《隨機(jī)過(guò)程》第4章離散部分習(xí)題及參考答案.doc

湖南大學(xué)本科課程隨機(jī)過(guò)程第4章習(xí)題及參考答案主講教師：何松華 教授30設(shè)X(n)為均值為0、方差為s2的離散白噪聲，通過(guò)一個(gè)單位脈沖響應(yīng)為h(n)的線(xiàn)性時(shí)不變離散時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)，Y(n)為其輸出，試證：，證：根據(jù)離散白噪聲性質(zhì)，(對(duì)于求和區(qū)間內(nèi)的每個(gè)m1,在m2的區(qū)間內(nèi)存在唯一的m2=m1,使得)(求和變量置換)31均值為0、方差為s2的離散白噪聲X(n)通過(guò)單位脈沖響應(yīng)分別為h1(n)=anu(n)以及h2(n)=bnu(n)的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)(|a|<1,|b|<1)，輸出為W(n)，求sW2。解：該級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為參照題30的結(jié)果可以得到32設(shè)離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為，輸入為自相關(guān)函數(shù)為的白噪聲，求系統(tǒng)輸出Y(n)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。解：根據(jù)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程通過(guò)離散時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)理論，有注：對(duì)比因果連續(xù)系統(tǒng)的輸出過(guò)程與輸入過(guò)程相關(guān)函數(shù)的關(guān)系不妨設(shè)，則只有當(dāng)m1m時(shí)，求和區(qū)間內(nèi)存在脈沖點(diǎn)，因此令：，則令：，則考慮到相關(guān)函數(shù)的偶函數(shù)特性，得到：下面求功率譜密度函數(shù)，采用頻域法?？梢酝ㄟ^(guò)相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換進(jìn)行驗(yàn)證。典型雙邊序列的離散時(shí)間傅立葉變換對(duì)：33序列X(n)和Y(n)滿(mǎn)足差分方程其中a為整常數(shù)，試用X(n)的相關(guān)函數(shù)表示Y(n)的相關(guān)函數(shù)。解：當(dāng)X(n)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程時(shí)，則Y(n)也為平穩(wěn)的，且有34實(shí)值一階自回歸過(guò)程X(n)滿(mǎn)足差分方程其中a1為常數(shù)，V(n)為方差為s2的白噪聲，輸入從n=0開(kāi)始，。(1)證明：若V(n)均值非零，則X(n)非平穩(wěn)；(2)證明：若V(n)均值為零、|a1|<1，則當(dāng)n足夠大時(shí)，；(3)若V(n)均值為零，|a1|<1，求X(n)的自相關(guān)函數(shù)的平穩(wěn)解。證：(1) 采用Wold分解方法顯然，若V(n)均值非零，則X(n)的均值函數(shù)不是一個(gè)常數(shù)，是非平穩(wěn)的。(2) 若V(n)均值為零，則X(n)的均值為常數(shù)0，則根據(jù)相互獨(dú)立隨機(jī)變量的和的方差等于方差之和的性質(zhì)，得到顯然，若輸入從n=0開(kāi)始，則即使在V(n)均值為零的情況下，方差也不為常數(shù)，X(n)是非平穩(wěn)的，當(dāng)|a1|<1且n足夠大時(shí)，漸近平穩(wěn)，。(3) 不妨假設(shè)時(shí)刻差m0，則根據(jù)Wold分解得到根據(jù)求和區(qū)間內(nèi)的脈沖點(diǎn)的存在條件：，得到：當(dāng)n足夠大時(shí)，輸出過(guò)程是漸近平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)的平穩(wěn)解為：35考察如下的二階自回歸過(guò)程X(n)(1)若已知隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)值、，試寫(xiě)出用于計(jì)算系數(shù)a1,a2以及零均值白色噪聲的方差的Yule-Walker方程；(2)反過(guò)來(lái)，若已知a1= -1,a2=0.5, ，求、的值；(3)求相關(guān)函數(shù)的通解。解：(1)按題意為求平穩(wěn)解。根據(jù)回歸方程(離散時(shí)間因果系統(tǒng)的差分方程)可知：對(duì)于任意的n，只與V(n)以及V(n-m) (m>0)有關(guān)，即系統(tǒng)的輸出只與當(dāng)前時(shí)刻以及過(guò)去時(shí)刻的輸入有關(guān)，則有：(、與V(n)無(wú)關(guān))換成另外一種寫(xiě)法，根據(jù)得到即： (1)差分方程兩邊分別乘X(n-1)、取數(shù)學(xué)期望，并利用V(n)與X(n-1)的不相關(guān)性以及相關(guān)函數(shù)的偶函數(shù)特性得到： (2)同理，差分方程兩邊分別乘X(n-1)、取數(shù)學(xué)期望 (3)(1)(2)(3)式聯(lián)立，即得到二階AR模型的Yule-Walker方程(三個(gè)方程可以求解三個(gè)未知數(shù),a1,a2)(2)Yule-Walker方程可以寫(xiě)成如下的等效形式代入a1,a2, 的具體數(shù)值，得到(3) 當(dāng)m>2時(shí)，差分方程兩邊分別乘X(n-m)、取數(shù)學(xué)期望,可得：上述差分方程的特征方程：，兩個(gè)根為(共軛復(fù)根，模為，相角為)，根據(jù)差分方程理論，則相關(guān)函數(shù)的通解為：代入、，求得：，于是顯然RX(0)=1.2、RX(1)=0.8、RX(2)=0.2也滿(mǎn)足上式；考慮到相關(guān)函數(shù)的實(shí)、偶函數(shù)特性以及m<0的情況，得：36察如下的二階自回歸過(guò)程X(n)零均值白色噪聲的方差為，；求：(1)X(n)的功率譜密度；(2)根據(jù)Wold分解求X(n)的自相關(guān)函數(shù)；(3)求Yule-Walker方程解：(1)方程兩邊取離散時(shí)間傅立葉變換并利用其移位特性，得到則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：根據(jù)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程通過(guò)離散時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)理論，有(2) 同理，自回歸方程兩邊取Z變換，得到其中，z1,z2為系統(tǒng)特征方程的根，根據(jù)題意，系統(tǒng)穩(wěn)定。作部分分式分解以及級(jí)數(shù)展開(kāi)，得到兩邊取逆Z變換并根據(jù)z變換的移位性質(zhì)，得到不妨設(shè)m0，則根據(jù)單位脈沖函數(shù)的求和性質(zhì)得到考慮到相關(guān)函數(shù)的偶函數(shù)特性，得到：(1) 參照題35的方法得到：37考察如下的二階MA模型，輸入X(n)的功率譜密度為，求Y(n)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。解：先考察m0的情況，則、，于是考慮到相關(guān)函數(shù)的偶函數(shù)特性，得到根據(jù)差分方程得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為根據(jù)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)特性，得到38、考察如下的ARMA模型其中V(n)為零均值、單位方差離散白色噪聲，求X(n)的自相關(guān)函數(shù)。解：方法1。顯然該系統(tǒng)的Z變換形式的傳遞函數(shù)為根據(jù)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)理論，輸出隨機(jī)過(guò)程Y(n)的相關(guān)函數(shù)的Z變換(Z變換形式的功率譜)為作部分分式分解根據(jù)恒等關(guān)系得到、取逆Z變換得到(第2項(xiàng)對(duì)應(yīng)右邊序列，第3項(xiàng)對(duì)應(yīng)左邊序列)當(dāng)m>0時(shí)，考慮到相關(guān)函數(shù)的偶函數(shù)特性，得到：方法2：當(dāng)m>1時(shí)，則X(n-m)與V(n),V(n-1)無(wú)關(guān)，差分方程兩邊同乘X(n-m)并取數(shù)學(xué)期望，得到該差分方程的解為：其中A1由初始條件確定，考慮到根據(jù)逆Z變換關(guān)系及留數(shù)定理 (單位圓內(nèi)只有1個(gè)極點(diǎn)z=0.9)，考慮到(單位圓內(nèi)有2個(gè)極點(diǎn)z=0.9,z=0)綜合得到方法3：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 取逆Z變換得到系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為根據(jù)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)理論先考慮m0的情況，脈沖點(diǎn)的出現(xiàn)條件：對(duì)于m>0，有考慮到以及相關(guān)函數(shù)的偶函數(shù)特性，得到方法4：根據(jù)推廣的Yule-Walker方程求解根據(jù)V(n)的白色噪聲特性、系統(tǒng)的因果特性以及輸入輸出的聯(lián)合平穩(wěn)特性，得到：差分方程兩邊分別同乘X(n)或X(n-1)，取數(shù)學(xué)期望并利用上述相關(guān)特性，得到一階情況下的推廣的Y-W方程為：以上兩式聯(lián)立求得：、。對(duì)于m>1，差分方程兩邊同乘X(n-m)并取數(shù)學(xué)期望得到根據(jù)遞推關(guān)系：，考慮到，以及相關(guān)函數(shù)的偶函數(shù)特性，得到：。