高二上冊數(shù)學課件：8.4《平面向量的應用》（滬教版）

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,歡迎進入數(shù)學課堂,第4節(jié)平面向量的應用,,(對應學生用書第66頁)1．向量在平面幾何中的應用平面向量在平面幾何中的應用主要是用向量的線性運算和數(shù)量積解決平行、垂直、長度、夾角等問題．設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①證明線線平行或點共線問題，主要利用共線向量定理，即a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0.②證明垂直問題，主要利用向量數(shù)量積，即a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0.③求線段的長，主要利用向量的模，即,2．平面向量在物理中的應用(1)由于物理中的力、速度、位移都是向量，它們的分解與合成是向量的加法與減法的具體應用，可用向量來解決．(2)物理中的功W是一個標量，它是力f與位移s的數(shù)量積，即W＝fs＝|f||s|cosθ.3．平面向量與其他數(shù)學知識的交匯平面向量作為一種運算工具，經(jīng)常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識結(jié)合，當平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式．在此基礎(chǔ)上，可以求解有關(guān)函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題．,此類問題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是利用平面向量平行或垂直的充要條件；二是利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)．,1．在△ABC中，有命題：①AB―→－AC―→＝BC―→；②AB―→＋BC―→＋CA―→＝0；③若(AB―→＋AC―→)(AB―→－AC―→)＝0，則△ABC為等腰三角形；④若AC―→AB―→＞0，則△ABC為銳角三角形．上述命題正確的是(C)(A)①②(B)①④(C)②③(D)②③④,,解析：∵AB―→－AC―→＝CB―→＝－BC―→≠BC―→，∴①錯誤．AB―→＋BC―→＋CA―→＝AC―→＋CA―→＝AC―→－AC―→＝0，∴②正確．由(AB―→＋AC―→)(AB―→－AC―→)＝AB―→2－AC―→2＝0?|AB―→|＝|AC―→|，∴△ABC為等腰三角形，③正確．AC―→AB―→＞0?cos〈AC―→，AB―→〉＞0，即cosA＞0，∴0＜A＜90，但不能確定B，C大小，∴不能判定△ABC是否為銳角三角形，∴④錯誤，故選C.,2．已知一物體在共點力F1＝(lg2，lg2)，F(xiàn)2＝(lg5，lg2)的作用下產(chǎn)生位移s＝(2lg5,1)，則共點力對物體做的功W為(D)(A)lg2(B)lg5(C)1(D)2解析：F1＋F2＝(1,2lg2)，W＝(F1＋F2)s＝2lg2＋2lg5＝2.故選D.3．已知A，B，C是△ABC的三個頂點，AB―→2＝AB―→AC―→＋AB―→CB―→＋BC―→CA―→，則△ABC的形狀為(B)(A)銳角三角形(B)直角三角形(C)等邊三角形(D)等腰直角三角形解析：AB―→2＝AB―→(AC―→＋CB―→)＋BC―→CA―→＝AB―→2＋BC―→CA―→，∴BC―→CA―→＝0，∴∠C＝90，△ABC為直角三角形，故選B.,,,(對應學生用書第66～68頁)向量在平面幾何中的應用,【例1】如圖所示，若點D是三角形ABC內(nèi)一點，并且滿足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求證：AD⊥BC.,思路點撥：可設AD―→，AB―→，AC―→為基向量，把CD―→，BD―→用它們表示，只需證AD―→BC―→＝0.,證明：設AB―→＝c，AC―→＝b，AD―→＝m，則BD―→＝AD―→－AB―→＝m－c，CD―→＝AD―→－AC―→＝m－b.∵AB2＋CD2＝AC2＋BD2，∴c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，即c2＋m2－2mb＋b2＝b2＋m2－2mc＋c2，即2m(c－b)＝0，即AD―→(AB―→－AC―→)＝0，∴AD―→CB―→＝0，∴AD⊥BC.,用向量法解決平面幾何問題，先用向量表示相應的線段、夾角等幾何元素(或者建立平面直角坐標系)，然后通過向量的運算獲得向量之間的關(guān)系，最后把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系，從而得到幾何問題的結(jié)論．,解析：對選項C，如圖所示，AC―→CD―→＝|AC―→||CD―→|cos(π－∠ACD)＝－|AC―→||CD―→|cos∠ACD＝－|CD―→|2≠|(zhì)AB―→|2.故選C.,思路點撥：把三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3視為三個向量，借助向量的運算求|F3|，即F3的大?。?用向量知識和方法解決有關(guān)物理問題，一般先把問題中的相關(guān)量用向量表示，然后轉(zhuǎn)化為向量問題模型(三角形法則，平行四邊形法則、數(shù)量積)，通過向量運算使問題獲解，最后將結(jié)果還原為物理問題．,解：(1)法一：b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，則|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)，∵－1≤cosβ≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.當cosβ＝－1時，有|b＋c|＝2，∴向量b＋c的長度的最大值為2.,法二：∵|b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2.當cosβ＝－1時，有b＋c＝(－2,0)，即|b＋c|＝2.∴向量b＋c的長度的最大值為2.,平面向量與三角的整合，是高考命題的熱點之一，它一般是根據(jù)向量的運算性質(zhì)(如數(shù)量積)將向量特征轉(zhuǎn)化為三角問題，三角問題是考查的主體，平面向量是載體．,思路點撥：(1)利用向量模的概念轉(zhuǎn)化為動點P到兩定點距離之和為定值4，根據(jù)橢圓定義寫出方程；(2)設出M、N兩點坐標和直線l的方程，將OM―→ON―→坐標運算轉(zhuǎn)化為某一參數(shù)的函數(shù)，然后求其值域．,向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題時關(guān)鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導出曲線上點的坐標之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題．,變式探究41：(2010年大連市六校聯(lián)考)設F為拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若FA―→＋FB―→＋FC―→＝0，|FA―→|＋|FB―→|＋|FC―→|＝3，則該拋物線的方程是()(A)y2＝2x(B)y2＝4x(C)y2＝6x(D)y2＝8x,解：(1)AB―→AC―→＝AB―→(AB―→＋BC―→)＝AB―→2＋AB―→BC―→＝AB―→2－3＝1，∴|AB―→|2＝4，∴|AB―→|＝2，∴AB邊的長度為2.,(2)由已知和(1)得，AB―→AC―→＝bccosA＝2bcosA＝1，AB―→BC―→＝accos(π－B)＝2acos(π－B)＝－3，即2acosB＝3，,錯源：“共線”運用出錯【例題】如圖，半圓的直徑AB＝2，O為圓心，C是半圓上不同于A，B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則(PA―→＋PB―→)PC―→的最小值是________．,(對應學生用書第266頁)【選題明細表】,一、選擇題1．在平行四邊形ABCD中，AB―→＝a，AD―→＝b，則當(a＋b)2＝(a－b)2時，該平行四邊形為(B)(A)菱形(B)矩形(C)正方形(D)以上都不正確解析：(a＋b)2＝(a－b)2?|a＋b|＝|a－b|，根據(jù)向量加、減法的幾何意義知，AC＝BD，即兩對角線相等，所以?ABCD為矩形，故選B.,2．一條河寬為400m，一船從A處出發(fā)航行垂直到達河對岸的B處，船速為20km/h，水速為12km/h，則船到達B處所需的時間為(A)(A)1.5分鐘(B)1.8分鐘(C)2.2分鐘(D)3分鐘,,,解析：如圖所示，船速為AD―→，水速為AC―→，船實際垂直渡河的速度為AE―→，依題意知，|AD―→|＝20，|AC―→|＝12，∵AE―→＝AD―→＋AC―→，∴AE―→AC―→＝AD―→AC―→＋AC―→2，又AE―→⊥AC―→，∴AE―→AC―→＝0，即AD―→AC―→＋AC―→2＝0，∴2012cos(90＋∠BAD)＋122＝0，∴cos(90＋∠BAD)＝－，∴AE―→2＝(AD―→＋AC―→)2＝AD―→2＋2AD―→AC―→＋AC―→2＝202＋22012cos(90＋∠BAD)＋122＝256，∴|AE―→|＝16，故船到達對岸B的時間為0.416＝0.025小時＝1.5分鐘，故選A.,,4．若O為△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足(OB―→－OC―→)(OB―→＋OC―→－2OA―→)＝0，則△ABC的形狀為(C)(A)正三角形(B)直角三角形(C)等腰三角形(D)以上都不對解析：由已知得CB―→(AB―→＋AC―→)＝0，設BC中點為D，則CB―→AD―→＝0，即中線AD與高線重合，∴△ABC為等腰三角形．故選C.,,,6．已知兩點M(－3,0)，N(3,0)，點P為坐標平面內(nèi)一動點，且|MN―→||MP―→|＋MN―→NP―→＝0，則動點P(x，y)到點M(－3,0)的距離d的最小值為(B)(A)2(B)3(C)4(D)6,,,,10．(2009年高考江蘇卷)設向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求證：a∥b.解：(1)由a與b－2c垂直，得a(b－2c)＝ab－2ac＝0，即4cosαsinβ＋4sinαcosβ－8cosαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，所以tan(α＋β)＝2.,(2)b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β，,11．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函數(shù)f(x)＝ab在區(qū)間(－1,1)上是增函數(shù)，則t的取值范圍是(C)(A)[2，＋∞)(B)(5，＋∞)(C)[5，＋∞)(D)(2，＋∞)解析：∵f(x)＝ab＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，∴f′(x)＝－3x2＋2x＋t，要使f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)，只需f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立，由二次函數(shù)性質(zhì)知只需f′(－1)≥0，即－31－2＋t≥0，解得t≥5，故選C.,,同學們,來學校和回家的路上要注意安全,同學們,來學校和回家的路上要注意安全,