同濟高等數(shù)學公式大全

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. 高等數(shù)學公式 導數(shù)公式： 基本積分表： 三角函數(shù)的有理式積分： 一些初等函數(shù)： 兩個重要極限： 三角函數(shù)公式： 誘導公式： 函數(shù) 角A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90-α cosα sinα ctgα tgα 90+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180+α -sinα -cosα tgα ctgα 270-α -cosα -sinα ctgα tgα 270+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360+α sinα cosα tgα ctgα 和差角公式： 和差化積公式： 倍角公式： 半角公式： 正弦定理： 余弦定理： 反三角函數(shù)性質： 高階導數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式： 中值定理與導數(shù)應用： 曲率： 定積分的近似計算： 定積分應用相關公式： 空間解析幾何和向量代數(shù)： 多元函數(shù)微分法及應用 微分法在幾何上的應用： 方向導數(shù)與梯度： 多元函數(shù)的極值及其求法： 重積分及其應用： 柱面坐標和球面坐標： 曲線積分： 曲面積分： 高斯公式： 斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關系： 常數(shù)項級數(shù)： 級數(shù)審斂法： 絕對收斂與條件收斂： 冪級數(shù)： 函數(shù)展開成冪級數(shù)： 一些函數(shù)展開成冪級數(shù)： 歐拉公式： 三角級數(shù)： 傅立葉級數(shù)： 周期為的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)： 微分方程的相關概念： 一階線性微分方程： 全微分方程： 二階微分方程： 二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法： (*)式的通解 兩個不相等實根 兩個相等實根 一對共軛復根 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 求極限的各種方法 1．約去零因子求極限 例1：求極限 【說明】表明無限接近，但，所以這一零因子可以約去。 【解】=4 2．分子分母同除求極限 例2：求極限 【說明】型且分子分母都以多項式給出的極限,可通過分子分母同除來求。 【解】 【注】(1) 一般分子分母同除的最高次方； 　　(2) 3．分子(母)有理化求極限 例3：求極限 【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式。 【解】 例4：求極限 【解】 【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時分離極限式中的非零因子是解題的關鍵　 4．應用兩個重要極限求極限 兩個重要極限是和，第一個重要極限過于簡單且可通過等價無窮小來實現(xiàn)。主要考第二個重要極限。 例5：求極限 【說明】第二個重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出１，再湊，最后湊指數(shù)部分。 【解】 例6：(1)；(2)已知，求。 5．用等價無窮小量代換求極限 【說明】 (1)常見等價無窮小有： 當 時,, ； (2) 等價無窮小量代換,只能代換極限式中的因式； (3)此方法在各種求極限的方法中應作為首選。 例7：求極限 【解】 . 例8：求極限 【解】 6．用羅必塔法則求極限 例9：求極限 【說明】或型的極限,可通過羅必塔法則來求。 【解】 【注】許多變動上顯的積分表示的極限，常用羅必塔法則求解 例10：設函數(shù)f(x)連續(xù)，且，求極限 【解】 由于,于是 == == 7．用對數(shù)恒等式求極限 例11：極限 【解】 == 【注】對于型未定式的極限，也可用公式 = 因為 例12：求極限. 【解1】 原式 【解2】 原式 8．利用Taylor公式求極限 例13 求極限 . 【解】 , ; . 例14 求極限. 【解】 . 9．數(shù)列極限轉化成函數(shù)極限求解 例15：極限 【說明】這是形式的的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用羅必塔法則，若直接求有一定難度，若轉化成函數(shù)極限，可通過7提供的方法結合羅必塔法則求解。 【解】考慮輔助極限 所以， 10．n項和數(shù)列極限問題 n項和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法 (1)用定積分的定義把極限轉化為定積分來計算; (2)利用兩邊夾法則求極限. 例16：極限 【說明】用定積分的定義把極限轉化為定積分計算,是把看成［0,1］定積分。 【解】原式＝ 例17：極限 【說明】(1)該題遇上一題類似，但是不能湊成的形式，因而用兩邊夾法則求解； (2) 兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的。 【解】 因為　　 又　　　　 所以　?。剑? 12．單調有界數(shù)列的極限問題 例18：設數(shù)列滿足 （Ⅰ）證明存在，并求該極限； （Ⅱ）計算. 【分析】 一般利用單調增加有上界或單調減少有下界數(shù)列必有極限的準則來證明數(shù)列極限的存在. 【詳解】 （Ⅰ）因為，則. 可推得　，則數(shù)列有界. 于是　，（因當）， 則有，可見數(shù)列單調減少，故由單調減少有下界數(shù)列必有極限知極限存在. 設，在兩邊令，得　，解得，即. （Ⅱ）　因　，由（Ⅰ）知該極限為型， (使用了羅必塔法則) 故　. 求不定積分的方法及技巧小匯總~ 1. 利用基本公式。（這就不多說了~） 2. 第一類換元法。（湊微分） 設f(μ)具有原函數(shù)F(μ)。則 其中可微。 用湊微分法求解不定積分時，首先要認真觀察被積函數(shù)，尋找導數(shù)項內容，同時為下一步積分做準備。當實在看不清楚被積函數(shù)特點時，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導、嘗試，或許從中可以得到某種啟迪。如例1、例2： 例1： 【解】 例2： 【解】 3. 第二類換元法： 設是單調、可導的函數(shù)，并且具有原函數(shù)，則有換元公式 第二類換元法主要是針對多種形式的無理根式。常見的變換形式需要熟記會用。主要有以下幾種： 4. 分部積分法. 公式： 分部積分法采用迂回的技巧，規(guī)避難點，挑容易積分的部分先做，最終完成不定積分。具體選取時，通?；谝韵聝牲c考慮： （1） 降低多項式部分的系數(shù) （2） 簡化被積函數(shù)的類型 舉兩個例子吧~！ 例3： 【解】觀察被積函數(shù)，選取變換,則 例4： 【解】 上面的例3，降低了多項式系數(shù)；例4，簡化了被積函數(shù)的類型。 有時，分部積分會產生循環(huán)，最終也可求得不定積分。 在中，的選取有下面簡單的規(guī)律： 將以上規(guī)律化成一個圖就是： （a^x arcsinx） （lnx Pm(x) sinx) ν μ 但是，當時，是無法求解的。 對于（3）情況，有兩個通用公式： （分部積分法用處多多~在本冊雜志的《涉及l(fā)nx的不定積分》中，?？梢钥吹椒植糠e分） 5. 幾種特殊類型函數(shù)的積分。 （1） 有理函數(shù)的積分 有理函數(shù)先化為多項式和真分式之和，再把分解為若干個部分分式之和。（對各部分分式的處理可能會比較復雜。出現(xiàn)時，記得用遞推公式：） 例5： 【解】 故不定積分求得。 （2）三角函數(shù)有理式的積分 萬能公式： 的積分，但由于計算較煩，應盡量避免。 對于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成。再用待定系數(shù) 來做。（注：沒舉例題并不代表不重要~） （3） 簡單無理函數(shù)的積分 一般用第二類換元法中的那些變換形式。 像一些簡單的，應靈活運用。如：同時出現(xiàn)時，可令；同時出現(xiàn)時，可令；同時出現(xiàn)時，可令x=sint；同時出現(xiàn)時，可令x=cost等等。 .