2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 3 綜合法與分析法 3.1 綜合法練習(xí) 北師大版選修1-2

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1、3.1 綜合法 課時過關(guān)·能力提升 1.“a>1”是“a>a”的(  ) A.既不充分也不必要條件 B.充要條件 C.充分不必要條件 D.必要不充分條件 解析:a>1?a>a,反之a(chǎn)>a?a>1. 答案:B 2.若f(x)為奇函數(shù),f(1)=12,f(x+2)=f(x)+(2),則f(5)等于(  ) A.0 B.1 C.52 D.5 解析:由f(x)是奇函數(shù)與f(1)=12,知f(-1)=-12. 又f(-1+2)=f(-1)+f(2)=f(1), 所以f(2)=f(1)-f(-1)=1, 所以f(5)=f(3)+f(2)=f

2、(1)+2f(2)=52. 答案:C 3.設(shè)函數(shù)f(x)=ln x,若a,b是兩個不相等的正數(shù),且p=f(ab),q=fa+b2,r=12fa2+b22,V=12[f(a)+f(b)],則下列關(guān)系式中正確的是(  ) A.p=qln(ab)=p, V=12[f(a)+f(b)]=12(lna+lnb)=p, r=12fa2+b22=12lna2+b22>lnab>q. 得p=v

3、r>q. 故p=v3sin x B.2

4、x<3sin x C.2x=3sin x D.與x的取值有關(guān) 解析:令f(x)=2x-3sinx,則f'(x)=2-3cosx.當(dāng)cosx<23時,f'(x)>0;當(dāng)cosx=23時,f'(x)=0;當(dāng)cosx>23時,f'(x)<0.即當(dāng)00.故f(x)的值與x取值有關(guān),即2x與sinx的大小關(guān)系與x取值有關(guān).故選D. 答案:D 6.已知f(x)是連續(xù)的偶函數(shù),且當(dāng)x>0時f(x)是單調(diào)函數(shù),則滿足f(x)=fx+3x+4的所有x之和為(  ) A.-3 B.3 C.-8 D.8 解析:因為f(x)是連續(xù)

5、的偶函數(shù),且當(dāng)x>0時f(x)是單調(diào)函數(shù),由偶函數(shù)的性質(zhì)可知,若f(x)=fx+3x+4,只有兩種情況:①x=x+3x+4;②x+x+3x+4=0. 由①知x2+3x-3=0,故其兩根之和為-3; 由②知x2+5x+3=0,故其兩根之和為-5. 因此滿足條件的所有x之和為-8. 答案:C 7.已知實數(shù)a≠0,且函數(shù)f(x)=a(x2+1)-2x+1a有最小值-1,則a=_________________.? 解析:f(x)=ax2-2x+a-1a有最小值,則a>0,對稱軸的方程為x=1a,則f(x)min=f1a=-1, 即f1a=a·1a2-2·1a+a-1a=-1, 即a-

6、2a=-1,則a2+a-2=0. 因為a>0,解得a=1. 答案:1 8.★函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的圖像恒過定點A,若點A在直線mx+ny+1=0上,其中mn>0,則1m+2n的最小值為_________________.? 解析:y=loga(x+3)-1(a>0,且a≠1)的圖像恒過定點A(-2,-1). ∵點A在直線mx+ny+1=0上, ∴2m+n=1. ∵mn>0,∴m>0,n>0.∴2m+n=1≥22mn,當(dāng)且僅當(dāng)2m=n=12,即m=14,n=12時取等號. ∴mn≤18.∴1m+2n=2m+nmn=1mn≥8. 答案:8 9.(1

7、)已知a,b,c是不全相等的正數(shù),求證:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc; (2)已知a>0,b>0,且a+b=1,求證:4a+1b≥9. 證明(1)∵a,b,c是正數(shù), ∴b2+c2≥2bc, ∴a(b2+c2)≥2abc. 同理b(c2+a2)≥2abc,c(a2+b2)≥2abc. ∵a,b,c不全相等, ∴b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,a2+b2≥2ab不能同時取到等號, ∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. (2)∵a>0,b>0,a+b=1, ∴4a+1b=4a+1b(a+b)=5+4ba+a

8、b ≥5+24ba·ab=9, 當(dāng)且僅當(dāng)4ba=ab,且a+b=1時取等號. 10.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.求證:a2-b2c2=sin(A-B)sinC. 證明由余弦定理,得a2-b2=c2-2bccosA, 則a2-b2c2=c2-2bccosAc2=c-2bcosAc. 又由正弦定理,得c-2bcosAc=sinC-2sinBcosAsinC =sinC-[sin(B+A)+sin(B-A)]sinC =sinC-[sinC-sin(A-B)]sinC=sin(A-B)sinC. 所以a2-b2c2=sin(A-B)sinC. 11.★如圖

9、,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC. (1)求證:DC⊥平面PAC. (2)求證:平面PAB⊥平面PAC. (3)設(shè)點E為AB的中點,在棱PB上是否存在點F,使得PA∥平面CEF?說明理由. (1)證明因為PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC. 又因為DC⊥AC,PC∩AC=C, 所以DC⊥平面PAC. (2)證明因為AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC. 因為PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB. 因為PC∩AC=C,所以AB⊥平面PAC. 又因為AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC. (3)解棱PB上存在點F,使得PA∥平面CEF.證明如下: 取PB中點F,連接EF,CE,CF. 因為E為AB的中點,所以EF∥PA. 又因為PA?平面CEF,EF?平面CEF, 所以PA∥平面CEF. 7

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