（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 第38講 不等關(guān)系與不等式練習(xí) 理（含解析）新人教A版

第七章不等式、推理與證明【p81】第38講不等關(guān)系與不等式夯實基礎(chǔ)【p81】【學(xué)習(xí)目標】1了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系2了解不等式(組)的實際背景3掌握不等式的性質(zhì)及應(yīng)用【基礎(chǔ)檢測】1若a，b，cR，a>b，則下列不等式成立的是()A.<Ba2>b2C.>Da|c|>b|c|【解析】由題意可知a，b，cR，a>b，對于選項A，取a1，b2，顯然滿足a>b，但>，故錯誤；對于選項B，取a1，b2，顯然滿足a>b，但a2<b2，故錯誤；對于選項C，>0，a>b，>，故正確；對于選項D，當(dāng)c0時，顯然a|c|b|c|，故錯誤【答案】C2已知1<a<2<b<4，則a2b的取值范圍是()A(3，6) B(2，6) C(3，8) D(4，8)【解析】1<a<2，1<a2<4，又2<b<4，3<a2b<8.【答案】C3用不等號“”或“”填空：(1)ab，cdac_bd；(2)ab0，cd0ac_bd；(3)ab0_.【答案】(1)；(2)；(3)4已知a>0且a1，Ploga(a31)，Qloga(a21)，則P與Q的大小關(guān)系為_【解析】PQloga(a31)loga(a21)loga.當(dāng)a>1時，a31>a21，所以>1，則loga>0；當(dāng)0<a<1時，0<a31<a21，所以0<1，則loga>0.綜上可知，當(dāng)a>0且a1時，PQ>0，即P>Q.【答案】P>Q5三個正數(shù)a，b，c滿足abc2a，bac2b，則的取值范圍是_【解析】三個正數(shù)a，b，c，滿足abc2a，bac2b，12，12，即21，不等式的兩邊同時相加得1212，則等價為即即.【答案】【知識要點】1不等式的定義用不等號“>，”將兩個數(shù)學(xué)表達式連接起來，所得的式子叫做不等式2實數(shù)大小順序與運算性質(zhì)之間的關(guān)系ab>0_a>b_；ab0ab；ab<0_a<b_3不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a>b_b<a_；(2)傳遞性：a>b，b>c_a>c_；(3)可加性：a>b_ac>bc_；a>b，c>d_ac>bd_；(4)可乘性：a>b，c>0_ac>bc_；a>b，c<0_ac<bc_；a>b>0，c>d>0_ac>bd_；(5)倒數(shù)法則：a>b，ab>0_<_；(6)乘方性質(zhì)：a>b>0_an>bn_(n2，nN*)；(7)開方性質(zhì)：a>b>0_>_(n2，nN*)；(8)有關(guān)分數(shù)的性質(zhì)：若a>b>0，m>0，則真分數(shù)的性質(zhì)：_<_；_>_(bm>0)；假分數(shù)的性質(zhì)：_>_；_<_(bm>0)典例剖析【p82】考點1比較兩個數(shù)(式)的大小(1)已知實數(shù)a，b滿足ab>0，則x與y的大小關(guān)系為()Ax>y Bx<y Cxy Dxy【解析】xy(ab).ab>0，(ab)20，0，xy.【答案】D(2)若a>0，b>0，則p(ab)，qabba的大小關(guān)系是()Apq BpqCp>q Dp<q【解析】因為p>0，q>0，所以ab，若a>b>0，則>1，ab>0，>1；若b>a>0，則0<<1，ab<0，>1；若ab，則pq；所以pq.【答案】A(3)若a，b，c，則()Aa<b<c Bc<b<aCc<a<b Db<a<c【解析】對于函數(shù)f(x)，f(x)，易知當(dāng)x>e時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減因為e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c<b<a.【答案】B【點評】(1)作差法：一般步驟：作差；變形；定號；結(jié)論其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式當(dāng)兩個式子都為正數(shù)時，有時也可以先平方再作差(2)作商法：一般步驟：作商；變形；判斷商與1的大??；結(jié)論(3)函數(shù)的單調(diào)性法：將要比較的兩個數(shù)作為一個函數(shù)的兩個函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系考點2不等式的性質(zhì)(1)已知a，b，c滿足c<b<a，且ac<0，那么下列選項中一定成立的是()Aab>ac B(ba)c<0Ccb2<ab2 Dac(ac)>0【解析】由c<b<a，且ac<0，知a>0，c<0，故由b>c，a>0ab>ac，A正確；由b<a，c<0(ba)c>0，B錯誤；由c<a，b20cb2ab2，當(dāng)b0時取等號，故C錯誤；由c<a，ac<0ac(ac)<0，D錯誤【答案】A(2)如果a<b<0，那么下列不等式成立的是()A.<Bab<b2Cab<a2 D<【解析】法一(性質(zhì)判斷)：對于A項，由a<b<0，得ba>0，ab>0，故>0，>，故A項錯誤；對于B項，由a<b<0，得b(ab)>0，ab>b2，故B項錯誤；對于C項，由a<b<0，得a(ab)>0，a2>ab，即ab>a2，故C項錯誤；對于D項，由a<b<0，得ab<0，ab>0，故<0，<成立，故D項正確法二(特殊值法)：令a2，b1，則>1，ab2>b21，ab2>a24，<1.故A、B、C項錯誤，D項正確【答案】D【點評】不等式性質(zhì)應(yīng)用問題的三大常見類型及解題策略(1)利用不等式性質(zhì)比較大小熟記不等式性質(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運用是關(guān)鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件(2)與充要條件相結(jié)合問題用不等式的性質(zhì)分別判斷pq和qp是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用(3)與命題真假判斷相結(jié)合問題解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法考點3不等式性質(zhì)的應(yīng)用設(shè)f(x)ax2bx，若1f(1)2，2f(1)4，則f(2)的取值范圍是_【解析】法一：設(shè)f(2)mf(1)nf(1)(m、n為待定系數(shù))，則4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b，于是得解得f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2，2f(1)4，53f(1)f(1)10，即5f(2)10.法二：由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2，2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.法三：由確定的平面區(qū)域如圖陰影部分，當(dāng)f(2)4a2b過點A時，取得最小值4×2×5，當(dāng)f(2)4a2b過點B(3，1)時，取得最大值4×32×110，5f(2)10.【答案】5，10已知1lg xy4，1lg2，求lg的取值范圍【解析】由1lg xy4，1lg 2，得1lg xlg y4，1lg xlg y2，而lg2lg xlg y(lg xlg y)(lg xlg y)，所以1lg5，即lg 的取值范圍是1，5【點評】(1)此類問題的一般解法：先建立待求整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后通過“一次性”使用不等式的運算求得整體范圍(2)求范圍問題如果多次利用不等式有可能擴大變量取值范圍方法總結(jié)【p82】1用同向不等式求差的范圍ad<xy<bc.這種方法在三角函數(shù)中求角的范圍時經(jīng)常用到2倒數(shù)關(guān)系在不等式中的作用<；>.3比較法是不等式性質(zhì)證明的理論依據(jù)，是不等式證明的主要方法之一作差法的主要步驟：作差變形判斷正負在所給不等式完全是積、商、冪的形式時，可考慮比商4求某些代數(shù)式的范圍可考慮采用整體代入的方法失誤與防范a>bac>bc或a<bac<bc，當(dāng)c0時不成立a>b<或a<b>，當(dāng)ab0時不成立a>ban>bn需根據(jù)n，a，b的取值范圍確定>1a>b，對于正數(shù)a、b才成立注意不等式性質(zhì)中“”與“”的區(qū)別，如：a>b，b>ca>c，但a>c不能推出.比商法比較大小時，要注意兩式的符號走進高考【p83】1(2016·北京)已知x，yR，且x>y>0，則()A.>0 Bsin xsin y>0C.<0 Dln xln y>0【解析】選項A中，因為x>y>0，所以<，即<0，故結(jié)論不成立；選項B中，當(dāng)x，y時，sin xsin y<0，故結(jié)論不成立；選項C中，函數(shù)y是定義在R上的減函數(shù)，因為x>y>0，所以<，所以<0；選項D中，當(dāng)xe1，ye2時，結(jié)論不成立【答案】C2(2017·山東)若a>b>0，且ab1，則下列不等式成立的是()Aa<<log2(ab)B.<log2(ab)<aCa<log2(ab)<Dlog2(ab)<a<【解析】根據(jù)題意，令a2，b進行驗證，易知a4，log2(ab)log2>1，因此a>log2(ab)>.【答案】B考點集訓(xùn)【p218】A組題1若a，b，cR，且ab>0>c，則下列不等式錯誤的是()A.>B(ab)c2>0Ca2b2 Dacbc【解析】對于A，>0，<0，所以>，故A正確；對于B，由a>b，c<0知ab>0，c2>0，故B正確；對于C，由a>b>0知a2>b2，正確；D錯誤【答案】D2若a<0，b<0，則p與qab的大小關(guān)系為()Ap<q Bpq Cp>q Dpq【解析】pqab(b2a2)·，a0，b0，ab0，ab0，若ab，則pq0，此時pq，若ab，則pq0，此時pq，綜上pq.【答案】B3設(shè)，那么2的取值范圍是()A.B.C(0，) D.【解析】由0<<，0得<2<.【答案】D4若a<b，d<c，并且(ca)(cb)<0，(da)(db)>0，則a，b，c，d的大小關(guān)系為()Ad<a<c<bBa<d<c<bCa<d<b<c Dd<c<a<b【解析】因為a<b，(ca)(cb)<0，所以a<c<b，因為(da)(db)>0，所以d<a<b或a<b<d，又d<c，所以d<a<b.綜上，d<a<c<b.【答案】A5設(shè)實數(shù)x，y滿足1xy22，23，則的取值范圍是_【解析】因為，827，1(xy2)24，所以2，27【答案】2，276近來雞蛋價格起伏較大，假設(shè)第一周、第二周雞蛋價格分別為a元/斤、b元/斤，家庭主婦甲和乙買雞蛋的方式不同：家庭主婦甲每周買3斤雞蛋，家庭主婦乙每周買10元錢的雞蛋，試比較誰的購買方式更優(yōu)惠(兩次平均價格低視為實惠)_(在橫線上填甲或乙即可)【解析】由題意得甲購買產(chǎn)品的平均單價為，乙購買產(chǎn)品的平均單價為，由條件得ab.>0，>，即乙的購買方式更優(yōu)惠【答案】乙7若0<a<b，且ab1，則將a，b，2ab，a2b2從小到大排列為_【解析】0<a<b且ab1，a<<b<1，2b>1且2a<1，a<2b·a2a(1a)2a22a2<.即a<2ab<，又a2b2(ab)22ab12ab>1，即a2b2>，a2b2b(1b)2b2b(2b1)(b1)，又2b1>0，b1<0，a2b2b<0，a2b2<b，綜上，a<2ab<<a2b2<b.另解：特殊值法，如取b，a.【答案】a<2ab<<a2b2<b8已知aR，試比較與1a的大小【解析】(1a).當(dāng)a0時，0，1a.當(dāng)a1且a0時，0，1a.當(dāng)a1時，0，1a.綜上所述，當(dāng)a0時，1a；當(dāng)a1且a0時，1a；當(dāng)a1時，1a.B組題1已知x1ln，x2e，x3滿足ex3ln x3，則()Ax1<x2<x3 Bx1<x3<x2Cx2<x1<x3 Dx3<x1<x2【解析】已知x1lnln 2<0，x2e(0，1)，ex3ln x3>0，x3>1，進而得到x1<x2<x3.【答案】A2設(shè)a，bR，定義運算“和“”如下：abab若mn2，pq2，則()Amn4且pq4 Bmn4且pq4Cmn4且pq4 Dmn4且pq4【解析】結(jié)合定義及mn2可得或即nm2或m>n2，所以mn4；結(jié)合定義及pq2可得或即q<p2或pq2，所以pq4.【答案】A3若x>y，a>b，則在ax>by，ax>by，ax>by，xb>ya，>這五個式子中，恒成立的不等式的序號是_【解析】令x2，y3，a3，b2，符合題設(shè)條件x>y，a>b，ax3(2)5，by2(3)5，axby，因此不成立ax6，by6，axby，因此也不成立1，1，因此不成立由不等式的性質(zhì)可推出成立【答案】4設(shè)x，y為正實數(shù)，a，bp，cxy.(1)試比較a、c的大??；(2)若p1，試證明：以a，b，c為三邊長一定能構(gòu)成三角形；(3)若對任意的正實數(shù)x，y，不等式ab>c恒成立，試求p的取值范圍【解析】(1)a2x2xyy2，c2x22xyy2，c2a2xy；x>0，y>0，xy>0，即c>a；(2)a>，c為最大邊，又(ab)2x22xyy22ab>x22xyy2c2，ab>c，從而以a，b，c為三邊長一定能構(gòu)成三角形(3)ab>c，即p>xy，p>，2，p>2.備課札記13