均值不等式教案

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1、均值不等式教案 本資料為woRD文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載地址下載全文下載地址　　教學(xué)設(shè)計(jì) 　　3．2　均值不等式 　　整體設(shè)計(jì) 　　教學(xué)分析　　　 　　均值不等式也稱基本不等式．本節(jié)重要目的是使學(xué)生理解均值不等式的代數(shù)意義，幾何的直觀解釋以及均值不等式的證明和應(yīng)用．本節(jié)教材上一開(kāi)始就開(kāi)門(mén)見(jiàn)山地給出均值不等式及證明，在思考與討論過(guò)渡下，給出均值不等式的一種幾何直觀解釋，以加深學(xué)生對(duì)均值不等式的理解．教材用作差配措施證明均值不等式．作差配措施是證明不等式的基本措施，在整個(gè)不等式的教學(xué)中都要貫徹這一重要措施．在解題中要讓學(xué)生注意使用均值不等式的條件，并掌握基本技能．一般說(shuō)來(lái)，“見(jiàn)和想積，拆低次，湊

2、積為定值，則和有最小值；見(jiàn)積想和，拆高次，湊和為定值，則積有最大值”． 　　本節(jié)的《新課標(biāo)》規(guī)定是：摸索并理解均值不等式的證明過(guò)程；會(huì)用均值不等式解決簡(jiǎn)樸的最大問(wèn)題．從歷年的高考來(lái)看，均值不等式是重點(diǎn)考察的內(nèi)容之一，它的應(yīng)用范疇?zhēng)缀醪案咧袛?shù)學(xué)的所有章節(jié)，且?？汲Ｐ?，大多是大小判斷、求最值、求取值范疇等．不等式的證明是將來(lái)進(jìn)入大學(xué)不可缺少的技能，同步也是高中數(shù)學(xué)的一種難點(diǎn)，題型廣泛，波及面廣，證法靈活，備受命題者的青睞，因而成為歷屆高考中的熱點(diǎn)．幾乎所有地區(qū)的高考題都能覓到它的蹤影．書(shū)中練習(xí)A、B和習(xí)題都是基本題，規(guī)定全做． 　　鑒于均值不等式的特殊作用，因此本節(jié)設(shè)計(jì)為2學(xué)時(shí)完畢，但僅限于

3、基本措施和基本技能的掌握，不波及高難度的技巧．第一學(xué)時(shí)重在均值不等式的探究，第二學(xué)時(shí)重在均值不等式的靈活運(yùn)用．且在教學(xué)中，將本節(jié)教材中的思考與討論一起拿到課堂上來(lái)，讓學(xué)生通過(guò)思考與討論建立均值不等式與不等式a2＋b2≥2ab的聯(lián)系． 　　三維目的　　　 　?。ㄟ^(guò)本節(jié)探究，使學(xué)生學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握均值不等式，理解這個(gè)均值不等式的幾何意義，掌握定理中的不等號(hào)“≥”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等． 　　2．通過(guò)對(duì)均值不等式的不同形式應(yīng)用的研究，滲入“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生運(yùn)算能力和邏輯推理能力．引起學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識(shí)的愛(ài)好，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科

4、學(xué)道德． 　　3．通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)于生活，協(xié)助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成積極摸索的態(tài)度，逐漸養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度及良好的思維習(xí)慣． 　　重點(diǎn)難點(diǎn)　　　 　　教學(xué)重點(diǎn)：用數(shù)形結(jié)合的思想理解均值不等式，并從不同角度摸索不等式a＋b2≥ab的證明過(guò)程；用不等式求某些函數(shù)的最值及解決某些簡(jiǎn)樸的實(shí)際問(wèn)題． 　　教學(xué)難點(diǎn)：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式a＋b2≥ab等號(hào)成立條件的運(yùn)用，應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問(wèn)題． 　　學(xué)時(shí)安排　　　 　　2學(xué)時(shí) 　　教學(xué)過(guò)程 　　第1學(xué)時(shí) 　　導(dǎo)入新課　　　 　　思路1.像教材那樣，直接給出均值定理，然后引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用上節(jié)課的基本性

5、質(zhì)來(lái)探究它的證明措施．由于有了上兩節(jié)的不等式的探究學(xué)習(xí)，因此這樣引入雖然直白卻也是順其自然． 　　思路2.教師自制風(fēng)車，讓學(xué)生把教師自制的風(fēng)車轉(zhuǎn)起來(lái)，這是學(xué)生小時(shí)候玩過(guò)的得意玩具；手持風(fēng)車把手，來(lái)了一種360°的旋轉(zhuǎn)，不僅風(fēng)車轉(zhuǎn)得美麗，課堂氛圍也活躍，學(xué)生在緊張的課堂氛圍中立即變得自然和諧，情境引入達(dá)到高潮，此時(shí)教師再提出問(wèn)題． 　　推動(dòng)新課　　　 　　新知探究 　　提出問(wèn)題 　　1均值定理的內(nèi)容是什么？如何進(jìn)行證明？2你能證明a2＋b2≥2ab嗎？3你能嘗試給出均值不等式的一種幾何直觀解

6、釋嗎？4均值不等式有哪些變形式？ 　　活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀均值定理的內(nèi)容，或直接用多媒體給出．點(diǎn)撥學(xué)生運(yùn)用上兩節(jié)課所學(xué)知識(shí)進(jìn)行證明，這點(diǎn)學(xué)生會(huì)很容易做到，只需作差配方即可．接著讓學(xué)生明確，這個(gè)結(jié)論就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)a、b的a＋b2叫做數(shù)a、b的算術(shù)平均值，數(shù)ab叫做a、b的幾何平均值．均值定理可以表述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于或等于它的幾何平均值．強(qiáng)調(diào)這個(gè)結(jié)論的重要性，在證明不等式、求函數(shù)的最大值最小值時(shí)有著廣泛的應(yīng)用，是高考的一種熱點(diǎn)．可以通過(guò)反例或特例讓學(xué)生進(jìn)一步結(jié)識(shí)這個(gè)結(jié)論成立的條件，a、b必須是正數(shù)，等號(hào)成立當(dāng)且

7、僅當(dāng)a＝b，以加深學(xué)生對(duì)此結(jié)論的理解，為背面求最值時(shí)的“一正二定三相等”打下基本． 　　運(yùn)用不等式的性質(zhì)對(duì)均值不等式兩邊平方，則很容易得到a2＋b2≥2ab.這是一種很重要的結(jié)論．一般地，如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab也可讓學(xué)生重新證明這個(gè)結(jié)論： 　　∵a2＋b2－2ab＝2， 　　當(dāng)a≠b時(shí)，有2＞0. 　　當(dāng)a＝b時(shí)，有2＝0，因此2≥0，即a2＋b2≥2ab. 　　這個(gè)不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b恒成立，是一種很重要的不等式，應(yīng)用非常廣泛．請(qǐng)同窗們注意公式的構(gòu)造形式，成立的條件是a、b為實(shí)數(shù)，等號(hào)成立的條件是當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立．“當(dāng)且僅當(dāng)”即指充要條件． 　　下面我們對(duì)均

8、值不等式的幾何意義作進(jìn)一步探究． 　　如圖1，AB是圓的直徑，點(diǎn)c是AB上一點(diǎn)，Ac＝a，Bc＝b.過(guò)點(diǎn)c作垂直于AB的弦DD′，連結(jié)AD、BD.你能運(yùn)用這個(gè)圖形得出均值不等式的幾何解釋嗎？ 　　圖1 　　這個(gè)圖形是我們?cè)诔踔蟹浅Ｊ煜さ囊环N重要圖形．容易證明△AcD∽△DcB.因此可得cD＝ab.或由射影定理也可得到cD＝ab.從圖中我們可直觀地看到ab表達(dá)的是半弦長(zhǎng)，a＋b2表達(dá)的是半徑長(zhǎng)．由于半弦長(zhǎng)不不小于半徑，即cD不不小于或等于圓的半徑，用不等式表達(dá)為： 　　a＋b2≥ab. 　　顯然，上述不等式當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)c與圓心重疊，即當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立． 　　還應(yīng)讓學(xué)生熟悉均值不等式

9、的其她變形式．如若a、b∈R＋，則ab≤a＋b2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，式中檔號(hào)成立．好多書(shū)上就把它稱為基本不等式．在同樣條件下還可寫(xiě)成：a＋b≥2ab或2ab≤a＋b等． 　　討論成果： 　　略． 　　均值不等式的幾何解釋是：半徑不不不小于半弦長(zhǎng)． 　　若a、b∈R＋，則ab≤a＋b2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，式中檔號(hào)成立； 　　若a、b∈R＋，則a＋b≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，式中檔號(hào)成立； 　　若a、b∈R，則a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，式中檔號(hào)成立． 　　應(yīng)用示例 　　例1 　　活動(dòng)：本例是均值不等式的簡(jiǎn)樸應(yīng)用，教師點(diǎn)撥學(xué)生證明時(shí)注意式中成立的條件，本例中的ba和a

10、b相稱于均值不等式中的a、b.因此必須有ba，ab∈R＋ 　　點(diǎn)評(píng)：初用均值不等式，學(xué)生往往容易忽視不等式成立的條件，點(diǎn)撥學(xué)生注意，只要使用均值定理，立即先想到條件，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣. 　　變式訓(xùn)練 　　　已知a、b、c都是正實(shí)數(shù)，求證：≥8abc. 　　證明：∵a＞0，b＞0，c＞0， 　　∴a＋b≥2ab＞0，b＋c≥2bc＞0，c＋a≥2ca＞0. 　　∴≥2ab•2bc•2ac＝8abc， 　　即≥8abc. 　　例2已知＞2，求證：x－ya－b＋a－bx－y≥2. 　　活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生探究題目中的條件與結(jié)論．本題結(jié)論中，注意x－ya－b與

11、a－bx－y互為倒數(shù)，它們的積為1，故此題應(yīng)從已知條件出發(fā)，通過(guò)變形，闡明x－ya－b與a－bx－y為正數(shù)開(kāi)始證題． 　　證明：∵＞2， 　　∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx. 　　∴ax－ay＋by－bx＞0. 　　∴－＞0. 　　∴＞0， 　　即a－b與x－y同號(hào)． 　　∴x－ya－b與a－bx－y均為正數(shù)． 　　∴x－ya－b＋a－bx－y≥2x－ya－b•a－bx－y＝2． 　　∴x－ya－b＋a－bx－y≥2. 　　點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)對(duì)已知條件變形，恰本地因式分解，從討論因式乘積的符號(hào)來(lái)判斷x－ya－b與a－bx－y是正還是負(fù)，是我們此后解題中常用

12、的措施． 　　例3若a＞b＞1，P＝lga•lgb，Q＝12，R＝lga＋b2，則 　　A．R＜P＜Q 　　B．P＜Q＜R 　　c．Q＜P＜R 　　D．P＜R＜Q 　　活動(dòng)：這是均值不等式及其變形式的典型應(yīng)用．根據(jù)P、Q、R三個(gè)式子的構(gòu)造特點(diǎn)，應(yīng)考慮運(yùn)用均值不等式，再運(yùn)用函數(shù)y＝lgx的單調(diào)性． 　　答案：B 　　解析：∵a＞b＞1， 　　∴l(xiāng)ga＞lgb＞0. 　　∴12＞12•2lga•lgb，即Q＞P. 　　又∵a＋b2＞ab， 　　∴l(xiāng)ga＋b2＞lgab＝12． 　　∴R＞Q.故P＜Q＜R. 　　點(diǎn)評(píng)：應(yīng)精確理解均值不等

13、式成立的條件，發(fā)明性地應(yīng)用均值不等式． 　　例4 　　活動(dòng)：這是一種實(shí)際問(wèn)題．教師引導(dǎo)學(xué)生分析，根據(jù)題旨在中，矩形的長(zhǎng)與寬的積是一種常數(shù)，求長(zhǎng)與寬的和的兩倍的最小值；在中，矩形的長(zhǎng)與寬的和的兩倍是一種常數(shù)，求長(zhǎng)與寬的積的最大值．聯(lián)想到均值不等式的兩邊恰是兩個(gè)正數(shù)的和與積，因此建立均值不等式的數(shù)學(xué)模型． 　　點(diǎn)評(píng)：本例也可用函數(shù)模型解決，課后可讓學(xué)生試一試．這里用均值不等式來(lái)解，一是闡明運(yùn)用均值不等式求最值的措施，二是闡明這種措施的快捷．解完本例后，讓學(xué)生領(lǐng)悟到：兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有最小值；兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有最大值．簡(jiǎn)樸地說(shuō)就是：在應(yīng)用這個(gè)結(jié)論求最值時(shí)應(yīng)把握“一正

14、、二定、三相等”．正是正數(shù)，定是定值，相等是能取到等號(hào)． 　　知能訓(xùn)練 　　．“a＝18”是“對(duì)任意的正數(shù)x,2x＋ax≥1”的 　　A．充足不必要條件 　　B．必要不充足條件 　　c．充要條件 　　D．既不充足又不必要條件 　　2．若正數(shù)a、b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范疇是________． 　　答案： 　?。瓵　解析：一方面，當(dāng)a＝18時(shí)，對(duì)任意的正數(shù)x，有2x＋ax＝2x＋18x≥1；另一方面，對(duì)任意正數(shù)x，均有2x＋ax≥1，只要2x＋ax≥22a≥1，即得a≥18. 　　2．[9，＋∞)　解法一：令ab＝t， 　　由ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，得t2

15、≥2t＋3， 　　解得t≥3，即ab≥3，故ab≥9. 　　解法二：由已知得ab－b＝a＋3，b＝a＋3， 　　∴b＝a＋3a－1． 　　∴ab＝a•a＋3a－1＝[＋1]a＋3a－1＝a＋3＋a＋3a－1＝a－1＋4＋a－1＋4a－1 　?。絘－1＋4a－1＋5≥2a－1•4a－1＋5＝9. 　　當(dāng)且僅當(dāng)a－1＝4a－1時(shí)取等號(hào)，即a＝b＝3時(shí)，ab的最小值為9. 　　∴ab的取值范疇是[9，＋∞)． 　　點(diǎn)評(píng)：此題較全面地考察了均值不等式的應(yīng)用及不等式的解法與運(yùn)算能力．通過(guò)思考a＋b與ab的關(guān)系聯(lián)想到均值不等式，或建立

16、在函數(shù)思想上，求函數(shù)的值域． 　　由于視角的不同，有多種措施，以上僅是其中的兩種解法． 　　課堂小結(jié) 　　．由學(xué)生自己理順整合本節(jié)都學(xué)到了哪些知識(shí)措施？有哪些收獲？ 　　2．教師強(qiáng)調(diào)，本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2＋b2≥2ab；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，幾何平均數(shù)及它們的關(guān)系．兩關(guān)系式成立的條件不同，前者只規(guī)定a、b都是實(shí)數(shù)，而后者規(guī)定a、b都是正數(shù)．它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具． 　　作業(yè) 　　習(xí)題3—2A組，4,5,6.習(xí)題3—2B組，1,2. 　　設(shè)計(jì)感想 　?。竟?jié)設(shè)計(jì)突出重點(diǎn)．均值不等式的功能在于求最值，這是本節(jié)的重點(diǎn)，要牢牢地抓住．但使

17、用均值不等式求函數(shù)最值時(shí)要注意：①x，y都是正數(shù)；②積xy為定值；③x與y必須可以相等． 　　2．本節(jié)課我們探究了均值不等式，拓展了我們的視野；證明不等式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在設(shè)計(jì)中加強(qiáng)了證明不等式的題量，但難度并不大，重在讓學(xué)生體會(huì)措施．將解題思路轉(zhuǎn)化為解題過(guò)程，往往不是一帆風(fēng)順的，談思路也許頭頭是道，具體求解卻也許會(huì)到處碰壁，消除思路與求解的差別，要靠探究，在探究中不斷更新，在探究中逐漸完善． 　　第2學(xué)時(shí) 　　導(dǎo)入新課　　　 　　思路1.讓學(xué)生回憶上節(jié)課我們探究的重要成果：一是如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab；二是均值不等式：如果a，b是正數(shù)，那么a＋b2≥ab．在

18、這個(gè)不等式中，a＋b2為a，b的算術(shù)平均數(shù)，ab為a，b的幾何平均數(shù)，這樣均值不等式就有了幾何意義：半弦長(zhǎng)不不小于半徑．a(chǎn)2＋b2≥2ab與a＋b2≥ab成立的條件是不同的，前者只規(guī)定a，b都是實(shí)數(shù)，而后者規(guī)定a，b都是正數(shù)．本節(jié)課我們進(jìn)一步探究均值不等式的應(yīng)用．由此展開(kāi)新課． 　　思路2.通過(guò)上節(jié)課a2＋b2≥2ab與a＋b2≥ab的探究證明，我們熟悉了不等式的某些證明措施．本節(jié)課我們進(jìn)一步領(lǐng)悟不等式的證明思路、措施，進(jìn)一步熟悉運(yùn)用均值不等式解決函數(shù)的最值問(wèn)題的思路．教師打開(kāi)多媒體，從而展開(kāi)新課． 　　推動(dòng)新課　　　 　　新知探究 　　提出問(wèn)題 　　1

19、;回憶上節(jié)課探究的均值不等式，如何理解均值不等式的意義？均有哪些變形？2均值不等式均有哪些方面的應(yīng)用？3在應(yīng)用均值不等式求最值時(shí)，應(yīng)注意什么問(wèn)題？ 　　活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶上節(jié)課我們共同探究的均值不等式，以及均值不等式與a2＋b2≥2ab的聯(lián)系．給出了均值不等式的一種幾何直觀解釋．均值不等式與a2＋b2≥2ab均有著廣泛的應(yīng)用．對(duì)這兩個(gè)重要不等式，要明確它們成立的條件是不同的．后者成立的條件是a與b都為實(shí)數(shù)，并且a與b都為實(shí)數(shù)是不等式成立的充足必要條件；而前者成立的條件是a與b都為正實(shí)數(shù)，并且a與b都為正數(shù)是不等式成立的充足不

20、必要條件，如a＝0，b＝0，仍然能使a＋b2≥ab成立． 　　兩個(gè)不等式中檔號(hào)成立的條件都是a＝b，故a＝b是不等式中檔號(hào)成立的充要條件． 　　在使用“和為常數(shù)，積有最大值”和“積為常數(shù)，和有最小值”這兩個(gè)結(jié)論時(shí)，應(yīng)把握“一正、二定、三相等”．當(dāng)條件不完全具有時(shí)，應(yīng)發(fā)明條件． 　　本節(jié)課我們將進(jìn)一步探究均值不等式的應(yīng)用． 　　討論成果： 　　略． 　　應(yīng)注意不等式成立的條件，即把握好“一正，二定，三相等”． 　　應(yīng)用示例 　　例1 　　活動(dòng)：本例是求函數(shù)的最值．教師引導(dǎo)學(xué)生將f變形，注意觀測(cè)代數(shù)式中可否浮現(xiàn)和或積的定值．本例可放手讓學(xué)生自己探究，教師予以合適點(diǎn)撥． 　　點(diǎn)評(píng)

21、：解完本例后，讓學(xué)生反思并領(lǐng)悟在求函數(shù)最值時(shí)，如何使用均值不等式的條件，并掌握基本技能. 　　變式訓(xùn)練 　　　函數(shù)y＝loga－1的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，則1m＋2n的最小值為_(kāi)_______． 　　答案：8 　　解析：∵y＝loga－1恒過(guò)點(diǎn)，∴A． 　　又∵A在直線上， 　　∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1. 　　又∵mn＞0，∴m＞0，n＞0. 　　而1m＋2n＝2m＋nm＋4m＋2nn 　?。?＋nm＋2＋4mn≥4＋2×2＝8， 　　當(dāng)n＝12，m＝14時(shí)取“＝”． 　　∴1m＋2n的最小值為8. 　　例2已知x＜

22、54，求函數(shù)y＝4x－2＋14x－5的最大值； 　　已知a、b為實(shí)數(shù)，求函數(shù)y＝2＋2的最小值． 　　活動(dòng)：由于4x－5＜0，因此一方面要“調(diào)節(jié)”符號(hào)．又•14x－5不是常數(shù)，因此應(yīng)對(duì)4x－2進(jìn)行拆項(xiàng)“配湊”．從函數(shù)解析式的特點(diǎn)看，本題可化為有關(guān)x的二次函數(shù)，再通過(guò)配措施求其最小值．但若注意到＋為定值，則用變形不等式m2＋n22≥2更簡(jiǎn)捷． 　　解：∵x＜54，∴5－4x＞0. 　　∴y＝4x－2＋14x－5＝－＋3≤－2＋3＝1. 　　當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝15－4x，即x＝1時(shí)，上式等號(hào)成立． 　　∴當(dāng)x＝1時(shí)，ymax＝1. 　　∵y＝2＋2＝2＋2 　　≥2[&

23、#61480;x－a＋b－x2]2＝a－b22， 　　當(dāng)且僅當(dāng)x－a＝b－x，即x＝a＋b2時(shí)，上式等號(hào)成立． 　　∴當(dāng)x＝a＋b2時(shí)，ymin＝a－b22. 　　點(diǎn)評(píng)：若x、y∈R＋，x＋y＝s，xy＝p.若p為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，s的值最??；如果s為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，p的值最大．簡(jiǎn)稱“和定積最大，積定和最小”．從本例的解答可以看出，求最值時(shí)往往需要拆項(xiàng)，其目的是創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的情境和使等號(hào)成立的條件，即滿足“一正，二定，三相等”的規(guī)定. 　　變式訓(xùn)練

24、　　　已知在△ABc中，∠AcB＝90°，Bc＝3，Ac＝4，P是AB上的點(diǎn)，則點(diǎn)P到Ac、Bc的距離乘積的最大值是__________． 　　答案：3 　　解析：措施一：以cA、cB所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，則直線AB方程為x4＋y3＝1，設(shè)P，則a4＋b3＝1． 　　∴ab＝12•a4•b3≤122＝3， 　　當(dāng)且僅當(dāng)“a＝4b3”時(shí)等號(hào)成立． 　　措施二：設(shè)P到Bc的距離為a，到Ac的距離為b. 　　由相似三角形易得a4＝PB5，b3＝PA5， 　　∴a4＋b3＝PB＋PA5＝1.如下解法同一． 　　例3當(dāng)x＞－1時(shí)，求函數(shù)f＝x2－3x

25、＋1x＋1的值域． 　　活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀測(cè)函數(shù)f的分子、分母特點(diǎn)，可作如下變形：f＝x2－3x＋1x＋1＝x＋12－5x＋1＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－5. 　　這樣就可以應(yīng)用均值不等式了． 　　解：∵x＞－1， 　　∴x＋1＞0. 　　∴f＝x2－3x＋1x＋1＝x＋12－5x＋1＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－5≥2x＋15x＋1－5＝25－5，當(dāng)且僅當(dāng)2＝5時(shí)，即x＝5－1時(shí)取“＝”．

26、 　　另一解x＝－5－1＜－1，故函數(shù)值域?yàn)閇25－5，＋∞)． 　　點(diǎn)評(píng)：本題解法具有典型性，解后教師引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟反思．這種求值域的題目，在“函數(shù)”一章中我們接觸較多，其常用措施有單調(diào)性、圖象法，尚有鑒別式法．運(yùn)用鑒別式法不僅計(jì)算量大，并且極易因忽視某些條件而出錯(cuò)．本例給出了用均值不等式法求值域的措施，既簡(jiǎn)樸又不易出錯(cuò)．但提示學(xué)生一定要注意必須滿足的三個(gè)條件：①各項(xiàng)均為正數(shù)；②和或積有一種為定值；③等號(hào)一定取到，這三個(gè)條件缺一不可. 　　變式訓(xùn)練 　　　已知x1•x2•x3•…•xXX＝1，且x1、x2、x3、…、xXX都是正數(shù)，則…的

27、最小值是__________． 　　答案：2XX 　　解析：∵x1＞0，則1＋x1≥2x1， 　　同理，1＋x2≥2x2， 　　…… 　?。玿XX≥2xXX， 　　各式相乘，得 　　…≥2XX•x1•x2•x3•…•xXX＝2XX. 　　取“＝”的條件為x1＝x2＝x3＝…＝xXX＝1， 　　∴所求最小值為2XX. 　　例4設(shè)0＜x＜2，求函數(shù)f＝3x8－3x的最大值，并求相應(yīng)的x值．試問(wèn)0＜x＜43時(shí)，原函數(shù)f有無(wú)最大值？0＜x≤1時(shí)，f有無(wú)最大值？若有，請(qǐng)你求出來(lái)；若沒(méi)有，請(qǐng)你闡

28、明理由． 　　活動(dòng)：對(duì)本例中的函數(shù)可變形為f＝24x－9x2，根號(hào)內(nèi)是我們熟悉的二次函數(shù)，完全可以用二次函數(shù)的知識(shí)措施解決，這種措施學(xué)生很熟悉．教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用均值不等式求解，讓學(xué)生自己探究，教師可適時(shí)地點(diǎn)撥． 　　解：∵0＜x＜2，∴8－3x＞0. 　　∴f＝3x8－3x≤3x＋8－3x22＝4， 　　當(dāng)且僅當(dāng)3x＝8－3x，即x＝43時(shí)取“＝”． 　　∴函數(shù)f的最大值為4，此時(shí)x＝43. 　　又f＝－9x2＋24x＝－3x－42＋16， 　　∴當(dāng)0＜x＜43時(shí)，f遞增；當(dāng)x＞43

29、時(shí)，f遞減． 　　∴當(dāng)0＜x＜43時(shí)，原函數(shù)f沒(méi)有最大值． 　　當(dāng)0＜x≤1時(shí)，有最大值f，即f＝15 　　點(diǎn)評(píng)：通過(guò)本例再次加深對(duì)均值不等式條件的理解．體會(huì)不等式的功能在于“和與積”的互化，構(gòu)造均值不等式，解題的技巧是拆項(xiàng)或配湊因式． 　　知能訓(xùn)練 　　．函數(shù)f＝xx＋1的最大值為 　　A.25 　　B.12 　　c.22 　　D．1 　　2．求函數(shù)y＝x＋1x的最小值，以及此時(shí)x的值． 　　3．已知x、y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值． 　　答案： 　?。瓸　解析：當(dāng)x＝0時(shí)，f＝0；當(dāng)x＞0時(shí)，f＝xx＋1＝1x＋1x≤12，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1x，

30、即x＝1時(shí)取等號(hào)． 　　2．解：∵x＞0，∴x＋1x≥2•x•1x＝2， 　　當(dāng)且僅當(dāng)x＝1x，即x＝1時(shí)取等號(hào)． 　　∴當(dāng)x＝1時(shí)，x＋1x的值最小，最小值是2. 　　3．解：由2x＋8y－xy＝0得y＝2x. 　　∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0. 　　∴x＋y＝2xx－8＋x＝x－8＋16x－8＋10≥2x－8•16x－8＋10＝18， 　　當(dāng)且僅當(dāng)x－8＝16x－8，即x＝12時(shí)，x＋y取最小值18. 　　課堂小結(jié) 　?。蓪W(xué)生歸納整合本節(jié)課所用到的知識(shí)、思想措施，回憶本節(jié)課解決了哪些問(wèn)題？應(yīng)注意些什么

31、？ 　　2．教師點(diǎn)撥，本節(jié)課我們用均值不等式解決了函數(shù)的某些最值問(wèn)題，在用均值不等式求函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)注意考察下列三個(gè)條件：函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一種為定值；函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，獲得最值．即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)具有三個(gè)條件：一正、二定、三相等．在運(yùn)用均值不等式證明某些不等式時(shí)，也應(yīng)注意均值不等式成立的條件及構(gòu)建均值不等式構(gòu)造． 　　作業(yè) 　　習(xí)題3—2A組2、3、7、8、9；習(xí)題3—2B組3、4. 　　設(shè)計(jì)感想 　?。竟?jié)設(shè)計(jì)旨在體現(xiàn)均值不等式的應(yīng)用，因此用不等式求解函數(shù)的最值與證明不等式是穿插進(jìn)行的，且

32、強(qiáng)調(diào)一題多解的訓(xùn)練． 　　2．本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了教學(xué)進(jìn)程的和諧發(fā)展．整個(gè)設(shè)計(jì)給人自然流暢的感覺(jué)，沒(méi)有教師過(guò)度自我展示的味道，能使學(xué)生的思維得到充足的鍛煉，能力得到很大的提高． 　　3．本節(jié)設(shè)計(jì)注重了學(xué)生的主體地位，從例題到變式訓(xùn)練，從新課導(dǎo)入到課堂小結(jié)，都注意了學(xué)生的積極思維活動(dòng)，充足讓學(xué)生占據(jù)思維的時(shí)空，這是提高學(xué)生思維能力的有效良方． 　　備課資料 　　一、算術(shù)平均數(shù)不不不小于幾何平均數(shù)的一種證明措施 　　設(shè)a1，a2，a3，…，an為正實(shí)數(shù)，這n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值記為A，幾何平均值記為G，即A＝a1＋a2＋…＋ 　　ann，G＝na1a2…an，即A≥G，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝a

33、n時(shí)，A＝G.特別地，當(dāng)n＝2時(shí)，a＋b2≥ab；當(dāng)n＝3時(shí)，a＋b＋c3≥3abc. 　　用局部調(diào)節(jié)法證明均值不等式A≥G.設(shè)這n個(gè)正數(shù)不全相等．不失一般性，設(shè)0＜a1≤a2≤…≤an，易證a1＜A＜an，且a1＜G＜an.在這n個(gè)數(shù)中去掉一種最小數(shù)a1，將a1換成A，再去掉一種最大數(shù)an，將an換成a1＋an－A，其他各數(shù)不變，于是得到第二組正數(shù)：A，a2，a3，…，an－1，a1＋an－A.這一代換具有下列性質(zhì)：①兩組數(shù)的算術(shù)平均值不變，設(shè)第二組數(shù)的算術(shù)平均值為A1，那么A1＝A＋a2＋a3＋…＋an－1＋a1＋an－An＝A，②第二組數(shù)的幾何平均值最大．設(shè)第二組數(shù)的幾何平均值為G1，

34、則G1＝nAa2a3…an－1a1＋an－A， 　　∵A－a1an＝，由a1＜A＜an，得＞0，則A＞a1an.∴Aa2a3…an－1＞a1a2…an－1•an，即G1＞G. 　　二、備用習(xí)題 　　．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則 　　A．a(chǎn)b≤12 　　B．a(chǎn)b≥12 　　c．a(chǎn)2＋b2≥2 　　D．a(chǎn)2＋b2≤3 　　2．若a、b、c、d、x、y是正實(shí)數(shù)，且P＝ab＋cd，Q＝ax＋cy•bx＋dy，則 　　A．P＝Q 　　B．P＜Q 　　c．P≤Q 　　D．P≥Q 　　3．若函數(shù)y＝f的值域是[12，

35、3]，則函數(shù)F＝f＋1fx的值域是 　　A．[12，3] 　　B．[2，103] 　　c．[52，103] 　　D．[3，103] 　　4．某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨品400噸，每次都購(gòu)買(mǎi)x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x＝__________噸． 　　5．直線l過(guò)點(diǎn)m且分別交x軸，y軸正半軸于點(diǎn)A，B，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AoB面積最小時(shí)l的方程． 　　6．通過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路汽車的車流量y與汽車的平均速度v之間的函數(shù)關(guān)系為y＝920vv2＋3v＋1600． 　　在該時(shí)

36、段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？ 　　若規(guī)定在該時(shí)段內(nèi)車流量超過(guò)10千輛/時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范疇內(nèi)？ 　　參照答案： 　?。甤　解析：對(duì)于選項(xiàng)c：a2＋b2＝a2＋b2＋a2＋b22≥a2＋b2＋2ab2＝a＋b22＝2.故c對(duì)的． 　　2．c　解析：∵a、b、c、d、x、y是正實(shí)數(shù)， 　　∴Q＝ax＋cy•bx＋dy 　?。絘b＋cd＋adxy＋bcyx 　　≥ab＋cd＋2abcd 　?。絘b＋cd＝P. 　　3．B　解析：令t＝f，則t∈[12，3]． 　　∴F＝G＝t＋1t.該函數(shù)

37、在t＝1處獲得最小值2，在t＝3處獲得最大值103. 　　故選B. 　　4．20　解析：設(shè)一年總費(fèi)用為y萬(wàn)元，則y＝4•400x＋4x＝1600x＋4x≥21600x•4x＝160，當(dāng)且僅當(dāng)1600x＝4x，即x＝20時(shí)，等號(hào)成立． 　　5．解：設(shè)直線l的方程為y－1＝k，即y＝kx＋1－2k． 　　令x＝0，得y＝1－2k； 　　令y＝0，得x＝2k－1k＝2－1k. 　　∴S△AoB＝12＝2＋1－2k＋． 　　∵k＜0，∴－2k＞0. 　　∴S△AoB≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)－12k＝－2k，即k＝－12時(shí)取等號(hào)． 　　此時(shí)l的方程為y＝－12x＋2. 　　6．解：依題意，得y＝9203＋v＋1600v≤9203＋21600＝92083， 　　當(dāng)且僅當(dāng)v＝1600v，即v＝40時(shí)，上式等號(hào)成立， 　　因此ymax＝92083≈11.1． 　　由條件得920vv2＋3v＋1600＞10， 　　整頓，得v2－89v＋1600＜0， 　　即＜0， 　　解得25＜v＜64. 　　答：當(dāng)v＝40千米/時(shí)時(shí)，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/時(shí)．如果規(guī)定在該時(shí)段內(nèi)車流量超過(guò)10千輛/時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)不小于25千米/時(shí)且不不小于64千米/時(shí)．