2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.4 計(jì)數(shù)應(yīng)用題課件 蘇教版選修2-3.ppt

1.4計(jì)數(shù)應(yīng)用題,第1章計(jì)數(shù)原理,學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步理解和掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.2.進(jìn)一步深化理解排列與組合的概念.3.能綜合運(yùn)用排列、組合解決計(jì)數(shù)問(wèn)題.,題型探究,內(nèi)容索引,當(dāng)堂訓(xùn)練,題型探究,命題角度1“類(lèi)中有步”的計(jì)數(shù)問(wèn)題例1電視臺(tái)在某節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱，其中存放著先后兩次競(jìng)猜中成績(jī)優(yōu)秀的觀(guān)眾來(lái)信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀(guān)眾，若先確定一名幸運(yùn)之星，再?gòu)膬尚畔渲懈鞔_定一名幸運(yùn)伙伴，有_種不同的結(jié)果.,類(lèi)型一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,答案,解析,28800,解析在甲箱或乙箱中抽取幸運(yùn)之星，決定了后邊選幸運(yùn)伙伴是不同的，故要分兩類(lèi)分別計(jì)算：(1)幸運(yùn)之星在甲箱中抽，先確定幸運(yùn)之星，再在兩箱中各確定一名幸運(yùn)伙伴，有30292017400(種)結(jié)果；(2)幸運(yùn)之星在乙箱中抽，同理有20193011400(種)結(jié)果.因此共有174001140028800(種)不同結(jié)果.,用流程圖描述計(jì)數(shù)問(wèn)題，類(lèi)中有步的情形如圖所示：,反思與感悟,具體意義如下：從A到B算作一件事的完成，完成這件事有兩類(lèi)辦法，在第1類(lèi)辦法中有3步，在第2類(lèi)辦法中有2步，每步的方法數(shù)如圖所示.所以，完成這件事的方法數(shù)為m1m2m3m4m5，“類(lèi)”與“步”可進(jìn)一步地理解為：“類(lèi)”用“”號(hào)連接，“步”用“”號(hào)連接，“類(lèi)”獨(dú)立，“步”連續(xù)，“類(lèi)”標(biāo)志一件事的完成，“步”缺一不可.,解析如圖所示，將原圖從上而下的4個(gè)區(qū)域標(biāo)為1,2,3,4.因?yàn)?,2,3之間不能同色，1與4可以同色，因此，要分類(lèi)討論1,4同色與不同色這兩種情況.故不同的著色方法種數(shù)為432432148.,跟蹤訓(xùn)練1現(xiàn)有4種不同顏色，要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有_種.,答案,解析,48,命題角度2“步中有類(lèi)”的計(jì)數(shù)問(wèn)題例2有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“握力”、“臺(tái)階”五個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，每位同學(xué)上、下午各測(cè)試一個(gè)項(xiàng)目，且不重復(fù).若上午不測(cè)“握力”項(xiàng)目，下午不測(cè)“臺(tái)階”項(xiàng)目，其余項(xiàng)目上、下午都各測(cè)一人，則不同的安排方式共有_種.(用數(shù)字作答),答案,解析,264,解析上午總測(cè)試方法有432124(種).我們以A、B、C、D、E依次代表五個(gè)測(cè)試項(xiàng)目.若上午測(cè)試E的同學(xué)下午測(cè)試D，則上午測(cè)試A的同學(xué)下午只能測(cè)試B、C，確定上午測(cè)試A的同學(xué)后其余兩位同學(xué)上、下午的測(cè)試方法共有2種；若上午測(cè)試E的同學(xué)下午測(cè)試A、B、C之一，則上午測(cè)試A、B、C中任何一個(gè)的同學(xué)下午都可以測(cè)試D，安排完這位同學(xué)后其余兩位同學(xué)的測(cè)試方式就確定了，故共有339(種)測(cè)試方法，即下午的測(cè)試方法共有11種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，總的測(cè)試方法共有2411264(種).,用流程圖描述計(jì)數(shù)問(wèn)題，步中有類(lèi)的情形如圖所示：,反思與感悟,從計(jì)數(shù)的角度看，由A到D算作完成一件事，可簡(jiǎn)單地記為AD.完成AD這件事，需要經(jīng)歷三步，即AB，BC，CD.其中BC這步又分為三類(lèi)，這就是步中有類(lèi).其中mi(i1,2,3,4,5)表示相應(yīng)步的方法數(shù).完成AD這件事的方法數(shù)為m1(m2m3m4)m5.以上給出了處理步中有類(lèi)問(wèn)題的一般方法.,跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，使電路接通，開(kāi)關(guān)不同的開(kāi)閉方式共有_種.,答案,解析,21,解析根據(jù)題意，設(shè)5個(gè)開(kāi)關(guān)依次為1、2、3、4、5，如圖所示，若電路接通，則開(kāi)關(guān)1、2與3、4、5中至少有1個(gè)接通，對(duì)于開(kāi)關(guān)1、2，共有224(種)情況，其中全部斷開(kāi)的有1(種)情況，則其至少有1個(gè)接通的有413(種)情況，對(duì)于開(kāi)關(guān)3、4、5，共有2228(種)情況，其中全部斷開(kāi)的有1(種)情況，則其至少有1個(gè)接通的有817(種)情況，則電路接通的情況有3721(種).,例33個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排.(1)如果女生必須全排在一起，有多少種不同的排法？,解(捆綁法)因?yàn)?個(gè)女生必須排在一起，所以可先把她們看成一個(gè)整體，這樣同5個(gè)男生合在一起共有6個(gè)元素，排成一排有種不同排法.對(duì)于其中的每一種排法，3個(gè)女生之間又有種不同的排法，因此共有4320(種)不同的排法.,類(lèi)型二有限制條件的排列問(wèn)題,解答,(2)如果女生必須全分開(kāi)，有多少種不同的排法？,解(插空法)要保證女生全分開(kāi)，可先把5個(gè)男生排好，每?jī)蓚€(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空，這樣共有4個(gè)空，加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置，共有6個(gè)位置，再把3個(gè)女生插入這6個(gè)位置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生，就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰.由于5個(gè)男生排成一排有種不同的排法，對(duì)于其中任意一種排法，從上述6個(gè)位置中選出3個(gè)來(lái)讓3個(gè)女生插入有種方法，因此共有14400(種)不同的排法.,解答,(3)如果兩端都不能排女生，有多少種不同的排法？,解答,解方法一(特殊位置優(yōu)先法)因?yàn)閮啥瞬荒芘排?，所以?xún)啥酥荒芴暨x5個(gè)男生中的2個(gè)，有種不同排法，對(duì)于其中的任意一種排法，其余六位都有種排法，所以共有14400(種)不同的排法.,方法二(間接法)3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排共有種不同的排法，從中扣除女生排在首位的種排法和女生排在末位的種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位時(shí)被扣去一次，在扣除女生排在末位時(shí)又被扣去一次，所以還需加一次，由于兩端都是女生有種不同的排法，所以共有14400(種)不同的排法.,方法三(特殊元素優(yōu)先法)從中間6個(gè)位置中挑選出3個(gè)讓3個(gè)女生排入，有種不同的排法，對(duì)于其中的任意一種排法，其余5個(gè)位置又都有種不同的排法，所以共有14400(種)不同的排法.,(4)如果兩端不能都排女生，有多少種不同的排法？,解方法一因?yàn)橹灰髢啥瞬荒芏寂排匀绻孜慌帕四猩?，則末位就不再受條件限制了，這樣可有種不同的排法；如果首位排女生，有種排法，這時(shí)末位就只能排男生，這樣可有種不同的排法.因此共有36000(種)不同的排法.方法二3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排有種排法，從中扣去兩端都是女生的排法有種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù).因此共有36000(種)不同的排法.,解答,(5)如果甲必須排在乙的右面(可以不相鄰)，有多少種不同的排法？,解(順序固定問(wèn)題)因?yàn)?人排隊(duì)，其中兩人順序固定，,解答,(1)排列問(wèn)題的限制條件一般表現(xiàn)為：某些元素不能在某個(gè)位置，某個(gè)位置只能放某些元素等.要先處理特殊元素或先處理特殊位置，再去排其他元素.當(dāng)用直接法比較麻煩時(shí)，可以用間接法，先不考慮限制條件，把所有的排列數(shù)算出，再?gòu)闹袦p去全部不符合條件的排列數(shù)，這種方法也稱(chēng)為“去雜法”，但必須注意要不重復(fù)，不遺漏(去盡).(2)對(duì)于某些特殊問(wèn)題，可采取相對(duì)固定的特殊方法，如相鄰問(wèn)題，可用“捆綁法”，即將相鄰元素看成一個(gè)整體與其他元素排列，再進(jìn)行內(nèi)部排列；不相鄰問(wèn)題，則用“插空法”，即先排其他元素，再將不相鄰元素排入形成的空位中.,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練3用0到9這10個(gè)數(shù)字，(1)可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？在這些四位數(shù)中，奇數(shù)有多少個(gè)？,解答,解0到9這10個(gè)數(shù)字構(gòu)成的三位數(shù)共有900個(gè)，分為三類(lèi)：第1類(lèi)：三位數(shù)字全相同，如111,222，999，共9個(gè)；第2類(lèi)：三位數(shù)字全不同，共有998648(個(gè))，第3類(lèi)：由間接法可求出，只含有2個(gè)相同數(shù)字的三位數(shù)，共有9009648243(個(gè)).,(2)可以組成多少個(gè)只含有2個(gè)相同數(shù)字的三位數(shù)？,解答,命題角度1不同元素的排列、組合問(wèn)題例4有4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行.如果取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有多少種？,類(lèi)型三排列與組合的綜合應(yīng)用,解答,解分三類(lèi)：,(1)解排列、組合綜合問(wèn)題的一般思路是“先選后排”，也就是先把符合題意的元素都選出來(lái)，再對(duì)元素或位置進(jìn)行排列.(2)解排列、組合綜合問(wèn)題時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法，無(wú)序的問(wèn)題是組合問(wèn)題，有序的問(wèn)題是排列問(wèn)題.對(duì)于有多個(gè)限制條件的復(fù)雜問(wèn)題，應(yīng)認(rèn)真分析每個(gè)限制條件，然后再考慮是分類(lèi)還是分步，這是處理排列、組合綜合問(wèn)題的一般方法.,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練4從1,3,5,7,9中任取3個(gè)數(shù)字，從0,2,4,6,8中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)？,解答,解(1)五位數(shù)中不含數(shù)字0.,(2)五位數(shù)中含有數(shù)字0.,第2步，排順序又可分為兩小類(lèi)：,所以符合條件的偶數(shù)個(gè)數(shù)為,命題角度2含有相同元素的排列、組合問(wèn)題例5將10個(gè)優(yōu)秀名額分配到一班、二班、三班3個(gè)班級(jí)中，若各班名額數(shù)不小于班級(jí)序號(hào)數(shù)，則共有_種不同的分配方案.,解析先拿3個(gè)優(yōu)秀名額分配給二班1個(gè)，三班2個(gè)，這樣原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為將7個(gè)優(yōu)秀名額分配到3個(gè)班級(jí)中，每個(gè)班級(jí)中至少分配到1個(gè).利用“隔板法”可知，共有15(種)不同的分配方案.,答案,解析,15,凡“相同小球放入不同盒中”的問(wèn)題，即為“n個(gè)相同元素有序分成m組(每組的任務(wù)不同)”的問(wèn)題，一般可用“隔板法”求解：(1)當(dāng)每組至少含一個(gè)元素時(shí)，其不同分組方式有N種，即將n個(gè)元素中間的n1個(gè)空格中加入m1個(gè)“隔板”.(2)任意分組，可出現(xiàn)某些組含元素為0個(gè)的情況，其不同分組方式有N種，即將n個(gè)相同元素與m1個(gè)相同“隔板”進(jìn)行排序，在nm1個(gè)位置中選m1個(gè)安排“隔板”.,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練5用2,3,4,5,6,7六個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi).,解析用間接法：六個(gè)數(shù)字能構(gòu)成的三位數(shù)共666216(個(gè))，而無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有654120(個(gè)).故所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為21612096.,答案,解析,96,當(dāng)堂訓(xùn)練,1.李芳有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有兩套不同樣式的連衣裙.“五一”節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出，則李芳有_種不同的選擇方式.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析由題意可得，李芳不同的選擇方式為43214.,14,2.包括甲、乙在內(nèi)的7個(gè)人站成一排，其中甲在乙的左側(cè)(可以不相鄰)，有_種站法.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析因?yàn)榧?、乙定序了，所以?520(種).,2520,3.從0,2,4中取一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中取兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則所有不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是_.,答案,2,3,4,5,1,解析,48,解析第一類(lèi)：從2,4中任取一個(gè)數(shù)，有種取法，同時(shí)從1,3,5中取兩個(gè)數(shù)字，有種取法，再把三個(gè)數(shù)全排列，有種排法.故有36(種)取法.第二類(lèi)：從0,2,4中取出0，有種取法，從1,3,5三個(gè)數(shù)字中取出兩個(gè)數(shù)字，有種取法，然后把兩個(gè)非0的數(shù)字中的一個(gè)先安排在首位，有種排法，剩下的兩個(gè)數(shù)字全排列，有種排法，共有12(種)方法.共有361248(種)排法.,2,3,4,5,1,4.某電視臺(tái)連續(xù)播放5個(gè)廣告，其中有3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益宣傳廣告，要求最后播放的必須是公益宣傳廣告，且2個(gè)公益宣傳廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有_種.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析先安排后2個(gè)，再安排前3個(gè)，由分步計(jì)數(shù)原理知，共有36(種)不同的播放方式.,36,2,3,4,5,1,5.已知xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6，則滿(mǎn)足x1x2x3x4x5x62的數(shù)組(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的個(gè)數(shù)為_(kāi).,答案,解析,解析根據(jù)題意，x1x2x3x4x5x62，xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6，xi中有2個(gè)1和4個(gè)0，或3個(gè)1、1個(gè)1和2個(gè)0，或4個(gè)1和2個(gè)1，共有90(個(gè))，滿(mǎn)足x1x2x3x4x5x62的數(shù)組(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的個(gè)數(shù)為90.,90,規(guī)律與方法,1.解排列、組合綜合題一般是先選元素、后排元素，或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)、分步，再利用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理作最后處理.2.對(duì)于較難直接解決的問(wèn)題則可用間接法，但應(yīng)做到不重不漏.3.對(duì)于分配問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān)，對(duì)于平均分組問(wèn)題更要注意順序，避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏.,本課結(jié)束,