概率論 課后習(xí)題解答 中國(guó)農(nóng)業(yè)出版社#嚴(yán)選材料

習(xí)題1解答1. 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：（1）記錄一個(gè)班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)（設(shè)以百分制記分）；（2）生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品為止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)；（3）對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的記為“正品”，不合格的記為“次品”，如連續(xù)查出了2件次品就停止檢查，或檢查了4件產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果；（4）在單位圓內(nèi)任意取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo).解：（1）以表示該班的學(xué)生人數(shù)，總成績(jī)的可能取值為0，1，2，100，所以該試驗(yàn)的樣本空間為.（2）設(shè)在生產(chǎn)第10件正品前共生產(chǎn)了件不合格品，樣本空間為，或?qū)懗桑?）采用0表示檢查到一個(gè)次品，以1表示檢查到一個(gè)正品，例如0110表示第一次與第四次檢查到次品，而第二次與第三次檢查到的是正品，樣本空間可表示為.（3）取直角坐標(biāo)系，則有，若取極坐標(biāo)系，則有.2設(shè)、為三事件，用、及其運(yùn)算關(guān)系表示下列事件.(1) 發(fā)生而與不發(fā)生； (2) 、中恰好發(fā)生一個(gè)； (3) 、中至少有一個(gè)發(fā)生； (4) 、中恰好有兩個(gè)發(fā)生； (5) 、中至少有兩個(gè)發(fā)生； (6) 、中有不多于一個(gè)事件發(fā)生.解：(1)或或；(2)； (3)或；(4).(5)或； (6).3設(shè)樣本空間，事件，具體寫出下列事件：(1)；（2）；（3）；（4）.解：（1）；（2）；（3）；（4）.4. 一個(gè)樣本空間有三個(gè)樣本點(diǎn)， 其對(duì)應(yīng)的概率分別為， 求的值.解：由于樣本空間所有的樣本點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)必然事件，所以解之得，又因?yàn)橐粋€(gè)事件的概率總是大于0，所以.5. 已知=0.3，=0.5，=0.8，求(1)；(2)；(3). 解：(1)由得.(2) .(3) 6. 設(shè)=，且，求. 解：由=得，從而7. 設(shè)3個(gè)事件、，且，求. 解：8. 將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，求杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別為1，2，3的概率. 解：依題意可知，基本事件總數(shù)為個(gè).以表示事件“杯子中球的最大個(gè)數(shù)為”，則表示每個(gè)杯子最多放一個(gè)球，共有種方法，故表示3個(gè)球中任取2個(gè)放入4個(gè)杯子中的任一個(gè)中，其余一個(gè)放入其余3個(gè)杯子中，放法總數(shù)為種，故表示3個(gè)球放入同一個(gè)杯子中，共有種放法，故9. 在整數(shù)0至9中任取4個(gè)，能排成一個(gè)四位偶數(shù)的概率是多少? 解：從0至9 中任取4個(gè)數(shù)進(jìn)行排列共有10×9×8×7種排法.其中有(4×9×8×74×8×79×8×7)種能成4位偶數(shù). 故所求概率為.10. 一部五卷的文集，按任意次序放到書架上去，試求下列事件的概率：(1)第一卷出現(xiàn)在旁邊；(2)第一卷及第五卷出現(xiàn)在旁邊；(3)第一卷或第五卷出現(xiàn)在旁邊；(4)第一卷及第五卷都不出現(xiàn)在旁邊；(5)第三卷正好在正中.解：(1)第一卷出現(xiàn)在旁邊，可能出現(xiàn)在左邊或右邊，剩下四卷可在剩下四個(gè)位置上任意排，所以.(2)可能有第一卷出現(xiàn)在左邊而第五卷出現(xiàn)右邊，或者第一卷出現(xiàn)在右邊而第五卷出現(xiàn)在左邊，剩下三卷可在中間三人上位置上任意排，所以 .(3)第一卷出現(xiàn)在旁邊+P第五卷出現(xiàn)旁邊-P第一卷及第五卷出現(xiàn)在旁邊.(4)這里事件是(3)中事件的對(duì)立事件，所以 .(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四個(gè)位置上可任意排，所以.11. 把2，3，4，5諸數(shù)各寫在一張小紙片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得數(shù)是偶數(shù)的概率. 解：末位數(shù)可能是2或4.當(dāng)末位數(shù)是2(或4)時(shí)，前兩位數(shù)字從剩下三個(gè)數(shù)字中選排，所以 .12. 一幢10層樓的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客.電梯在每一層都停，乘客從第二層起離開(kāi)電梯，假設(shè)每位乘客在哪一層離開(kāi)電梯是等可能的，求沒(méi)有兩位及兩位以上乘客在同一層離開(kāi)的概率. 解：每位乘客可在除底層外的9層中任意一層離開(kāi)電梯，現(xiàn)有7位乘客，所以樣本點(diǎn)總數(shù)為.事件“沒(méi)有兩位及兩位以上乘客在同一層離開(kāi)”相當(dāng)于“從9層中任取7層，各有一位乘客離開(kāi)電梯”.所以包含個(gè)樣本點(diǎn)，于是.13. 某人午覺(jué)醒來(lái),發(fā)覺(jué)表停了, 他打開(kāi)收音機(jī),想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí), 設(shè)電臺(tái)每正點(diǎn)是報(bào)時(shí)一次, 求他(她)等待時(shí)間短于10分鐘的概率.解:以分鐘為單位, 記上一次報(bào)時(shí)時(shí)刻為下一次報(bào)時(shí)時(shí)刻為60, 于是這個(gè)人打開(kāi)收音機(jī)的時(shí)間必在 記 “等待時(shí)間短于10分鐘”為事件 則有于是14. 甲乙兩人相約點(diǎn)在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面。先到的人等候另一人分鐘后離去，求甲乙兩人能會(huì)面的概率解:以分別表示甲、乙二人到達(dá)的時(shí)刻，那末 ，；若以表示平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)，則樣本空間可以用這平面上的邊長(zhǎng)為4的一個(gè)正方形表示，二人能會(huì)面的充要條件是，即事件所以所求的概率為：15. 現(xiàn)有兩種報(bào)警系統(tǒng)和，每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)，系統(tǒng)有效的概率，系統(tǒng)的有效概率為，在失靈的條件下，有效的概率為，求(1) 這兩個(gè)系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率;(2) 在失靈條件下，有效的概率. 解：設(shè)表示“系統(tǒng)有效”，表示“系統(tǒng)有效”，則由知.(1)(2)16. 已知事件發(fā)生的概率，發(fā)生的概率，以及條件概率=0.8，求和事件的概率. 解：由乘法公式得所以17. 一批零件共100個(gè)，其中次品有10個(gè)每次從中任取1個(gè)零件，取3次，取出后不放回求第3次才取得合格品的概率 解：設(shè)表示事件“第次取得合格品”，則18. 有兩個(gè)袋子，每個(gè)袋子都裝有只黑球，只白球，從第一個(gè)袋中任取一球放入第二個(gè)袋中，然后從第二個(gè)袋中取出一球，求取得黑球的概率是多少？ 解：設(shè)從第一個(gè)袋子摸出黑球A，從第二個(gè)袋中摸出黑球?yàn)锽，則，由全概公式知:.19. 一個(gè)機(jī)床有的時(shí)間加工零件，其余時(shí)間加工零件加工零件時(shí)，停機(jī)的概率是0.3，加工零件時(shí)，停機(jī)的概率時(shí)0.4，求這個(gè)機(jī)床停機(jī)的概率 解：設(shè)表示“機(jī)床停機(jī)”，表示“加工零件”，表示“加工零件”，則20. 10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽，3個(gè)人參加抽簽考試，不重復(fù)地抽取，每人一次，甲先，乙次，丙最后.證明3人抽到難簽的概率相同.證明：設(shè)甲、乙、丙分別抽到難簽的事件為，則，顯然. 21. 兩部機(jī)器制造大量的同一種機(jī)器零件，根據(jù)長(zhǎng)期資料總結(jié)，甲、乙機(jī)器制造出的零件廢品率分別是0.01和0.02現(xiàn)有同一機(jī)器制造的一批零件，估計(jì)這一批零件是乙機(jī)器制造的可能性比它們是甲機(jī)器制造的可能性大一倍，現(xiàn)從這批零件中任意抽取一件，經(jīng)檢查是廢品試由此結(jié)果計(jì)算這批零件是由甲生產(chǎn)的概率解：設(shè)表示“零件由甲生產(chǎn)”，表示“零件是次品”，則由貝葉斯公式有22. 有朋友自遠(yuǎn)方來(lái)訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)來(lái)的概率分別是0.3、0.2、0.1、0.4如果他乘火車、輪船、汽車來(lái)的話，遲到的概率分別是、，而乘飛機(jī)則不會(huì)遲到結(jié)果他遲到了，試問(wèn)他是乘火車來(lái)的概率是多少？ 解： 用表示“朋友乘火車來(lái)”，表示“朋友乘輪船來(lái)”，表示“朋友乘汽車來(lái)”，表示“朋友乘飛機(jī)來(lái)”，表示“朋友遲到了”.則23. 加工一個(gè)產(chǎn)品要經(jīng)過(guò)三道工序，第一、二、三道工序不出現(xiàn)廢品的概率分別是0.9、0.95、0.8若假定各工序是否出廢品相互獨(dú)立，求經(jīng)過(guò)三道工序而不出現(xiàn)廢品的概率 解：設(shè)分別表示第一、二、三道工序不出現(xiàn)廢品，則由獨(dú)立性得24. 三個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出的概率分別是0.2、1/3、0.25求密碼被破譯的概率解：設(shè)分別表示第一、二、三個(gè)人破譯出密碼，則由獨(dú)立性得25. 對(duì)同一目標(biāo)，3名射手獨(dú)立射擊的命中率是0.4、0.5和0.7，求三人同時(shí)向目標(biāo)各射一發(fā)子彈而沒(méi)有一發(fā)中靶的概率? 解：設(shè)分別表示第一、二、三個(gè)射手擊中目標(biāo)，則由獨(dú)立性得.26. 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊， 三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7. 飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2，被兩人擊中而擊落的概率為0.6， 若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落，求飛機(jī)被擊落的概率. 解：設(shè)依次表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)，分別表示有人擊中飛機(jī)，表示飛機(jī)被擊落，則由全概率公式，得27. 證明：若三個(gè)事件、獨(dú)立，則、及都與獨(dú)立證明: (1)=. (2).(3)=.28. 15個(gè)乒乓球中有9個(gè)新球，6個(gè)舊球，第一次比賽取出了3個(gè)，用完了放回去，第二次比賽又取出3個(gè)，求第二次取出的3個(gè)球全是新球的概率解：設(shè)=第一次取出個(gè)新球，表示第二次取出3個(gè)新球，則. 29. 要驗(yàn)收一批100件的物品，從中隨機(jī)地取出3件來(lái)測(cè)試，設(shè)3件物品的測(cè)試是相互獨(dú)立的，如果3件中有一件不合格，就拒絕接收該批物品.設(shè)一件不合格的物品經(jīng)測(cè)試查出的概率為0.95，而一件合格品經(jīng)測(cè)試誤認(rèn)為不合格的概率為0.01，如果這100件物品中有4件是不合格的，問(wèn)這批物品被接收的概率是多少？解： 設(shè)=抽到的3件物品中有i件不合格品，.=物品被接收，則30. 設(shè)下圖的兩個(gè)系統(tǒng)和中各元件通達(dá)與否相互獨(dú)立，且每個(gè)元件通達(dá)的概率均為，分別求系統(tǒng)和通達(dá)的概率. 解： 設(shè)分別表示系統(tǒng)與通達(dá),(1)解法一解法二：(2) 習(xí)題二參考答案1. 隨機(jī)變量的所有可能取值為：1，2，3，4，5，6，分布律為：1234562. (1) ；(2) .3. 隨機(jī)變量的分布律為：012因?yàn)?，那么?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，.綜合上述情況得隨機(jī)變量的分布函數(shù)為：4. .5. （1）0.0729；（2）0.00856；（3）0.99954；（4）0.40951.設(shè)表示設(shè)備被使用的個(gè)數(shù)則（1）（2）（3）（4）6. （1）0.321；（2）0.243.設(shè)X為甲投籃中的次數(shù)，Y為乙投籃中的次數(shù)，則（1）（2）7. (1) ；(2) 猜對(duì)3次的概率約為，這個(gè)概率很小，根據(jù)實(shí)際推斷原理，可以認(rèn)為他確有區(qū)分能力.（1）所求概率為：（2）令試驗(yàn)10次中成功次數(shù)為X，則猜對(duì)3次的概率約為，這個(gè)概率很小，根據(jù)實(shí)際推斷原理，可以認(rèn)為他確有區(qū)分能力.8. (1) ；(2) .設(shè)X服從泊松分布，其分布率為：（1）（2）9. 解：此題為P=0.005的n重伯努利試驗(yàn)，設(shè)X為同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則（1）設(shè)需要配備個(gè)維修工人，設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)排除的事件是，即 ， 而由于n=200，P=0.005，所以可以用泊松分布近似替代二項(xiàng)分析，=np=1。 查泊松分布表得，求得，即配備4人即可。（2）因維修工人只有一個(gè)，設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)排除的事件是，則有（3）由于是2人共同維修100臺(tái)設(shè)備，這里n=100，P=0.005， =np=0.5，則有設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)排除的事件是，所以10. 0.2.11. (1) ，1，；(2) .12. (1) ；（2）；(3) .13. (1) ；當(dāng)時(shí)，所以，；當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，所以綜合上述得：(2) 當(dāng)時(shí)，所以，；當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，所以，綜合上述得：14. ；.當(dāng)時(shí)，所以，；15. 0.9547.當(dāng)時(shí)，所以，；當(dāng)時(shí)，所以， 器件的壽命大于1500小時(shí)的概率：設(shè)為器件的壽命大于1500小時(shí)的個(gè)數(shù)，至少有2只壽命大于1500小時(shí)的概率16. 當(dāng)時(shí)，所以，；當(dāng)時(shí)，所以， 分布函數(shù)：某顧客離開(kāi)的概率：以表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開(kāi)窗口的次數(shù)，則，即，；17. (1) 0.5328，0.9996，0.6977，0.5；(2) =3；(3) .(1)(2) （3）因?yàn)?，則即 ，可知，那么 所以查表得，。18. 應(yīng)允許最大為31.25.根據(jù)題意，所以有，即，從而故允許最大為31.25.19. 129.8.根據(jù)題意，所以有，即，從而20. 0.682.題意，考生外語(yǔ)成績(jī)其中，且于是：又查表知：由的單調(diào)增加性，得因此，故查表得，故21. 184厘米.設(shè)車門的最低高度根據(jù)題意，所以有，即，從而故車門的最低高度為184.22. (1) 040.30.20.40.1處理后立即得到的分布率040.20.70.1(2) -10-100.30.20.40.1處理后立即得到的分布率-110.70.323. (1) -1120.30.50.2(2) 1120.30.50.2處理后立即得到的分布率120.80.224. (1) 的密度函數(shù)為 ，的分布函數(shù)為 所以的密度函數(shù)為 故 (2) 的密度函數(shù)為 ，的分布函數(shù)為 所以的密度函數(shù)為 ；(3) 的密度函數(shù)為 ，的分布函數(shù)為 所以的密度函數(shù)為 .25. 的密度函數(shù)為 (1)設(shè)，則有 。 所以 ，因此當(dāng)及時(shí)，由知；當(dāng)時(shí)，由知，所以所求密度函數(shù)為；(2) 設(shè)，由于在區(qū)間上是嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)，則有 ，當(dāng)時(shí)； 所以所求密度函數(shù)為：(3) .習(xí)題三參考答案1. .2. (1) 有放回摸取時(shí)的分布律為， ， 0101(2) 無(wú)放回摸取時(shí)的分布律為， ， 01013. (1) 有放回摸取時(shí)，的邊緣分布律為 0101(2) 無(wú)放回摸取時(shí)，的邊緣分布律為 0101此結(jié)果說(shuō)明不同的聯(lián)合分布律可以確定相同的邊緣分布律，因此邊緣分布不能唯一確定聯(lián)合分布.4. (1) 的聯(lián)合分布律為 01-100(2) 離散型隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為 5. 因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以以此類推，得到下表 -13-2-106. 的分布律12341234(1) 的邊緣分布律由條件分布率， ， 在的條件下，的條件分布律；.1234P0100(2) 的邊緣分布律由條件分布率， 在的條件下，的條件分布律；.1234P007. (1)； (2)；(3).8. (1)(2).9. 由題意知命中點(diǎn)與靶心(坐標(biāo)原點(diǎn))的距離為，先求的分布函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，令，則變換的雅可比行列式為故 .10. (1) y=2x+1 -1/2 由軸，軸以及直線所圍成的三角形區(qū)域的面積，因此的概率密度函數(shù)為：；(2)分布函數(shù)為：(a)當(dāng)時(shí)，(b)當(dāng)時(shí)， (c)當(dāng)時(shí)， 綜上所述.11. 所以；1.12. 所以；.13. 所以；.14. 由軸，軸以及直線所圍成的三角形區(qū)域的面積，因此的概率密度函數(shù)為：；所以.15. 密度函數(shù)所以；，.16. (1)因?yàn)?所以和相互獨(dú)立；(2) 因?yàn)樗院筒幌嗷オ?dú)立.17. 12312若、獨(dú)立，則同理可得；.18. 習(xí)題12中；.因?yàn)樗院拖嗷オ?dú)立。習(xí)題13中；.因?yàn)樗院筒幌嗷オ?dú)立。習(xí)題12中的和相互獨(dú)立；習(xí)題13中的和不相互獨(dú)立.19. 由題設(shè)知，又和相互獨(dú)立，故和的聯(lián)合概率密度為事件的二次方程有實(shí)根=判別式=故得.20. 的概率密度函數(shù)為和相互獨(dú)立.21. ，因此和相互獨(dú)立.22. (1) 若z0,則不可能事件的概率等于0. (2) 若0<z<1,(3) 若z1,于是得隨機(jī)變量X+Y的密度函數(shù)為23. 的概率密度函數(shù)，先求的分布函數(shù)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，令，則變換的雅可比行列式為故 24. 令，滿足，25.滿足，26. 由和的概率密度函數(shù)可得，的分布函數(shù)分別為于是習(xí)題4解答 1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為012求:, 及.解: 由期望的定義,可得,.從而 ,.2.把4個(gè)球隨機(jī)地投入4個(gè)盒子中,設(shè)X表示空盒子的個(gè)數(shù),求:和.解:先求X的概率分布.X的可能取值為0,1,2,3.于是,.于是,.3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求:和.解: . 4.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求:和.解 ,.于是.5.設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù),每次射中目標(biāo)的概率為0.4,求.解: 由于X服從二項(xiàng)分布,所以和.于是有.6.已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布,求.解: 因?yàn)閄服從參數(shù)為2的泊松分布,所以,從而.7.設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作,一周5個(gè)工作日,若無(wú)故障,可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元;發(fā)生一次故障仍可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元;若發(fā)生兩次故障,或利潤(rùn)0元;若發(fā)生3次或3次以上故障就要虧損2萬(wàn)元.求一周內(nèi)的利潤(rùn)期望.解: 設(shè)這部機(jī)器內(nèi)有X天發(fā)生故障,一周的利潤(rùn)為Y萬(wàn)元,由題意可知,且則 8.設(shè)某工廠生產(chǎn)的圓盤,其直徑在區(qū)間上服從均勻分布,求該圓盤面積的數(shù)學(xué)期望.解: 設(shè)X表示圓盤的直徑,由題意可知X的概率密度為于是該圓盤面積的數(shù)學(xué)期望為.9.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求: (1) ;(2) 的數(shù)學(xué)期望.解: (1) 由于X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,故.從而 .（2）.10.設(shè)隨機(jī)變量和是相互獨(dú)立的,且服從同一分布,已知的分布律為.又設(shè),.(1) 求二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律;(2) 求和.解: (1) (X,Y)的分布律為 (2) 由(X,Y)的分布律可得關(guān)于X的邊緣分布律為 故. 11.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求:,和.解: .12.設(shè)隨機(jī)變量X,Y分別服從參數(shù)為2和4的指數(shù)分布,(1)求:,.(2)設(shè)X,Y相互獨(dú)立,求,.解: (1) 由于X,Y分別服從參數(shù)為2和4的指數(shù)分布,故,.因此,又.從而. (2) ,.13.設(shè),且X和Y相互獨(dú)立,求隨機(jī)變量的概率密度.解: 因?yàn)?且X和Y相互獨(dú)立,于是,.即有.從而隨機(jī)變量的概率密度為.14.設(shè)有10個(gè)獵人正等著野鴨飛過(guò)來(lái),當(dāng)一群野鴨飛過(guò)頭頂時(shí),他們同時(shí)開(kāi)了槍,但他們每個(gè)人都是隨機(jī)地,彼此獨(dú)立地選擇自己的目標(biāo).如果每個(gè)獵人獨(dú)立地射中其目標(biāo)的概率均為,試求當(dāng)10只野鴨飛來(lái)時(shí),沒(méi)有被擊中而飛走的野鴨數(shù)的期望值.解: 設(shè)飛走的野鴨的期望值可表示為.又由于.因此.15.一個(gè)骰子擲10次,求得到的總點(diǎn)數(shù)的期望.解: 令表示第次擲骰子的點(diǎn)數(shù),于是總點(diǎn)數(shù)的期望可表示為.又.因此.16.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為 求:, .解: 關(guān)于X和Y的邊緣分布律為所以,.又因此.17.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求:, .解: .故.18.設(shè)隨機(jī)變量服從拉普拉斯分布,其概率密度為.(1)求和.(2)求與的協(xié)方差，并問(wèn)與是否不相關(guān)?(3)問(wèn)與是否相互獨(dú)立？ 解 (1),而,所以.(2) ,故X與不相關(guān).(3),又,故.可見(jiàn)X與不相互獨(dú)立.19.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,且和,求二項(xiàng)分布的參數(shù)的值.解: 由,可得.由,可得.從而由上解得.20.某流水生產(chǎn)線上每個(gè)產(chǎn)品不合格的概率為,各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立,當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)不合格品時(shí)即停機(jī)檢修.設(shè)開(kāi)機(jī)后第一次停機(jī)時(shí)已產(chǎn)生了的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為X,求和.解: 記.而X可能取的值為全體自然數(shù).由題意得.于是.因?yàn)?,所以.又因?yàn)?.于是.故.21.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間上服從均勻分布,隨機(jī)變量求:和.解: 由題意,X的概率密度為則.故.故.22.設(shè)隨機(jī)變量X概率密度為對(duì)X獨(dú)立地觀察4次,用Y表示觀察值大于的次數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.解: 因?yàn)?故,得.所以.23.設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,隨機(jī)變量求: (1)的分布律;(2) .解: 由已知,Y的概率密度為所有可能取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).(1).(2) .24.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量,求.解: 記,由,知.即.所以.25.已知隨機(jī)變量，且和的相關(guān)系數(shù)為設(shè)(1)求和；(2)求和的相關(guān)系數(shù)解 (1)由題意知, .而所以(2) ，因此和的相關(guān)系數(shù)為26.設(shè)為隨機(jī)事件，且，令，求：(1)二維隨機(jī)變量的分布律；(2)和的相關(guān)系數(shù)解 又 (1)故(X,Y)的分布律為 (2) 由(1)易得關(guān)于X,Y的邊緣分布律分別為故而由(X,Y)的分布律,可知故得27將一枚硬幣重復(fù)擲次，以和分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，求和的相關(guān)系數(shù)解 因?yàn)?所以.故,所以X和Y的相關(guān)系數(shù)為.習(xí)題5解答1設(shè)為隨機(jī)變量，試估計(jì)解:由切比雪夫不等式,有.2某路燈管理所有20000只路燈，夜晚每盞路燈開(kāi)的概率為0.6，設(shè)路燈開(kāi)關(guān)是相互獨(dú)立的，試用切貝雪夫不等式估計(jì)夜晚同時(shí)開(kāi)著的路燈數(shù)在11000-13 000盞之間的概率解: 記X為晚上開(kāi)著的路燈數(shù)，則，因此 ,.由切比雪夫不等式有.3在重伯努利試驗(yàn)中，若已知每次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的概率為0.75，請(qǐng)利用切貝雪夫不等式估計(jì)，使出現(xiàn)的頻率在0.74至0.76之間的概率不小于0.90.解:假設(shè), .,則, ,其中,所以.解得.4某批產(chǎn)品合格率為06，任取10000件，其中合格品在5980件到6020件之間的概率是多少？解: 假設(shè)X表示任取10000件產(chǎn)品中,合格品的數(shù)量,則.即,根據(jù)中心極限定理,近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則.5某保險(xiǎn)公司有3000個(gè)同一年齡段的人參加人壽保險(xiǎn)，在一年中這些人的死亡率為0.1%參加保險(xiǎn)的人在一年的開(kāi)始交付保險(xiǎn)費(fèi)100元，死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取10000元求：(1)保險(xiǎn)公司一年獲利不少于240000元的概率；(2)保險(xiǎn)公司虧本的概率解:假設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù),則.且,并根據(jù)中心極限定理, 近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則(1)保險(xiǎn)公司一年內(nèi)獲利不少于240000元的概率為:.(2)保險(xiǎn)公司虧本的概率為:.6計(jì)算器在進(jìn)行加法時(shí)，將每個(gè)加數(shù)舍入最靠近它的整數(shù)，設(shè)所有舍入誤差相互獨(dú)立且在上服從均勻分布，(1)將1500個(gè)數(shù)相加，問(wèn)誤差總和的絕對(duì)值超過(guò)15的概率是多少？(2)最多可有幾個(gè)數(shù)相加使得誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率不小于0.9？解: 假設(shè)表示每次計(jì)算時(shí),所得到的誤差,則,表示1500個(gè)數(shù)相加,所得到誤差總和,根據(jù)中心極限定理, 近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,(1) (2)假設(shè)最多可有n個(gè)數(shù)相加使得誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率不小于0.90:解得.7對(duì)敵人的防御地帶進(jìn)行100次轟炸，每次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)目是一個(gè)均值為2，方差為1.69的隨機(jī)變量求在100次轟炸中有180到220顆炸彈命中目標(biāo)的概率解:假設(shè),則表示100次轟炸中,擊中目標(biāo)的總次數(shù),則,根據(jù)中心極限定理, 近似服從正態(tài)分布,則有.8有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長(zhǎng)度不小于3米，現(xiàn)從這批木柱中隨機(jī)地取100根，求其中至少有30根短于3米的概率解: 設(shè),，則表示100根木柱中,短于3米的數(shù)目,且,.9分別用切比雪夫不等式與德莫弗-拉普拉斯定理確定：當(dāng)擲一枚硬幣時(shí)，需要擲多少次才能保證出現(xiàn)正面的頻率在0.4和0.6之間的概率不少于0.9？解: 設(shè),，則表示擲n次硬幣,正面向上的次數(shù),這里是出現(xiàn)正面的頻率下面分別用切比雪夫不等式和德莫弗-拉普拉斯定理估計(jì)n,(1)由切比雪夫不等式:.(2)由德莫弗-拉普拉斯定理.,即n至少要取68.10已知在某十字路口，一周內(nèi)事故發(fā)生數(shù)的數(shù)學(xué)期望為2.2，標(biāo)準(zhǔn)差為1.4，(1)以表示一年內(nèi)(52周計(jì))此十字路口事故發(fā)生數(shù)的算術(shù)平均，使用中心極限定理求的近似分布，并求；(2)求一年內(nèi)事故發(fā)生數(shù)小于100的概率解:(1)經(jīng)計(jì)算,根據(jù)中心極限定理, 近似服從期望為2.2,方差為的正態(tài)分布,即.且(2)一年內(nèi)事故發(fā)生數(shù)少于100的概率為: 11為檢驗(yàn)一種新藥對(duì)某種疾病的治愈率為80%是否可靠，給10個(gè)患該疾病的病人同時(shí)服藥，結(jié)果治愈人數(shù)不超過(guò)5人，試判斷該藥的治愈率為80%是否可靠解:假設(shè),.則,表示10個(gè)服用該藥的患者的治愈人數(shù),則根據(jù)德莫弗-拉普拉斯定理X近似服從,所以.由此可以看出假定治愈率為80%是不可靠的.12一公寓有200個(gè)住戶，一戶住戶擁有汽車輛數(shù)的分布律為0120.10.60.3問(wèn)需要多少車位，才能使每輛汽車都有一個(gè)車位的概率至少為0.95？解：假設(shè)表示第i戶人家擁有的汽車數(shù)，則, ,根據(jù)中心極限定理, 近似服從,所以假設(shè)需要n個(gè)車位,才能使每輛汽車都具有一個(gè)車位的概率至少為0.95,即.13甲、乙兩個(gè)戲院在競(jìng)爭(zhēng)1000名觀眾，假設(shè)每個(gè)觀眾可隨意選擇戲院，觀眾之間相互獨(dú)立，問(wèn)每個(gè)戲院應(yīng)該設(shè)有多少座位才能保證因缺少座位而使觀眾離去的概率小于1%解:假設(shè),.則表示1000名觀眾中選擇甲戲院的人數(shù),根據(jù)題意已知,于是.根據(jù)德莫弗-拉普拉斯定理,X近似服從.由假設(shè)每個(gè)戲院設(shè)有n個(gè)座位才能保證因缺少座位而使觀眾離去的概率小于1%,即.57借鑒材料#