＝，sin2α＝. 3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝sin. 二、【典例精練】 考點一　三角函數(shù)式的化簡 【例1】 (1)化簡：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________. (2)化簡：(0<α<π)＝________. 【答案】(1)sin(α＋γ)　(2)cos α 【解析】　(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－

3、γ) ＝sin(α＋β)cos (β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ) ＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ). (2)原式＝ ＝＝. 因為0<α<π，所以0<<，所以cos>0，所以原式＝cos α. 【解法小結(jié)】　1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，正確使用公式；二看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公式，常見的有“切化弦”；三看結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升冪”等. 2.化簡三角函數(shù)式的常見方法有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪與升冪等. 考點二　三角函數(shù)式的求

4、值　 角度1　給角(值)求值 【例2－1】 (1) 已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點P.若角β滿足sin(α＋β)＝，則cos β的值為________． 【答案】－或 【解析】由角α的終邊過點P， 得sin α＝－，cos α＝－. 由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±. 由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－或cos β＝. (2)(2018·江蘇卷)已知α，β為銳角，tan α＝，cos(α＋β)＝－. ①求cos 2α的值； ②求tan(α－β)的值

5、. 【解析】　①因為tan α＝，tan α＝， 所以sin α＝cos α. 因為sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝， 因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－. ②因為α，β為銳角，所以α＋β∈(0，π). 又因為cos(α＋β)＝－， 所以sin(α＋β)＝＝， 因此tan(α＋β)＝－2. 因為tan α＝，所以tan 2α＝＝－， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－. 角度2　給值求角 例2-2（1）已知α，β為銳角，cos α＝，且sin(α＋β)＝，則角β＝________. (2)若＝·sin 2θ，則sin 2θ＝(　

6、　) A. B. C.－ D.－ 【答案】（1），（2）－ 【解析】 (1)∵α為銳角，且cos α＝， ∴sin α＝＝. ∵α，β∈，∴0<α＋β<π. 又∵sin(α＋β)， ∴cos(α＋β)＝－. cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×＋×＝＝. ∴β＝. (2)由題意知＝sin 2θ， ∴2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，則4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ， 因此sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍). 【解法小結(jié)】　1.“給角求值”、“給值求值”問題

7、求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法. 2.“給值求角”：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.遵照以下原則：(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；(2)已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好. 考點三　三角恒等變換的簡單應(yīng)用 例3.(2017·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝cos－2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求證：當(dāng)x∈時，f(x)≥－. 【解析】(1)　f(x)＝cos－2sin xco

8、s x ＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x ＝sin 2x＋cos 2x＝sin， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)證明　由(1)知f(x)＝sin . ∵x∈，∴2x＋∈， ∴當(dāng)2x＋＝－，即x＝－時，f(x)取得最小值－. ∴f(x)≥－成立. 【解法小結(jié)】　1.進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用. 2.把形如y＝asin x＋bcos x化為y＝sin(x＋φ)，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對稱性. 【思維升華】 1.重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”.

9、(1)變角：對角的分拆要盡可能化成同角、特殊角；(2)變名：盡可能減少函數(shù)名稱；(3)變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等. 2.在解決求值、化簡、證明問題時，一般是觀察角、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃? 【易錯注意點】 1.運(yùn)用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對性，要注意升冪、降冪的靈活運(yùn)用，要注意“1”的各種變通. 2.在(0，π)范圍內(nèi)，sin α＝所對應(yīng)的角α不是唯一的. 3.在三角求值時，往往要借助角的范圍確定三角函數(shù)值的符號或所求角的三角函數(shù)的名稱. 三、【名校新題】 1.(201

10、9·南昌一模)已知角α的終邊經(jīng)過點P(sin 47°，cos 47°)，則sin(α－13°)＝(　　) A. B. C.－ D.－ 【答案】A 【解析】由三角函數(shù)定義，sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°， 則sin(α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13° ＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13° ＝cos(47°＋13°)＝cos 60°＝. 2.(2019·合肥模擬)tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)等于(　　) A.1 B.2 C.－1 D.－2 【答案】C 【解析】 ta

11、n 70°·cos 10°(tan 20°－1) ＝·cos 10° ＝· ＝＝＝－1. 3.(2019·廣東省際名校聯(lián)考)若cos＝，則cos＝(　　) A. B.－ C. D.－ 【答案】D 【解析】∵cos＝， ∴cos＝sin＝sin＝， ∴cos＝1－2sin2＝－. 4.(2019·信陽一模)函數(shù)f(x)＝3sin cos ＋4cos2(x∈R)的最大值等于(　　) A.5 B. C. D.2 【答案】　 【解析】由題意知f(x)＝sin x＋4× ＝sin x＋2cos x＋2 ＝sin(x＋φ)＋2， 又因為x∈R，所以f(x)的最大值為.

12、 5.(2019·濟(jì)南模擬)若sin＝，A∈，則sin A的值為(　　) A. B. C.或 D. 【答案】B 【解析】∵A∈，∴A＋∈， ∴cos<0， 且cos＝－＝－， ∴sin A＝sin ＝sincos －cossin ＝. 6.(2019·江西八所重點中學(xué)聯(lián)考)若點(θ，0)是函數(shù)f(x)＝sin x＋2cos x圖象的一個對稱中心，則cos 2θ＋sin θcosθ＝(　　) A. B.－ C.1 D.－1 【答案】D 【解析】∵點(θ，0)是函數(shù)f(x)＝sin x＋2cos x圖象的一個對稱中心， ∴sin θ＋2cos θ＝0，即tan θ＝－2

13、. ∴cos 2θ＋sin θcos θ＝ ＝＝＝－1. 7. (2019·河北百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝(　　) A. B.－ C.－ D. 【答案】B 【解析】法一　∵sin＝×(sin θ＋cos θ)＝， ∴sin θ＋cos θ＝，① ∴2sin θcos θ＝－. ∵θ是第四象限角，∴sin θ<0，cos θ>0， ∴sin θ－cos θ＝－＝－，② 由①②得sin θ＝－，cos θ＝，∴tan θ＝－， ∴tan＝＝－. 法二　∵＋＝， ∴sin＝cos＝， 又2kπ－<θ<2kπ(k∈Z)， ∴2kπ－<θ＋<

14、2kπ＋(k∈Z)， ∴cos＝，∴sin＝， ∴tan＝＝， ∴tan＝－tan＝－. 8.(2018·濟(jì)南一模)若sin＝，A∈，則sin A的值為(　　) A. B. C.或 D. 【答案】B　 【解析】∵A∈，∴A＋∈， ∴cos＝－ ＝－， ∴sin A＝sin ＝sincos－cossin＝. 9.(2019屆江西九江高三第一次十校聯(lián)考)已知cosα-π12=35,計算sin5π3-2α的值為(　　) A.-725 B.725 C.2425 D.-2425 【答案】　B　 【解析】由已知可得cos2α-π6=2cos2α-π12=-725,

15、sin5π3-2α=sin3π2-2α-π6=-cos2α-π6=725. 10.(2019屆廣東深圳實驗,珠海一中等六校第一次聯(lián)考)已知A是函數(shù) f(x)=sin2018x+π6+cos2018x-π3的最大值,若存在實數(shù)x1,x2對任意實數(shù)x總有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,則A·|x1-x2|的最小值為(　　) A.π2018 B.π1009 C.2π1009 D.π4036 【答案】　B　 【解析】f(x)=sin2018x+π6+cos2018x-π3=3sin2018x,最小正周期T=π1009，即為所求。 11. (2019·河南六市聯(lián)考)已知cos α＝，c

16、os(α－β)＝，若0<β<α<，則β＝________. 【答案】. 【解析】由cos α＝，0<α<， 得sin α＝＝＝. 由0<β<α<，得0<α－β<，又cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝＝＝. 由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝. ∵β∈，∴β＝. 12.(2019·湘東五校聯(lián)考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，則＝________. 【答案】5 【解析】因為sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，

17、 sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝＝5. 13.(2019·廣東五校聯(lián)考)若tan＝4cos(2π－θ)，|θ|<，則tan 2θ＝________. 【答案】 【解析】∵tan＝4cos(2π－θ)，∴＝4cos θ， 又∵|θ|<，∴sin θ＝， ∴0<θ<，cos θ＝，tan θ＝＝， 從而tan 2θ＝＝. 14.(2018河北、河南兩省重點中學(xué)4月聯(lián)考,8)已知atan α+b=(a-btan α)tan β,且α+π6與β的終邊相同,則ba的值為(　　) A.23 B.33 C.223 D.

18、34 【答案】　B　 【解析】由已知可得：atanα-tanβ=-btanαtanβ+1, 因為α-β=2kπ-π6,k?Z,∴tanα-β=tanα-tanβtanαtanβ+1=-33,∴ba=-tanα-β=33. 15. (2019·鄭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋λ的圖象關(guān)于直線x＝π對稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若y＝f(x)的圖象經(jīng)過點，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最值. 【解析】　(1)f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ ＝sin 2ω

19、x－cos 2ωx＋λ ＝2sin＋λ. 因為圖象關(guān)于直線x＝π對稱， 所以2πω－＝＋kπ(k∈Z)， 所以ω＝＋(k∈Z)，又ω∈， 令k＝1時，ω＝符合要求， 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為＝. (2)因為f＝0， 所以2sin＋λ＝0，則λ＝－. 所以f(x)＝2sin－. 由0≤x≤π，知－≤x－≤π， ∴當(dāng)x－＝－，即x＝0時，f(x)取最小值－1－. 當(dāng)x－＝，即x＝π時，f(x)取最大值2－ 16.(2019·石家莊質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝sin，x∈R. (1)求f的值； (2)若cos θ ＝，θ∈，求f的值． 【解析】(1)f＝sin＝si

20、n＝－. (2)f＝sin＝sin＝(sin 2θ－cos 2θ)． 因為cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝， 所以f＝(sin 2θ－cos 2θ)＝× 17.(2018山東桓臺第二中學(xué)4月月考)已知函數(shù)f(x)=a+2cos2x2cos(x+θ)為奇函數(shù),且fπ2=0,其中a∈R,θ∈(0,π). (1)求a,θ的值; (2)若α∈π2,π, fα2+π8+25cosα+π4cos 2α=0,求cos α-sin α的值. 【解析】　(1)因為f(x)=a+2cos2x2cos(x+θ)

21、是奇函數(shù), 所以a+2cos2x2cos(x+θ)=-a+2cos2x2cos(-x+θ), 化簡、整理得,cos xcos θ=0,則有cos θ=0, 由θ∈(0,π),得θ=π2, 所以f(x)=-sin x·a+2cos2x2. 由fπ2=0,得-(a+1)=0,即a=-1. (2)由(1)知f(x)=-12sin 2x, fα2+π8+25cosα+π4cos 2α=0?sinα+π4=45cosα+π4cos 2α, 因為cos 2α=sin2α+π2=sin2α+π4=2sinα+π4cosα+π4, 所以sinα+π4=85cos2α+π4sinα+π4. 又α∈π2,π,所以sinα+π4=0或cos2α+π4=58. ①由sinα+π4=0?α=3π4, 所以cos α-sin α=cos3π4-sin3π4=-2; ②由cos2α+π4=58,3π4<α+π4<5π4, 得cosα+π4=-522?12(cos α-sin α)=-522 ?cos α-sin α=-52. 綜上,cos α-sin α=-2或cos α-sin α=-52. 12