同濟(jì)高等數(shù)學(xué)公式大全

. 高等數(shù)學(xué)公式 導(dǎo)數(shù)公式： 基本積分表： 三角函數(shù)的有理式積分： 一些初等函數(shù)： 兩個(gè)重要極限： 三角函數(shù)公式： 誘導(dǎo)公式： 函數(shù) 角A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90-α cosα sinα ctgα tgα 90+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180+α -sinα -cosα tgα ctgα 270-α -cosα -sinα ctgα tgα 270+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360+α sinα cosα tgα ctgα 和差角公式： 和差化積公式： 倍角公式： 半角公式： 正弦定理： 余弦定理： 反三角函數(shù)性質(zhì)： 高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式： 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用： 曲率： 定積分的近似計(jì)算： 定積分應(yīng)用相關(guān)公式： 空間解析幾何和向量代數(shù)： 多元函數(shù)微分法及應(yīng)用 微分法在幾何上的應(yīng)用： 方向?qū)?shù)與梯度： 多元函數(shù)的極值及其求法： 重積分及其應(yīng)用： 柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)： 曲線積分： 曲面積分： 高斯公式： 斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關(guān)系： 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)： 級(jí)數(shù)審斂法： 絕對(duì)收斂與條件收斂： 冪級(jí)數(shù)： 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)： 一些函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)： 歐拉公式： 三角級(jí)數(shù)： 傅立葉級(jí)數(shù)： 周期為的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)： 微分方程的相關(guān)概念： 一階線性微分方程： 全微分方程： 二階微分方程： 二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法： (*)式的通解 兩個(gè)不相等實(shí)根 兩個(gè)相等實(shí)根 一對(duì)共軛復(fù)根 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 求極限的各種方法 1．約去零因子求極限 例1：求極限 【說(shuō)明】表明無(wú)限接近，但，所以這一零因子可以約去。 【解】=4 2．分子分母同除求極限 例2：求極限 【說(shuō)明】型且分子分母都以多項(xiàng)式給出的極限,可通過(guò)分子分母同除來(lái)求。 【解】 【注】(1) 一般分子分母同除的最高次方； 　　(2) 3．分子(母)有理化求極限 例3：求極限 【說(shuō)明】分子或分母有理化求極限，是通過(guò)有理化化去無(wú)理式。 【解】 例4：求極限 【解】 【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時(shí)分離極限式中的非零因子是解題的關(guān)鍵　 4．應(yīng)用兩個(gè)重要極限求極限 兩個(gè)重要極限是和，第一個(gè)重要極限過(guò)于簡(jiǎn)單且可通過(guò)等價(jià)無(wú)窮小來(lái)實(shí)現(xiàn)。主要考第二個(gè)重要極限。 例5：求極限 【說(shuō)明】第二個(gè)重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出１，再湊，最后湊指數(shù)部分。 【解】 例6：(1)；(2)已知，求。 5．用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限 【說(shuō)明】 (1)常見(jiàn)等價(jià)無(wú)窮小有： 當(dāng) 時(shí),, ； (2) 等價(jià)無(wú)窮小量代換,只能代換極限式中的因式； (3)此方法在各種求極限的方法中應(yīng)作為首選。 例7：求極限 【解】 . 例8：求極限 【解】 6．用羅必塔法則求極限 例9：求極限 【說(shuō)明】或型的極限,可通過(guò)羅必塔法則來(lái)求。 【解】 【注】許多變動(dòng)上顯的積分表示的極限，常用羅必塔法則求解 例10：設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且，求極限 【解】 由于,于是 == == 7．用對(duì)數(shù)恒等式求極限 例11：極限 【解】 == 【注】對(duì)于型未定式的極限，也可用公式 = 因?yàn)? 例12：求極限. 【解1】 原式 【解2】 原式 8．利用Taylor公式求極限 例13 求極限 . 【解】 , ; . 例14 求極限. 【解】 . 9．?dāng)?shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解 例15：極限 【說(shuō)明】這是形式的的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用羅必塔法則，若直接求有一定難度，若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過(guò)7提供的方法結(jié)合羅必塔法則求解。 【解】考慮輔助極限 所以， 10．n項(xiàng)和數(shù)列極限問(wèn)題 n項(xiàng)和數(shù)列極限問(wèn)題極限問(wèn)題有兩種處理方法 (1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)計(jì)算; (2)利用兩邊夾法則求極限. 例16：極限 【說(shuō)明】用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算,是把看成［0,1］定積分。 【解】原式＝ 例17：極限 【說(shuō)明】(1)該題遇上一題類似，但是不能湊成的形式，因而用兩邊夾法則求解； (2) 兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的。 【解】 因?yàn)椤　? 又　　　　 所以　?。剑? 12．單調(diào)有界數(shù)列的極限問(wèn)題 例18：設(shè)數(shù)列滿足 （Ⅰ）證明存在，并求該極限； （Ⅱ）計(jì)算. 【分析】 一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來(lái)證明數(shù)列極限的存在. 【詳解】 （Ⅰ）因?yàn)?，則. 可推得　，則數(shù)列有界. 于是　，（因當(dāng)）， 則有，可見(jiàn)數(shù)列單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限存在. 設(shè)，在兩邊令，得　，解得，即. （Ⅱ）　因　，由（Ⅰ）知該極限為型， (使用了羅必塔法則) 故　. 求不定積分的方法及技巧小匯總~ 1. 利用基本公式。（這就不多說(shuō)了~） 2. 第一類換元法。（湊微分） 設(shè)f(μ)具有原函數(shù)F(μ)。則 其中可微。 用湊微分法求解不定積分時(shí)，首先要認(rèn)真觀察被積函數(shù)，尋找導(dǎo)數(shù)項(xiàng)內(nèi)容，同時(shí)為下一步積分做準(zhǔn)備。當(dāng)實(shí)在看不清楚被積函數(shù)特點(diǎn)時(shí)，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導(dǎo)、嘗試，或許從中可以得到某種啟迪。如例1、例2： 例1： 【解】 例2： 【解】 3. 第二類換元法： 設(shè)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，并且具有原函數(shù)，則有換元公式 第二類換元法主要是針對(duì)多種形式的無(wú)理根式。常見(jiàn)的變換形式需要熟記會(huì)用。主要有以下幾種： 4. 分部積分法. 公式： 分部積分法采用迂回的技巧，規(guī)避難點(diǎn)，挑容易積分的部分先做，最終完成不定積分。具體選取時(shí)，通常基于以下兩點(diǎn)考慮： （1） 降低多項(xiàng)式部分的系數(shù) （2） 簡(jiǎn)化被積函數(shù)的類型 舉兩個(gè)例子吧~！ 例3： 【解】觀察被積函數(shù)，選取變換,則 例4： 【解】 上面的例3，降低了多項(xiàng)式系數(shù)；例4，簡(jiǎn)化了被積函數(shù)的類型。 有時(shí)，分部積分會(huì)產(chǎn)生循環(huán)，最終也可求得不定積分。 在中，的選取有下面簡(jiǎn)單的規(guī)律： 將以上規(guī)律化成一個(gè)圖就是： （a^x arcsinx） （lnx Pm(x) sinx) ν μ 但是，當(dāng)時(shí)，是無(wú)法求解的。 對(duì)于（3）情況，有兩個(gè)通用公式： （分部積分法用處多多~在本冊(cè)雜志的《涉及l(fā)nx的不定積分》中，?？梢钥吹椒植糠e分） 5. 幾種特殊類型函數(shù)的積分。 （1） 有理函數(shù)的積分 有理函數(shù)先化為多項(xiàng)式和真分式之和，再把分解為若干個(gè)部分分式之和。（對(duì)各部分分式的處理可能會(huì)比較復(fù)雜。出現(xiàn)時(shí)，記得用遞推公式：） 例5： 【解】 故不定積分求得。 （2）三角函數(shù)有理式的積分 萬(wàn)能公式： 的積分，但由于計(jì)算較煩，應(yīng)盡量避免。 對(duì)于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成。再用待定系數(shù) 來(lái)做。（注：沒(méi)舉例題并不代表不重要~） （3） 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分 一般用第二類換元法中的那些變換形式。 像一些簡(jiǎn)單的，應(yīng)靈活運(yùn)用。如：同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，可令；同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，可令；同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，可令x=sint；同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，可令x=cost等等。 .