（江蘇專用）2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)07 二次函數(shù)與冪函數(shù)必刷題（含解析）

考點(diǎn)07 二次函數(shù)與冪函數(shù)1、如果方程x2(2m1)x42m0的一根大于2，一根小于2，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【答案】(，3)【解析】設(shè)f(x)x2(2m1)x42m，由題意得，解得所以m<3，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，3)2、 若冪函數(shù)ymxn(m，nR)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則n_【答案】【解析】由題意可得解得n，故n的值為.3、已知f(x)ax2bx3ab是定義在a1，2a上的偶函數(shù)，則a，b的值為_【答案】，0【解析】由題意得，f(x)f(x)，即ax2bx3abax2bx3ab，即2bx0對(duì)任意x恒成立，所以b0.又因?yàn)閍12a，解得a，所以a，b的值分別為，0.4、函數(shù)yx223的單調(diào)減區(qū)間是_【答案】1，0和1，)【解析】令f(x)x22|x|3，所以f(x)即f(x)所以當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(1，)；當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(1，0)，故單調(diào)減區(qū)間為(1，0)和(1，)5、若函數(shù)f(x)x22x1在區(qū)間上的最大值為4，則a的值為_【答案】1或1【解析】由題意得，f(x)x22x1(x1)2，對(duì)稱軸為直線x1.當(dāng)a0時(shí)，f(a2)4，即(a2)22(a2)14，解得a1或a3(舍去)；當(dāng)a<0時(shí)，f(a)4，即a22a14，解得a1或a3(舍去)綜上，a的值為1或1.6、 若不等式x42x2a2a20對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 【答案】(，12，)【解析】由題意得x42x2a2a20，即(x21)2a2a3，所以a2a31，解得a2或a1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，12，)7、設(shè)，則使函數(shù)yx為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽的所有的值為_【答案】1，3【解析】當(dāng)1時(shí)，yx1，此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0，不符合題意；當(dāng)時(shí)，yx，此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?，)，不符合題意；當(dāng)1時(shí)，yx，此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且是奇函數(shù)，符合題意；當(dāng)2時(shí)，yx2，此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)镽，是偶函數(shù)，不符合題意；當(dāng)3時(shí)，yx3，此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，符合題意，綜上的值為1和3.8、求函數(shù)f(x)x22ax2(x2，4)的最小值【答案】f(x)min【解析】f(x)圖象的對(duì)稱軸是直線xa，可分以下三種情況：當(dāng)a2時(shí)，f(x)在2，4上為增函數(shù)，所以f(x)minf(2)64a；當(dāng)2a4時(shí)，f(x)minf(a)2a2；當(dāng)a4時(shí)，f(x)在2，4上為減函數(shù)，所以f(x)minf(4)188a.綜上所述，f(x)min9、已知函數(shù)f(x)x22x2(xt，t1)的最小值為g(t)，求g(t)的表達(dá)式【答案】g(t)【解析】由題意得，f(x)(x1)21.當(dāng)t1<1，即t<0時(shí)，g(t)f(t1)t21; 當(dāng)t1t1，即0t1時(shí)，g(t)f(1)1; 當(dāng)t>1時(shí)，g(t)f(t)t22t2.綜上所述，g(t)10、若點(diǎn)(，2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，點(diǎn)在冪函數(shù)g(x)的圖象上，定義h(x)試求函數(shù)h(x)的最大值以及單調(diào)區(qū)間【答案】1 單調(diào)增區(qū)間為(，1)和(0，1)；單調(diào)減區(qū)間為(1，0)和(1，).【解析】求f(x)，g(x)解析式及作出f(x)，g(x)的圖象同例1，如例1圖所示，則有h(x)根據(jù)圖象可知函數(shù)h(x)的最大值為1，單調(diào)增區(qū)間為(，1)和(0，1)；單調(diào)減區(qū)間為(1，0)和(1，).11、已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(，2)，冪函數(shù)g(x)的圖象過點(diǎn).(1) 求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式；(2) 求當(dāng)x為何值時(shí)：f(x)>g(x)；f(x)g(x)；f(x)<g(x)【答案】(1) g(x)x2 (2) 當(dāng)x>1或x<1時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x1或x1時(shí)，f(x)g(x)；當(dāng)1<x<1且x0時(shí)，f(x)<g(x)【解析】(1) 設(shè)f(x)x，因?yàn)閳D象過點(diǎn)(，2)，故2()，解得2，所以f(x)x2.設(shè)g(x)x，因?yàn)閳D象過點(diǎn)，所以2，解得2，所以g(x)x2. (2) 在同一平面直角坐標(biāo)系下作出f(x)x2與g(x)x2的圖象，如圖所示. 由圖象可知，函數(shù)f(x)，g(x)的圖象均過點(diǎn)(1，1)和(1，1)，所以當(dāng)x>1或x<1時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x1或x1時(shí)，f(x)g(x)；當(dāng)1<x<1且x0時(shí)，f(x)<g(x)12、已知函數(shù)f(x)xm22m3(mN*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)，求滿足(a1)<(32a)的a的取值范圍【答案】a|a<1或<a<【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，所以m22m3<0，解得1<m<3.因?yàn)閙N*，所以m1或m2.又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以m22m3是偶數(shù)，當(dāng)m2時(shí)，222×233為奇數(shù)，當(dāng)m1時(shí)，122×134為偶數(shù)，所以m1.又yx在(，0)，(0，)上均為減函數(shù)，所以(a1)<(32a)等價(jià)于a1>32a>0或0>a1>32a或a1<0<32a，解得a<1或<a<.故a的取值范圍為a|a<1或<a<13、已知二次函數(shù)yf(x)(xR)的圖象過點(diǎn)(0，3)，且f(x)>0的解集為(1，3)(1) 若函數(shù)f(x)f(x)mx在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2) 求函數(shù)G(x)f(sinx)在x上的最值【答案】(1) (，2 (2) 最大值為0，最小值為3【解析】(1) 因?yàn)閒(x)>0的解集為(1，3)，所以二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為(1，0)和(3，0)，所以可設(shè)f(x)a(x1)(x3)又因?yàn)楹瘮?shù)圖象過點(diǎn)(0，3)，代入f(x)得3a3，解得a1，所以f(x)(x1)(x3)x24x3，所以f(x)x24x3mxx2(4m)x3.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，所以1，解得m2，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，2(2) 由題意得，G(x)sin2x4sinx3(sinx2)21.因?yàn)閤，所以sinx0，1，所以當(dāng)sinx0時(shí)，G(x)min3；當(dāng)sinx1時(shí)，G(x)max0，故函數(shù)G(x)的最大值為0，最小值為3.14、已知冪函數(shù)f(x)x(m2m)1(mN*)(1) 試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；(2) 若該函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(2，)，試確定m的值，并求滿足條件f(2a)>f(a1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】(1) 0，) 增函數(shù) (2) 【解析】(1) 因?yàn)閙2mm(m1)，mN*，且m與m1中必有一個(gè)為偶數(shù)，所以m(m1)為偶數(shù)所以函數(shù)f(x)x(m2m)1(mN*)的定義域?yàn)?，)，并且在定義域上為增函數(shù)(2) 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)經(jīng)過點(diǎn)(2，)，所以2(m2m)1，即22(m2m)1，所以m2m2，解得m1或m2.又因?yàn)閙N*，所以m1.由f(2a)>f(a1)得解得1a<，所以a的取值范圍為.15、已知aR，函數(shù)f(x)x|xa|.(1) 當(dāng)a2時(shí)，寫出函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2) 當(dāng)a>2時(shí)，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，2上的最小值；(3) 設(shè)a0，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(m，n)上既有最大值又有最小值，請(qǐng)分別求出m，n的取值范圍(用a表示)【答案】(1) (，1，2，) (2) f(x)min (3) am<a，<n0.【解析】(1) 當(dāng)a2時(shí)，f(x)x|x2|由圖象可知，yf(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，1，2，)(2) 因?yàn)閍>2，x1，2，所以f(x)x(ax)x2ax.當(dāng)1<，即2<a3時(shí)，f(x)minf(2)2a4；當(dāng)>，即a>3時(shí)，f(x)minf(1)a1，所以f(x)min(3) f(x)當(dāng)a>0時(shí)，圖象如圖1所示. 由得xa，所以0m<，a<n a.當(dāng)a<0時(shí)，圖象如圖2所示由得xa，所以am<a，<n0.圖1 圖216、已知函數(shù)f(x)xk2k2(kZ)滿足f(2)<f(3)(1)求k的值并求出相應(yīng)的f(x)的解析式；(2)對(duì)于(1)中得到的函數(shù)f(x)，試判斷是否存在q，使函數(shù)g(x)1qf(x)(2q1)x在區(qū)間1,2上的值域?yàn)?，？若存在，求出q；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】 (1) f(x)x2 (2) 2【解析】 (1)f(2)<f(3)，f(x)在第一象限是增函數(shù)故k2k2>0，解得1<k<2.又kZ，k0或k1.當(dāng)k0或k1時(shí)，k2k22，f(x)x2.(2)假設(shè)存在q滿足題設(shè)，由(1)知g(x)qx2(2q1)x1，x1,2g(2)1，兩個(gè)最值點(diǎn)只能在端點(diǎn)(1，g(1)和頂點(diǎn)(，)處取得當(dāng)q>0時(shí)，而g(1)(23q)0，g(x)max，g(x)ming(1)23q4.解得q2.當(dāng)q<0時(shí)，g(x)maxg(1)23q，g(x)min4，q不存在綜上所述，存在q2滿足題意17、設(shè)函數(shù)f (x)x22bxc(c<b<1)， f(1)0，方程f(x)10有實(shí)根(1)證明：3<c1且b0；(2)若m是方程f(x)10的一個(gè)實(shí)根，判斷f(m4)的正負(fù)并加以證明【答案】(1) 見解析 (2)見解析解析：(1)證明：f(1)012bc0b.又c<b<1，故c<<13<c<.方程f(x)10有實(shí)根，即x22bxc10有實(shí)根，故4b24(c1)0，即(c1)24(c1)0c3或c1.又c<b<1，得3<c1，由b知b0.(2)f(x)x22bxcx2(c1)xc(xc)(x1)，f(m)1<0，c<m<1，c4<m4<3<c，f(m4)(m4c)(m41)>0，f(m4)的符號(hào)為正18、設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc在區(qū)間2,2上的最大值、最小值分別是M、m，集合Ax|f(x)x(1)若A1,2，且f(0)2，求M和m的值；(2)若A1，且a1，記g(a)Mm，求g(a)的最小值【答案】(1) M10 m1 (2) 【解析】(1)由f(0)2可知c2，又A1,2，故1,2是方程ax2(b1)xc0的兩實(shí)根，解得a1，b2.f(x)x22x2(x1)21，x2,2當(dāng)x1時(shí)，f(x)minf(1)1，即m1；當(dāng)x2時(shí)，f(x)maxf(2)10，即M10.(2)由題意知，方程ax2(b1)xc0有兩相等實(shí)根x1，即.f(x)ax2(12a)xa，x2,2，其對(duì)稱軸方程為x1，又a1，故1，1)，Mf(2)9a2，mf()1.g(a)Mm9a1.又g(a)在區(qū)間1，)上是單調(diào)遞增的，當(dāng)a1時(shí)，g(a)min.9