（課標(biāo)專用）天津市2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練9 三角變換與解三角形

專題能力訓(xùn)練9三角變換與解三角形專題能力訓(xùn)練第24頁 一、能力突破訓(xùn)練1.若sin =13,則cos 2=()A.89B.79C.-79D.-89答案:B解析:cos2=1-2sin2=1-2×132=79.2.(2019全國,理10)已知0,2,2sin 2=cos 2+1,則sin =()A.15B.55C.33D.255答案:B解析:2sin2=cos2+1,4sincos=2cos2.0,2,cos>0,sin>0,2sin=cos.又sin2+cos2=1,5sin2=1,即sin2=15.sin>0,sin=55.故選B.3.在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,則角B的值為()A.6B.3C.6或56D.3或23答案:D解析:由(a2+c2-b2)tanB=3ac,得a2+c2-b22ac=32·cosBsinB,即cosB=32·cosBsinB,則sinB=32.0<B<,角B為3或23.故選D.4.在ABC中,ABC=4,AB=2,BC=3,則sinBAC等于()A.1010B.105C.31010D.55答案:C解析:在ABC中,由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BCcosABC=(2)2+32-2×2×3cos4=5,解得AC=5.由正弦定理BCsinBAC=ACsinABC,得sinBAC=BC·sinABCAC=3×sin45=3×225=31010.5.已知在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,C=120°,a=2b,則tan A=. 答案:32解析:由正弦定理可得sinA=2sinB,因為B=180°-A-120°=60°-A,所以sinA=2sin(60°-A),即sinA=3cosA-sinA,所以2sinA=3cosA,故tanA=32.6.(2019浙江,14)在ABC中,ABC=90°,AB=4,BC=3,點D在線段AC上.若BDC=45°,則BD=,cosABD=. 答案:12257210解析:如圖所示,設(shè)CD=x,DBC=,則AD=5-x,ABD=2-,在BDC中,由正弦定理得3sin4=xsin=32sin=x32.在ABD中,由正弦定理得5-xsin(2-)=4sin34=42cos=5-x42.由sin2+cos2=x218+(5-x)232=1,解得x1=-35(舍去),x2=215BD=1225.在ABD中,由正弦定理得0.8sinABD=4sin(-4)sinABD=210cosABD=7210.7.在ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求B的大小;(2)求2cos A+cos C的最大值.解:(1)由余弦定理及題設(shè)得cosB=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.又因為0<B<,所以B=4.(2)由(1)知A+C=34.2cosA+cosC=2cosA+cos34-A=2cosA-22cosA+22sinA=22cosA+22sinA=cosA-4.因為0<A<34,所以當(dāng)A=4時,2cosA+cosC取得最大值1.8.已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=23,且(23+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C.(1)求角A的大小;(2)求ABC面積的最大值.解:(1)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=23,且(23+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC.整理得,(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,利用正弦定理得,a2-b2=c2-bc,即cosA=b2+c2-a22bc=12,由于0<A<,解得A=3.(2)因為a=23,A=3,所以a2=b2+c2-2bccosA,整理得12=b2+c2-bc2bc-bc=bc,所以SABC=12bcsinA12×12×32=33.當(dāng)且僅當(dāng)b=c時,ABC的面積有最大值33.9.設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btan A,且B為鈍角.(1)證明:B-A=2;(2)求sin A+sin C的取值范圍.(1)證明由a=btanA及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sinB=cosA,即sinB=sin2+A.又B為鈍角,因此2+A2,故B=2+A,即B-A=2.(2)解由(1)知,C=-(A+B)=-2A+2=2-2A>0,所以A0,4,于是sinA+sinC=sinA+sin2-2A=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2sinA-142+98.因為0<A<4,所以0<sinA<22,因此22<-2sinA-142+9898.由此可知sinA+sinC的取值范圍是22,98.10.設(shè)f(x)=sin xcos x-cos2x+4.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若fA2=0,a=1,求ABC面積的最大值.解:(1)由題意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+22=sin2x2-1-sin2x2=sin2x-12.由-2+2k2x2+2k,kZ,可得-4+kx4+k,kZ;由2+2k2x32+2k,kZ,可得4+kx34+k,kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-4+k,4+k(kZ);單調(diào)遞減區(qū)間是4+k,34+k(kZ).(2)由fA2=sinA-12=0,得sinA=12,由題意知A為銳角,所以cosA=32.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得1+3bc=b2+c22bc,即bc2+3,且當(dāng)b=c時等號成立.因此12bcsinA2+34.所以ABC面積的最大值為2+34.二、思維提升訓(xùn)練11.若0<<2,-2<<0,cos4+=13,cos4-2=33,則cos+2等于()A.33B.-33C.539D.-69答案:C解析:cos4+=13,0<<2,sin4+=223.又cos4-2=33,-2<<0,sin4-2=63,cos+2=cos4+-4-2=cos4+·cos4-2+sin4+sin4-2=13×33+223×63=539.12.在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足csin A=acos C.當(dāng)3sin A-cosB+4取最大值時,角A的大小為()A.3B.4C.6D.23答案:A解析:由正弦定理,得sinCsinA=sinAcosC.因為0<A<,所以sinA>0,從而sinC=cosC.又cosC0,所以tanC=1,則C=4,所以B=34-A.于是3sinA-cosB+4=3sinA-cos(-A)=3sinA+cosA=2sinA+6.因為0<A<34,所以6<A+6<1112,從而當(dāng)A+6=2,即A=3時,2sinA+6取最大值2.故選A.13.在ABC中,邊AB的垂直平分線交邊AC于點D,若C=3,BC=8,BD=7,則ABC的面積為. 答案:203或243解析:在CDB中,設(shè)CD=t,由余弦定理得49=64+t2-2×8t×cos3,即t2-8t+15=0,解得t=3或t=5.當(dāng)t=3時,CA=10,ABC的面積S=12×10×8×sin3=203;當(dāng)t=5時,CA=12,ABC的面積S=12×12×8×sin3=243.故ABC的面積為203或243.14.已知sin4+sin4-=16,2,則sin 4的值為. 答案:-429解析:因為sin4+=sin2-4-=cos4-,所以sin4+sin4-=sin4-cos4-=12sin2-2=12cos2=16,所以cos2=13.因為2<<,所以<2<2.所以sin2=-1-132=-223.所以sin4=2sin2cos2=-2×229=-429.15.已知銳角三角形ABC的外接圓的半徑為1,A=4,則ABC的面積的取值范圍為. 答案:1,2+12解析:因為銳角三角形ABC的外接圓的半徑為1,A=4,所以由正弦定理可得,bsinB=csinC=a22=2,可得b=2sinB,c=2sin34-B,所以SABC=12bcsinA=12×2sinB×2sin34-B×22=sinB(cosB+sinB)=22sin2B-4+12,因為B,C為銳角,可得4<B<2,4<2B-4<34,可得sin2B-422,1,所以SABC=22sin2B-4+121,2+12.16.在ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,3<C<2,且ba-b=sin2CsinA-sin2C.(1)判斷ABC的形狀;(2)若|BA+BC|=2,求BA·BC的取值范圍.解:(1)由ba-b=sin2CsinA-sin2C及正弦定理,得sinB=sin2C,B=2C或B+2C=.若B=2C,3<C<2,23<B<,B+C>(舍去).若B+2C=,又A+B+C=,A=C,ABC為等腰三角形.(2)|BA+BC|=2,a2+c2+2accosB=4.又由(1)知a=c,cosB=2-a2a2.而cosB=-cos2C,12<cosB<1,1<a2<43.BA·BC=accosB=a2cosB,且cosB=2-a2a2,a2cosB=2-a223,1.BA·BC23,1.- 8 -