《隨機過程》第4章離散部分習題及參考答案.doc
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湖南大學本科課程隨機過程第4章習題及參考答案主講教師:何松華 教授30設X(n)為均值為0、方差為s2的離散白噪聲,通過一個單位脈沖響應為h(n)的線性時不變離散時間線性系統(tǒng),Y(n)為其輸出,試證:,證:根據(jù)離散白噪聲性質(zhì),(對于求和區(qū)間內(nèi)的每個m1,在m2的區(qū)間內(nèi)存在唯一的m2=m1,使得)(求和變量置換)31均值為0、方差為s2的離散白噪聲X(n)通過單位脈沖響應分別為h1(n)=anu(n)以及h2(n)=bnu(n)的級聯(lián)系統(tǒng)(|a|1,|b|1),輸出為W(n),求sW2。解:該級聯(lián)系統(tǒng)的單位脈沖響應為參照題30的結(jié)果可以得到32設離散系統(tǒng)的單位脈沖響應為,輸入為自相關函數(shù)為的白噪聲,求系統(tǒng)輸出Y(n)的自相關函數(shù)和功率譜密度。解:根據(jù)離散時間隨機過程通過離散時間線性系統(tǒng)理論,有注:對比因果連續(xù)系統(tǒng)的輸出過程與輸入過程相關函數(shù)的關系不妨設,則只有當m1m時,求和區(qū)間內(nèi)存在脈沖點,因此令:,則令:,則考慮到相關函數(shù)的偶函數(shù)特性,得到:下面求功率譜密度函數(shù),采用頻域法。可以通過相關函數(shù)的傅立葉變換進行驗證。典型雙邊序列的離散時間傅立葉變換對:33序列X(n)和Y(n)滿足差分方程其中a為整常數(shù),試用X(n)的相關函數(shù)表示Y(n)的相關函數(shù)。解:當X(n)為平穩(wěn)隨機過程時,則Y(n)也為平穩(wěn)的,且有34實值一階自回歸過程X(n)滿足差分方程其中a1為常數(shù),V(n)為方差為s2的白噪聲,輸入從n=0開始,。(1)證明:若V(n)均值非零,則X(n)非平穩(wěn);(2)證明:若V(n)均值為零、|a1|1,則當n足夠大時,;(3)若V(n)均值為零,|a1|1,求X(n)的自相關函數(shù)的平穩(wěn)解。證:(1) 采用Wold分解方法顯然,若V(n)均值非零,則X(n)的均值函數(shù)不是一個常數(shù),是非平穩(wěn)的。(2) 若V(n)均值為零,則X(n)的均值為常數(shù)0,則根據(jù)相互獨立隨機變量的和的方差等于方差之和的性質(zhì),得到顯然,若輸入從n=0開始,則即使在V(n)均值為零的情況下,方差也不為常數(shù),X(n)是非平穩(wěn)的,當|a1|0)有關,即系統(tǒng)的輸出只與當前時刻以及過去時刻的輸入有關,則有:(、與V(n)無關)換成另外一種寫法,根據(jù)得到即: (1)差分方程兩邊分別乘X(n-1)、取數(shù)學期望,并利用V(n)與X(n-1)的不相關性以及相關函數(shù)的偶函數(shù)特性得到: (2)同理,差分方程兩邊分別乘X(n-1)、取數(shù)學期望 (3)(1)(2)(3)式聯(lián)立,即得到二階AR模型的Yule-Walker方程(三個方程可以求解三個未知數(shù),a1,a2)(2)Yule-Walker方程可以寫成如下的等效形式代入a1,a2, 的具體數(shù)值,得到(3) 當m2時,差分方程兩邊分別乘X(n-m)、取數(shù)學期望,可得:上述差分方程的特征方程:,兩個根為(共軛復根,模為,相角為),根據(jù)差分方程理論,則相關函數(shù)的通解為:代入、,求得:,于是顯然RX(0)=1.2、RX(1)=0.8、RX(2)=0.2也滿足上式;考慮到相關函數(shù)的實、偶函數(shù)特性以及m0時,考慮到相關函數(shù)的偶函數(shù)特性,得到:方法2:當m1時,則X(n-m)與V(n),V(n-1)無關,差分方程兩邊同乘X(n-m)并取數(shù)學期望,得到該差分方程的解為:其中A1由初始條件確定,考慮到根據(jù)逆Z變換關系及留數(shù)定理 (單位圓內(nèi)只有1個極點z=0.9),考慮到(單位圓內(nèi)有2個極點z=0.9,z=0)綜合得到方法3:系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 取逆Z變換得到系統(tǒng)的單位脈沖響應為根據(jù)離散時間隨機過程通過線性系統(tǒng)理論先考慮m0的情況,脈沖點的出現(xiàn)條件:對于m0,有考慮到以及相關函數(shù)的偶函數(shù)特性,得到方法4:根據(jù)推廣的Yule-Walker方程求解根據(jù)V(n)的白色噪聲特性、系統(tǒng)的因果特性以及輸入輸出的聯(lián)合平穩(wěn)特性,得到:差分方程兩邊分別同乘X(n)或X(n-1),取數(shù)學期望并利用上述相關特性,得到一階情況下的推廣的Y-W方程為:以上兩式聯(lián)立求得:、。對于m1,差分方程兩邊同乘X(n-m)并取數(shù)學期望得到根據(jù)遞推關系:,考慮到,以及相關函數(shù)的偶函數(shù)特性,得到:。- 配套講稿:
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