（課標通用版）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第八章 立體幾何 第6講 平行、垂直的綜合問題檢測 文

第6講 平行、垂直的綜合問題 基礎題組練1如圖所示，四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°.將ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成三棱錐A­BCD，則在三棱錐A­BCD中，下列結(jié)論正確的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析：選D.因為在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，所以BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，則CDAB.又ADAB，ADCDD，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB平面ADC.又AB平面ABC，所以平面ADC平面ABC.2如圖，四邊形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD平面BCD，則下列結(jié)論正確的是()AACBDBBAC90°CCA與平面ABD所成的角為30°D四面體ABCD的體積為解析：選B.若A成立可得BDAD，產(chǎn)生矛盾，故A不正確；由題設知：BAD為等腰Rt，CD平面ABD，得BA平面ACD，則BAAC，于是B正確；由CA與平面ABD所成的角為CAD45°知C不正確；VA­BCDVC­ABD，D不正確故選B.3如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是矩形，點E在棱PC上(異于點P，C)，平面ABE與棱PD交于點F.(1)求證：ABEF；(2)若平面PAD平面ABCD，求證：AFEF.證明：(1)因為四邊形ABCD是矩形，所以ABCD.又因為AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB平面PDC.又因為AB平面ABEF，平面ABEF平面PDCEF，所以ABEF.(2)因為四邊形ABCD是矩形，所以ABAD.又因為平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD.又因為AF平面PAD，所以ABAF.由(1)知ABEF，所以AFEF.4(2019·河南開封定位考試)如圖，在三棱錐D­ABC中，AB2AC2，BAC60°，AD，CD3，平面ADC平面ABC.(1)證明：平面BDC平面ADC；(2)求三棱錐D­ABC的體積解：(1)證明：在ABC中，由余弦定理可得，BC，所以BC2AC2AB2，所以BCAC，因為平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，所以BC平面ADC，又BC平面BDC，所以平面BDC平面ADC.(2)由余弦定理可得cosACD，所以sinACD，所以SACD·AC·CD·sinACD，則VD­ABCVB­ADC·BC·SACD.5如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，ABC60°，E是BC的中點(1)證明：AE平面PAD；(2)取AB2，若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為，求PA的長度解：(1)證明：由四邊形ABCD為菱形，ABC60°，可得ABC為正三角形因為E為BC的中點，所以AEBC.又因為BCAD，所以AEAD.因為PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.而PA平面PAD，AD平面PAD，PAADA，所以AE平面PAD.(2)連接AH.由(1)知AE平面PAD，則EHA為EH與平面PAD所成的角在RtEAH中，AE，tanEHA，所以當AH最短，即AHPD時，EHA最大，此時tanEHA，因此AH.又因為AD2，所以ADH45°，所以PAAD2.綜合題組練1(2019·武漢市部分學校調(diào)研)如圖(1)，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E是CD的中點，將ADE沿AE折起，得到如圖(2)所示的四棱錐D1­ABCE，其中平面D1AE平面ABCE.(1)證明：BE平面D1AE；(2)設F為CD1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使得MF平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由解：(1)證明：因為四邊形ABCD為矩形且ADDEECBC2，所以AEB90°，即BEAE，又平面D1AE平面ABCE，平面D1AE平面ABCEAE，所以BE平面D1AE.(2)，理由如下：取D1E的中點L，連接FL，AL(圖略)，所以FLEC.又ECAB，所以FLAB，且FLAB.所以M，F(xiàn)，L，A四點共面，若MF平面AD1E，則MFAL.所以四邊形AMFL為平行四邊形，所以AMFLAB，.2(2019·合肥市第一次教學質(zhì)量檢測)如圖，在多面體ABCDEF 中，四邊形ABCD是正方形，BF平面ABCD，DE平面ABCD，BFDE，M為棱AE的中點(1)求證：平面BDM平面EFC；(2)若AB1，BF2，求三棱錐A­CEF的體積解：(1)如圖，設AC與BD交于點N，則N為AC的中點，連接MN，又M為棱AE的中點，所以MNEC.因為MN平面EFC，EC平面EFC，所以MN平面EFC.因為BF平面ABCD，DE平面ABCD，且BFDE，所以BF綊DE，所以四邊形BDEF為平行四邊形，所以BDEF.因為BD平面EFC，EF平面EFC，所以BD平面EFC.又MNBDN，所以平面BDM平面EFC.(2)連接EN，F(xiàn)N.在正方形ABCD中，ACBD，又BF平面ABCD，所以BFAC.又BFBDB，所以AC平面BDEF，又N是AC的中點，所以VA­NEFVC­NEF，所以VA­CEF2VA­NEF2××AN×SNEF2×××××2，所以三棱錐A­CEF的體積為.3如圖(1)，在RtABC中，ABC90°，D為AC的中點，AEBD于點E(不同于點D)，延長AE交BC于F，將ABD沿BD折起，得到三棱錐A1­BCD，如圖(2)所示(1)若M是FC的中點，求證：直線DM平面A1EF；(2)求證：BDA1F；(3)若平面A1BD平面BCD，試判斷直線A1B與直線CD能否垂直？并說明理由解：(1)證明：因為D，M分別為AC，F(xiàn)C的中點，所以DMEF，又EF平面A1EF，DM平面A1EF，所以DM平面A1EF.(2)證明：因為A1EBD，EFBD且A1EEFE，所以BD平面A1EF.又A1F平面A1EF，所以BDA1F.(3)直線A1B與直線CD不能垂直理由如下：因為平面A1BD平面BCD，平面A1BD平面BCDBD，EFBD，EF平面BCD，所以EF平面A1BD.因為A1B平面A1BD，所以A1BEF，又因為EFDM，所以A1BDM.假設A1BCD，因為CDDMD，所以A1B平面BCD，所以A1BBD，這與A1BD為銳角矛盾，所以直線A1B與直線CD不能垂直4如圖，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E為AD的中點，F(xiàn)為B1C1的中點(1)求證：A1F平面ECC1；(2)在線段CD上是否存在一點G，使BG平面ECC1？若存在，請確定點G的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由解：(1)如圖所示，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，取BC的中點M，連接AM，F(xiàn)M.則B1FBM且B1FBM.所以四邊形B1FMB是平行四邊形，所以FMB1B且FMB1B.所以FMA1A且FMA1A，所以四邊形AA1FM是平行四邊形，所以FA1AM.因為E為AD的中點，所以AEMC且AEMC.所以四邊形AMCE是平行四邊形所以ECAM，所以ECA1F.因為A1F平面ECC1，EC平面ECC1，所以A1F平面ECC1.(2)在CD上存在一點G且G是CD的中點，使BG平面ECC1，證明如下取CD的中點G，連接BG，在CDE和BCG中，DEGC，CDBC，EDCBCG，所以CDEBCG，所以ECDGBC.因為CGBGBC90°，所以CGBDCE90°，所以BGEC.因為CC1平面ABCD，BG平面ABCD，所以CC1BG，又ECCC1C，所以BG平面ECC1.故在CD上存在點G，且G是CD的中點，使得BG平面ECC1.5陽馬和鱉臑(bi nào)是九章算術(shù)·商功里對兩種錐體的稱謂如圖所示，取一個長方體，按下圖斜割一分為二，得兩個一模一樣的三棱柱，稱為塹堵再沿其中一個塹堵的一個頂點與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個，以矩形為底，有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬(四棱錐E­ABCD)，余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑(三棱錐E­FCD)(1)在陽馬(四棱錐E­ABCD)中，連接BD，若ABAD，證明：ECBD；(2)求陽馬(四棱錐E­ABCD)和鱉臑(三棱錐E­FCD)的體積比解：(1)如圖，連接AC.因為四邊形ABCD是矩形，ABAD，所以矩形ABCD是正方形，所以ACBD.因為EA平面ABCD，BD平面ABCD，所以EABD，又EAACA，EA平面EAC，AC平面EAC，所以BD平面EAC.因為EC平面EAC，所以ECBD.(2)設ABa，ADb，EAc.在陽馬(四棱錐E­ABCD)中，因為EA平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，所以V四棱錐E­ABCD×a×b×c.在鱉臑(三棱錐E­FCD)中，因為EF平面FCD，F(xiàn)DCD，CDa，EFb，DFc，所以SFCD×a×c，所以V三棱錐E­FCD××b，所以V四棱錐E­ABCDV三棱錐E­FCD21，所以陽馬(四棱錐E­ABCD)和鱉臑(三棱錐E­FCD)的體積比為21.8