（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 考點(diǎn)規(guī)范練11 函數(shù)模型及其應(yīng)用

考點(diǎn)規(guī)范練11函數(shù)模型及其應(yīng)用基礎(chǔ)鞏固組1.已知每生產(chǎn)100克餅干的原材料加工費(fèi)為1.8元.某食品加工廠對(duì)餅干采用兩種包裝,其包裝費(fèi)用、銷售價(jià)格如下表所示:型號(hào)小包裝大包裝重量100克300克包裝費(fèi)0.5元0.7元銷售價(jià)格3.00元8.4元?jiǎng)t下列說法中正確的是()買小包裝實(shí)惠買大包裝實(shí)惠賣3小包比賣1大包盈利多賣1大包比賣3小包盈利多A.B.C.D.答案D2.某家具的標(biāo)價(jià)為132元,若降價(jià)以九折出售(即優(yōu)惠10%),仍可獲利10%(相對(duì)進(jìn)貨價(jià)),則該家具的進(jìn)貨價(jià)是()A.118元B.105元C.106元D.108元答案D解析設(shè)進(jìn)貨價(jià)為a元,由題意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108.故選D.3.某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng),一組同學(xué)獲得的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示:x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,其中最接近的一個(gè)是()A.y=2x-2B.y=12xC.y=log2xD.y=12(x2-1)答案D解析直線是均勻分布的,故選項(xiàng)A不符合要求;指數(shù)函數(shù)y=12x是單調(diào)遞減的,也不符合要求;對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x的增長(zhǎng)是緩慢的,也不符合要求;將表中數(shù)據(jù)代入選項(xiàng)D中的函數(shù),基本符合要求.4.(2018河南豫南豫北高三第二次聯(lián)考)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“盈不足”問題知兩鼠穿垣.今有垣厚5尺,兩鼠對(duì)穿.大鼠日一尺,小鼠亦一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.問:何日相逢?題意是:由垛厚五尺(舊制長(zhǎng)度單位,1尺=10寸)的墻壁,大小兩只老鼠同時(shí)從墻的兩面,沿一直線相對(duì)打洞.大鼠第一天打進(jìn)1尺,以后每天的速度為前一天的2倍;小鼠第一天也打進(jìn)1尺,以后每天的速度是前一天的一半.它們多久可以相遇?()A.3617天B.3717天C.3817天D.3917天答案A解析由于前兩天大鼠打1+2尺,小鼠打1+12尺,因此前兩天兩鼠共打3+1.5=4.5尺.第三天,大鼠打4尺,小鼠打14尺,因此第三天相遇.設(shè)第三天,大鼠打y尺,小鼠打0.5-y尺,則y4=0.5-y14,解得y=817,因?yàn)榈谌齑笫笏俣仁?尺,故第三天進(jìn)行了8174=217天,所以共進(jìn)行2+217=3617天.故選A.5.(2018衡水金卷)已知某服裝廠生產(chǎn)某種品牌的衣服,銷售量q(x)(單位:百件)關(guān)于每件衣服的利潤(rùn)x(單位:元)的函數(shù)解析式為q(x)=1260x+1,0<x20,90-35·x,20<x180,則當(dāng)該服裝廠所獲效益最大時(shí),x為()A.20B.60C.80D.40答案C解析設(shè)該服裝廠所獲效益為f(x)(單位:元),則f(x)=100xq(x)=126000xx+1,0<x20,100x(90-35·x),20<x180.當(dāng)0<x20時(shí),f(x)=126000xx+1=126000-126000x+1,f(x)在區(qū)間(0,20上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=20時(shí),f(x)有最大值120000.當(dāng)20<x180時(shí),f(x)=9000x-3005·xx,則f'(x)=9000-4505·x,令f'(x)=0,得x=80.當(dāng)20<x<80時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)80x180時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=80時(shí),f(x)有最大值240000.故選C.6.在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長(zhǎng)x為m.答案20解析設(shè)DE=x,MN=y,由三角形相似得:x40=ADAB=ANAM=40-y40,即x40=40-y40,即x+y=40,由基本不等式可知x+y=402xy,S=x·y400,當(dāng)x=y=20時(shí)取等號(hào),所以當(dāng)邊長(zhǎng)x為20m時(shí)面積最大.7.某企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備,該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬元,此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi),第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬元,由于設(shè)備老化,以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬元.為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低,該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為. 答案10解析設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x,設(shè)備年平均費(fèi)用為y,則x年后的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用為2+4+2x=x(x+1),所以x年的平均費(fèi)用為y=100+0.5x+x(x+1)x=x+100x+1.5,由基本不等式得y=x+100x+1.52x·100x+1.5=21.5,當(dāng)且僅當(dāng)x=100x,即x=10時(shí)取等號(hào).故為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低,該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為10.8.用一根長(zhǎng)為12 m的鋁合金條做一個(gè)“目”字形窗戶的框架(不計(jì)損耗),要使這個(gè)窗戶通過的陽光最充足,則框架的長(zhǎng)與寬分別為. 答案3 m,1.5 m解析設(shè)窗戶的長(zhǎng)與寬分別為xm,ym,根據(jù)題意得2x+4y=12,窗戶的面積S=xy=(6-2y)·y=-2y2+6y=-2y-322+92(0<y<3),故當(dāng)y=1.5時(shí),S取得最大值,此時(shí)x=3.能力提升組9.一水池有兩個(gè)進(jìn)水口,一個(gè)出水口,每個(gè)水口的進(jìn)、出水速度如圖甲、乙所示.某天0點(diǎn)到6點(diǎn),該水池的蓄水量如圖丙所示.給出以下3個(gè)論斷:0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水;3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水;4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水,則一定正確的是()A.B.C.D.答案A解析由甲、乙兩圖知,進(jìn)水速度是出水速度的12,所以0點(diǎn)到3點(diǎn)不出水,3點(diǎn)到4點(diǎn)也可能一個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水,一個(gè)出水口出水,但總蓄水量降低,4點(diǎn)到6點(diǎn)也可能兩個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水,一個(gè)出水口出水,一定正確的是.10.(2018北京門頭溝一模)某電力公司在工程招標(biāo)中是根據(jù)技術(shù)、商務(wù)、報(bào)價(jià)三項(xiàng)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行綜合評(píng)分的,按照綜合得分的高低進(jìn)行綜合排序,綜合排序高者中標(biāo).分值權(quán)重表如下:總分技術(shù)商務(wù)報(bào)價(jià)100%50%10%40%技術(shù)標(biāo)、商務(wù)標(biāo)基本都是由公司的技術(shù)、資質(zhì)、資信等實(shí)力來決定的.報(bào)價(jià)表則相對(duì)靈活,報(bào)價(jià)表的評(píng)分方法是:基準(zhǔn)價(jià)的基準(zhǔn)分是68分,若報(bào)價(jià)每高于基準(zhǔn)價(jià)1%,則在基準(zhǔn)分的基礎(chǔ)上扣0.8分,最低得分48分;若報(bào)價(jià)每低于基準(zhǔn)價(jià)1%,則在基準(zhǔn)分的基礎(chǔ)上加0.8分,最高得分為80分.若報(bào)價(jià)低于基準(zhǔn)價(jià)15%以上(不含15%)每再低1%,在80分在基礎(chǔ)上扣0.8分.在某次招標(biāo)中,若基準(zhǔn)價(jià)為1 000(萬元).甲、乙兩公司綜合得分如下表:公司技術(shù)商務(wù)報(bào)價(jià)甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司報(bào)價(jià)為1 100(萬元),乙公司的報(bào)價(jià)為800(萬元).則甲,乙公司的綜合得分分別是()A.73,75.4B.73,80C.74.6,76D.74.6,75.4答案A解析甲公司報(bào)價(jià)為1100(萬元),比基準(zhǔn)價(jià)1000(萬元)多100(萬元),超10%,所以得分為68-0.8×10=60,因此綜合得分為80×50%+90×10%+60×40%=73;乙公司報(bào)價(jià)為800(萬元),比基準(zhǔn)價(jià)1000(萬元)少200(萬元),低20%,所以得分為80-(20-15)×0.8=76,因此綜合得分為70×50%+100×10%+76×40%=75.4.故選A.11.加工爆米花時(shí),爆開且不煳的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下,可食用率p與加工時(shí)間t(單位:分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c(a,b,c是常數(shù)),如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),可以得到最佳加工時(shí)間為()A.3.50分鐘B.3.75分鐘C.4.00分鐘D.4.25分鐘答案B解析根據(jù)圖表,把(t,p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式,聯(lián)立方程組得0.7=9a+3b+c,0.8=16a+4b+c,0.5=25a+5b+c,消去c化簡(jiǎn)得7a+b=0.1,9a+b=-0.3,解得a=-0.2,b=1.5,c=-2.所以p=-0.2t2+1.5t-2=-15t2-152t+22516+4516-2=-15t-1542+1316,所以當(dāng)t=154=3.75時(shí),p取得最大值,即最佳加工時(shí)間為3.75分鐘.12.如圖,有一直角墻角,兩邊的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng),在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是a m(0<a<12),4 m,不考慮樹的粗細(xì).現(xiàn)在用16 m長(zhǎng)的籬笆,借助墻角圍成一個(gè)矩形的花圃ABCD.設(shè)此矩形花圃的面積為S m2,S的最大值為f(a),若將這棵樹圍在花圃內(nèi),則函數(shù)u=f(a)的圖象大致是()答案C解析設(shè)CD=xm,則AD=(16-x)m,由題意可知16-x>a,x>4,解得4<x<16-a,矩形花圃的面積S=x(16-x),其最大值f(a)=64,0<a<8,-a2+16a,8a<12,故其圖象為C.13.將甲桶中的a L水緩慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y=aent.假設(shè)過5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再過m min甲桶中的水只有a4 L,則m的值為()A.5B.8C.9D.10答案A解析5min后甲桶和乙桶的水量相等,函數(shù)y=f(t)=aent滿足f(5)=ae5n=12a,可得n=15ln12,f(t)=a·12t5,因此,當(dāng)kmin后甲桶中的水只有a4L時(shí),f(k)=a·12k5=14a,即12k5=14,k=10,由題可知m=k-5=5.14.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2 000萬元,并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,成本增加10萬元.又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù),K(Q)=40Q-120Q2,則總利潤(rùn)L(Q)的最大值是萬元. 答案2 500解析L(Q)=40Q-120Q2-10Q-2000=-120Q2+30Q-2000=-120(Q-300)2+2500.當(dāng)Q=300時(shí),L(Q)的最大值為2500萬元.15.某食品的保鮮時(shí)間y(單位:小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位:)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食品在0 的保鮮時(shí)間是192小時(shí),在22 的保鮮時(shí)間是48小時(shí),則該食品在33 的保鮮時(shí)間是小時(shí). 答案24解析由已知條件,得192=eb,又48=e22k+b=eb·(e11k)2,e11k=4819212=1412=12,設(shè)該食品在33的保鮮時(shí)間是t小時(shí),則t=e33k+b=192e33k=192(e11k)3=192×123=24.16.(2018上海楊浦高三數(shù)學(xué)一模)如圖所示,用總長(zhǎng)為定值l的籬笆圍成長(zhǎng)方形的場(chǎng)地,以墻為一邊,并用平行于一邊的籬笆隔開.設(shè)場(chǎng)地面積為y,垂直于墻的邊長(zhǎng)為x,試用解析式將y表示成x的函數(shù)是,場(chǎng)地最大面積是. 答案y=x(l-3x),x0,l3l212解析設(shè)平行于墻的邊長(zhǎng)為a,則籬笆總長(zhǎng)l=3x+a,即a=l-3x,場(chǎng)地面積y=x(l-3x),x0,l3.y=x(l-3x)=-3x2+lx=-3x-l62+l212,x0,l3,當(dāng)且僅當(dāng)x=l6時(shí),ymax=l212.綜上,當(dāng)場(chǎng)地垂直于墻的邊長(zhǎng)x為l6時(shí),最大面積為l212.17.將51名學(xué)生分成A,B兩組參加城市綠化活動(dòng),其中A組布置400盆盆景,B組種植300棵樹苗.根據(jù)歷年統(tǒng)計(jì),每名學(xué)生每小時(shí)能夠布置6盆盆景或者種植3棵樹苗.設(shè)布置盆景的學(xué)生有x人,布置完盆景所需要的時(shí)間為g(x),其余學(xué)生種植樹苗所需要的時(shí)間為h(x)(單位:小時(shí),可不為整數(shù)).(1)寫出g(x),h(x)的解析式;(2)比較g(x),h(x)的大小,并寫出這51名學(xué)生完成總?cè)蝿?wù)的時(shí)間f(x)的解析式;(3)應(yīng)怎樣分配學(xué)生,才能使得完成總?cè)蝿?wù)的時(shí)間最少?解(1)由題意布置盆景的學(xué)生有x人,種植樹苗的學(xué)生有(51-x)人,所以g(x)=4006x=2003x(0<x<51,xN*).h(x)=300(51-x)·3=10051-x(0<x<51,xN*).(2)g(x)-h(x)=2003x-10051-x=100(102-5x)3x(51-x),因?yàn)?<x<51,所以3x(51-x)>0.當(dāng)0<x20時(shí),102-5x>0,g(x)-h(x)>0,g(x)>h(x);當(dāng)21x<51時(shí),102-5x<0,g(x)-h(x)<0,g(x)<h(x).所以f(x)=2003x,0<x20,xN*,10051-x,21x<51,xN*.(3)完成總?cè)蝿?wù)所用時(shí)間最少即求f(x)的最小值,當(dāng)0<x20時(shí),f(x)單調(diào)遞減,則f(x)f(20)=103.故f(x)的最小值為f(20),此時(shí)51-x=31人;當(dāng)21x<51時(shí),f(x)單調(diào)遞增,則f(x)f(21)=103,故f(x)的最小值為f(21),此時(shí)51-x=30人.所以布置盆景和種植樹苗的學(xué)生分別有20,31人或21,30人.18.有一種新型的洗衣液,去污速度特別快.已知每投放k(1k4,且kR)個(gè)單位的洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中,它在水中釋放的濃度y(克/升)隨著時(shí)間x(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=k·f(x),其中f(x)=169-x-1,0x5,11-245x2,5<x16.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4(克/升)時(shí),它才能起到有效去污的作用.(1)若投放k個(gè)單位的洗衣液,3分鐘時(shí)水中洗衣液的濃度為4(克/升),求k的值;(2)若投放4個(gè)單位的洗衣液,則有效去污時(shí)間可達(dá)幾分鐘?解(1)由題意知,k169-3-1=4,解得k=125.(2)當(dāng)k=4,所以y=4(169-x-1),0x5,4(11-245x2),5<x16.當(dāng)0x5時(shí),由4169-x-14,解得x1,所以1x5.當(dāng)5<x<16時(shí),由411-245x24,解得-15x15,所以5<x15.綜上,1x15.故若投放4個(gè)單位的洗衣液,則有效去污時(shí)間可達(dá)14分鐘.8