中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)《幾何證明》壓軸題
學(xué)習(xí)必備歡迎下載幾何證明壓軸題(中考)1、如圖,在梯形 ABCD 中,ABCD,BCD=90°,且 AB=1,BC=2,tanADC=2.(1) 求證:DC=BC;(2) E 是梯形內(nèi)一點(diǎn),F(xiàn) 是梯形外一點(diǎn),且EDC=FBC,DE=BF,試判斷CF 的形狀,并證明你的結(jié)論;(3) 在(2)的條件下,當(dāng) BE:CE=1:2,BEC=135°時(shí),求 sinBFE 的值.解析(1)過(guò) A 作 DC 的垂線 AM 交 DC 于 M,A B則 AM=BC=2.又 tanADC=2,所以 DM =22= 1.即 DC=BC.E(2)等腰三角形.證明:因?yàn)?#160;DE = DF , ÐEDC = ÐFBC , DC = BC .F所以,DECBFCDC所以, CE = CF , ÐECD = ÐBCF .所以, ÐECF = ÐBCF + ÐBCE = ÐECD + ÐBCE = ÐBCD = 90°即ECF 是等腰直角三角形.(3)設(shè) BE = k ,則 CE = CF = 2k ,所以 EF = 2 2k .因?yàn)?#160;ÐBEC = 135° ,又 ÐCEF = 45° ,所以 ÐBEF = 90° .所以 BF =k 2 + (2 2k )2 = 3k所以 sin ÐBFE =k 1= .3k 32、已知:如圖,在 ABCD 中,E、F 分別為邊 AB、CD 的中點(diǎn),BD 是對(duì)角線,AGDB交 CB 的延長(zhǎng)線于 G()求證:ADECBF;(2)若四邊形 BEDF 是菱形,則四邊形 AGBD 是什么特殊四邊形?并證明你的結(jié)論解析(1)四邊形 ABCD 是平行四邊形,AE 11C,ADCB,ABCD 點(diǎn) E 、F 分別是 AB、CD 的中點(diǎn),1AB ,CFCD 22AECFADECBF (2)當(dāng)四邊形 BEDF 是菱形時(shí),四邊形 AGBD 是矩形四邊形 ABCD 是平行四邊形,ADBC 學(xué)習(xí)必備歡迎下載AGBD ,四邊形 AGBD 是平行四邊形四邊形 BEDF 是菱形,DEBE AEBE ,AEBEDE 12,341234180°,2223180°2390°即ADB90°四邊形 AGBD 是矩形3、如圖 131,一等腰直角三角尺 GEF 的兩條直角邊與正方形 ABCD 的兩條邊分別重合在一起現(xiàn)正方形 ABCD 保持不動(dòng),將三角尺 GEF 繞斜邊 EF 的中點(diǎn) O(點(diǎn) O 也是 BD 中點(diǎn))按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(1)如圖 132,當(dāng) EF 與 AB 相交于點(diǎn) M,GF 與 BD 相交于點(diǎn) N 時(shí),通過(guò)觀察或測(cè)量 BM,F(xiàn)N 的長(zhǎng)度,猜想 BM,F(xiàn)N 滿足的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;(2)若三角尺 GEF 旋轉(zhuǎn)到如圖 133 所示的位置時(shí),線段 FE 的延長(zhǎng)線與 AB 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) M,線段 BD 的延長(zhǎng)線與 GF 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) N,此時(shí),(1)中的猜想還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由D( F )CFD CND COGNOFOA( G )B( E )A M B AE GEB M圖 131圖 132圖 133解析(1)BM=FN證明:GEF 是等腰直角三角形,四邊形 ABCD 是正方形, ABD =F =45°,OB = OF又BOM=FON, OBMOFN BM=FN(2) BM=FN 仍然成立(3) 證明:GEF 是等腰直角三角形,四邊形 ABCD 是正方形,DBA=GFE=45°,OB=OFMBO=NFO=135°又MOB=NOF, OBMOFN BM=FN學(xué)習(xí)必備歡迎下載4、如圖,已知O 的直徑 AB 垂直于弦 CD 于 E,連結(jié) AD、BD、OC、OD,且 OD5。(1)若 sin BAD = 35,求 CD 的長(zhǎng);(2)若 ADO:EDO4:1,求扇形 OAC(陰影部分)的面積(結(jié)果保留p )。解析(1)因?yàn)?#160;AB 是O 的直徑,OD55 ,所以 BD = 35 ,所以 BD = 6所以 CB = BD , AC = AD所以ADB90°,AB10在 ABD 中, sin BAD = BDAB又 sin BAD = 3AD =AB 2 - BD 2 = 102 - 62 = 8因?yàn)锳DB90°,ABCD所以 DE·AB = AD·BD,CE = DE所以 DE ´ 10 = 8 ´ 6所以 DE = 245所以 CD = 2 DE = 485(2)因?yàn)?#160;AB 是O 的直徑,ABCD所以BADCDB,AOCAOD因?yàn)?#160;AODO,所以BADADO所以CDBADO設(shè)ADO4x,則CDB4x由ADO:EDO4:1,則EDOx因?yàn)锳DOEDOEDB90°所以 4 x + 4 x + x = 90°所以 x10°所以AOD180°(OADADO)100°所以AOCAOD100°S360扇形OAC = 100 ´ p ´ 52 =12518 p EH= = ,HEEC,BFFD學(xué)習(xí)必備歡迎下載5、如圖,已知:C 是以 AB 為直徑的半圓 O 上一點(diǎn),CHAB 于點(diǎn) H,直線 AC 與過(guò)B 點(diǎn)的切線相交于點(diǎn) D,E 為 CH 中點(diǎn),連接 AE 并延長(zhǎng)交 BD 于點(diǎn) F,直線 CF 交直線 AB于點(diǎn) G.(1)求證:點(diǎn) F 是 BD 中點(diǎn);(2)求證:CG 是O 的切線;(3)若 FB=FE=2,求O 的半徑解析 (1)證明:CHAB,DB,AEHAFB,ACEADFAECEBFAFFD(2)方法一:連接 CB、OC,AB 是直徑,ACB90°F 是 BD 中點(diǎn),BCF=CBF=90°-CBA=CAB=ACOOCF=90°,CG 是O 的切線-6方法二:可證明OCFOBF(參照方法一標(biāo)準(zhǔn)得分)(3)解:由 FC=FB=FE 得:FCE=FEC可證得:FAFG,且 ABBG由切割線定理得:(2FG)2BG×AG=2BG2 在 BGF 中,由勾股定理得:BG2FG2BF2 由 、 得:FG2-4FG-12=0解之得:FG16,F(xiàn)G22(舍去)ABBG 4 2O 半徑為 2 26、如圖,已知 O 為原點(diǎn),點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(4,3),A 的半徑為 2過(guò) A 作直線 l 平行于 x 軸,點(diǎn) P 在直線 l 上運(yùn)動(dòng)()當(dāng)點(diǎn) P 在O 上時(shí),請(qǐng)你直接寫(xiě)出它的坐標(biāo);()設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 12,試判斷直線 OP 與A 的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.解析解: 點(diǎn) P 的坐標(biāo)是(2,3)或(6,3)作 ACOP,C 為垂足.ACP=OBP= 90 ,1=1OBPAC AP=OB OP在 RtDOBP 中, OP = OB2 + BP2 = 153 ,又 AP=12-4=8,AC= 24 ¸ 153 1.941.94<2OP 與A 相交.AC 8=3 153學(xué)習(xí)必備歡迎下載7、如圖,延長(zhǎng)O 的半徑 OA 到 B,使 OA=AB,DE 是圓的一條切線,E 是切點(diǎn),過(guò)點(diǎn) B 作 DE 的垂線,垂足為點(diǎn) C.求證:ACB=OAC.解析13DEC證明:連結(jié) OE、AE,并過(guò)點(diǎn) A 作 AFDE 于點(diǎn) F,(3OA分)BDE 是圓的一條切線,E 是切點(diǎn),OEDC,又BCDE,OEAFBC.1=ACB,2=3.OA=OE,4=3.4=2.又點(diǎn) A 是 OB 的中點(diǎn),點(diǎn) F 是 EC 的中點(diǎn).AE=AC.1=2.4=2=1.即ACB= 13OAC.8、如圖,一架長(zhǎng) 4 米的梯子 AB 斜靠在與地面 OM 垂直的墻壁 ON 上,梯子與地面的傾斜角為 60 o 求 AO 與 BO 的長(zhǎng);若梯子頂端 A 沿 NO 下滑,同時(shí)底端 B 沿 OM 向右滑行.如圖 2,設(shè) A 點(diǎn)下滑到 C 點(diǎn),B 點(diǎn)向右滑行到 D 點(diǎn),并且 AC:BD=2:3,試計(jì)算梯子頂端 A 沿 NO 下滑多少米;如圖,當(dāng) A 點(diǎn)下滑到 A點(diǎn),B 點(diǎn)向右滑行到 B點(diǎn)時(shí),梯子 AB 的中點(diǎn) P 也隨之運(yùn)動(dòng)到 P點(diǎn)若POP 15o ,試求 AA的長(zhǎng)學(xué)習(xí)必備歡迎下載解析 RtDAOB 中,O= 90 ,= 60 o,OAB= 30 o ,又4 米, OB =12AB = 2 米.( ) + (2 + 3x ) 2 3 - 2 x= 42 - (5 分)2( )3OA = AB × sin 60 = 4 ´= 2 3 米. - (3 分)2設(shè) AC = 2 x, BD = 3x, 在 RtDCOD 中,OC = 2 3 - 2 x, OD = 2 + 3x, CD = 4根據(jù)勾股定理: OC 2 + OD2 = CD 2213x2 + 12 - 8 3 x = 0 x ¹ 013x + 12 - 8 3 = 0 x =8 3 - 1213- (7 分)AC=2x=16 3 - 241316 3 - 24即梯子頂端 A 沿 NO 下滑了米.13- (8 分)點(diǎn) P 和點(diǎn) P¢ 分別是 RtDAOB 的斜邊AB 與 RtDA'OB ' 的斜邊 A' B ' 的中點(diǎn) PA = PO , P ' A' = P' O- (9 分) ÐPAO = ÐAOP, ÐP¢A¢O = ÐA¢OP¢ - (10 分) ÐP¢A¢O -Ð PAO = ÐA¢OP¢ -Ð AOP ÐP¢A¢O - ÐPAO = ÐPOP¢ = 15 ÐPAO = 30 ÐP¢A¢O = 45- (11 分) A¢O = A¢B¢ ´ cos 45 = 4 ´22= 2 2 - (12 分) AA¢ = OA - A¢O = (2 3 - 2 2) 米. - (13 分)