2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等關(guān)系與基本不等式 3 第1課時 平均值不等式課件 北師大版選修4-5.ppt
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第一章3平均值不等式,第1課時平均值不等式,,學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握平均值不等式的特征結(jié)構(gòu).2.了解平均值不等式的推廣.3.會用平均值不等式解決相關(guān)問題.,,,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測,,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),知識點(diǎn)一二元平均值不等式,思考回顧a2+b2≥2ab的證明過程,并說明等號成立的條件.,答案a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,即a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,a2+b2=2ab.,梳理(1)重要不等式定理1:對任意實(shí)數(shù)a,b,有a2+b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號).(2)二元平均值不等式①定理2:對任意兩個正數(shù)a,b,有____________(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號).②定理2的應(yīng)用:對兩個正實(shí)數(shù)x,y,(ⅰ)如果它們的和S是定值,則當(dāng)且僅當(dāng)時,它們的積P取得最值;(ⅱ)如果它們的積P是定值,則當(dāng)且僅當(dāng)時,它們的和S取得最值.,≥,a=b,x=y(tǒng),大,x=y(tǒng),小,知識點(diǎn)二三元平均值不等式,思考類比二元平均值不等式:(a>0,b>0),請寫出a,b,c∈R+時,三元平均值不等式.,梳理(1)定理3:對任意三個正數(shù)a,b,c,有a3+b3+c33abc(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號).(2)定理4:對任意三個正數(shù)a,b,c,有(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號).(3)平均值不等式的推廣,≥,≥,算術(shù)平均值,幾何平均值,≥,題型探究,A.③B.③④C.②③D.①②③④,類型一平均值不等式成立的條件,答案,解析,√,解析在①④中,lgx∈R,sinx∈[-1,1],不能確定lgx>0,sinx>0,因此①④錯誤;,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號,故②正確;,反思與感悟平均值不等式成立的條件(1)各項均為正數(shù).(2)當(dāng)且僅當(dāng)各項均相等時,“=”才能成立.,跟蹤訓(xùn)練1設(shè)a,b為實(shí)數(shù),且ab>0,下列不等式中一定成立的個數(shù)是,A.1B.2C.3D.4,√,當(dāng)a,b<0時,②不成立;,當(dāng)a=-1,b=-2時,④不成立.因此,①③成立,故選B.,答案,解析,類型二用平均值不等式證明不等式,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立.,證明,引申探究,證明,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號.,證明,證明,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立.,反思與感悟證明不等式的方法(1)首先觀察所要證的式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及題目所給條件,看是否滿足“一正、二定、三相等”的條件.若滿足即可利用平均值不等式證明.(2)若題目不滿足該條件,則可靈活利用已知條件構(gòu)造出能利用三個正數(shù)的基本不等式的式子.,跟蹤訓(xùn)練2(1)已知a,b,c∈R,求證:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2;,證明,證明a4+b4≥2a2b2,同理a4+c4≥2a2c2,b4+c4≥2b2c2,將以上三個不等式相加,得a4+b4+a4+c4+b4+c4≥2a2b2+2a2c2+2b2c2,即a4+b4+c4≥a2b2+a2c2+b2c2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立.,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立.,證明,類型三證明不等式的技巧——“1”的代換,證明,證明方法一∵a,b,c為正實(shí)數(shù),且a+b+c=1,,方法二∵a,b,c∈R+,且a+b+c=1,,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立.,引申探究,證明,證明∵a2+b2≥2ab,,證明∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,∴a2+b2+b2+c2+a2+c2≥2ab+2bc+2ac,即2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac,∴2(a2+b2+c2)+a2+b2+c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2=1,,證明,證明∵a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥(a+b)2.,證明,反思與感悟用基本不等式證明不等式時,應(yīng)首先依據(jù)不等式兩邊式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行恒等變形,使之具備基本不等式的結(jié)構(gòu)和條件,然后合理地選擇基本不等式進(jìn)行證明.,證明∵a,b,c∈R+且a+b+c=1,,由于上述三個不等式兩邊均為正,分別相乘,證明,達(dá)標(biāo)檢測,1,2,4,3,5,1.下列不等式中,正確的個數(shù)是,答案,解析,A.0B.1C.2D.3,√,1,2,4,3,5,解析顯然①不正確;③正確;,④不正確,如a=1,b=4.,1,2,4,3,5,2.下列不等式的證明過程正確的是,答案,解析,√,1,2,4,3,5,解析對于A,a,b必須同號;對于B,cosx不一定大于0;對于C,由x<0,,1,2,4,3,5,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時,等號成立.,答案,解析,√,1,2,4,3,5,答案,解析,3,故函數(shù)的最小值為3.,1,2,4,3,5,證明∵a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2=1,,證明,規(guī)律與方法,1.應(yīng)用平均值不等式證明問題時,如果能熟練掌握一些常見結(jié)論,可使應(yīng)用更加靈活快捷.對于二元平均值不等式有以下結(jié)論.,(5)a2+b2+c2≥ab+bc+ca.,2.對于三元平均值不等式有以下結(jié)論.,上式中a,b,c均為正數(shù),等號成立的條件均為a=b=c.,本課結(jié)束,,- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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