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1、
一元二次方程的復(fù)習(xí)
一、 知識結(jié)構(gòu)：
二、 知識回顧
1、?一元二次方程的定義：
一元二次方程的一般式：
2、一元二次方程的解法有： 、 、 、
3、一元二次方程?ax?2?+?bx?+?c?=?0(a?1?0)?的求根公式：
其中配方法的步驟為：
4、一元二次方程?ax?2?+?bx?+?c?=?0(a?1?0)?的根的判別式為：
方程?ax?2?+?bx?+?c?=?0?有兩個不相等的實(shí)根
方程?ax?2?+?bx?+?c?=?0?有兩個相等的實(shí)根 2
方程?ax?2?+?bx?+?
2、c?=?0?沒有實(shí)數(shù)根
5、一元二次方程?ax?2?+?bx?+?c?=?0(a?1?0)?的根?x1,x2?與系數(shù)的關(guān)系為
專題（一） 一元二次方程的概念
例1、?下列方程中是?x?的一元二次方程的有（ ）
（?1?）
x?2??cx?????????????????1??????1
-???+?1?=?0????（?2?）??+?2?x?=??????（?3?）?x+3=0????(4)?x?2?=?1
a???a??????????????????x??????5
(5)?mx?2?+?x?+?n?=?0 (6)?(?
3、x?+?2)?2?-?1?=?(?x?+?1)?2
（?7?）
x?2?+?2?x
4
-?5?=?0
（8）?px?2?+?qx?-?1?=?0 （9）xy-x+1=0
歸納：方程 ax2+bx+c=0?是一元二次方程的三個要素：?（?1?） （?2?）
（3） 。
例?2、（1）已知關(guān)于?x?的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0?的一個根是?0，則?a?的值是
第?1?頁
x
（2）關(guān)于?x?的方程（m+2）?2+3m2x+m2-4=0?有一個根為?0，則?2m2-4m+3?的值是
（3）已
4、知關(guān)于?x?的方程(a2-9)x2+(a-3)x+5=0,當(dāng)?a= 時是一元一次方程，當(dāng)?a
時是一元二次方程。
（4）關(guān)于?x?的方程(m-3)?x?m2-7?-?x?+?3?=?0?是一元二次方程，則?m=
歸納：方程?ax2+bx+c=0?是一元一次方程的條件為 ；是一元二次方程
的條件是 。
例?3、（1）不解方程?2?x?2?+?(?3?-?4)?x?-?2?3?=?0?,求兩根之和與兩根之積。
（2）已知方程?2x2+mx+3=0?的一個根是?1
2
，求另一個根及?m?的值。
（3）設(shè)方程?4
5、x2-7x-3=0?的兩根為?x1,x2,不解方程求下列各式的值。
①（x1-3）（x2-3）?? ②????x
+??? 1?????? ③?x??-?x
x
2
x?+?1 x?+?1 1
1 2
2
（3）已知?a,b?滿足方程??a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，求??a
例?4、（1）求以?(?3?+?1),?(?3?-?1)?為根的一元二次方程。
（2）求作一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程?5x2+2x-3=0?的各根的負(fù)倒數(shù)。
b
+ 的值。
b a
（4）已知?m,n?是一元二次方程?x2
6、-3x+1=0?的兩根，求代數(shù)式?2m2+4n2-6n+2019?的
值。
5
例?（1）若關(guān)于?x?的方程?x2-2(a-1)x-(b+2)2=0?有兩個相等的實(shí)根。
①求?a2019+b3?的值。②求作以?a,b?為根的一元二次方程。
（2）在斜邊為?10?的?Rt△ABC?中，∠C=900，兩條直角邊?a,b?是方程?x2-mx+3m+6=0
的兩根，求?m?的值。
（3）已知關(guān)于?x?的方程?x2-(2k+1)x+4(k-?1
2
)=0
①求證：無論?k?取何值，這個方程總有實(shí)數(shù)根。②若等腰三角形?ABC?的一邊長
a=4，
7、另兩邊的長?b,c?恰好是這個方程的兩根，求△ABC?的周長。
第?2?頁
（4）ab≠1，且?5a?2?+?2005a?+?7?=?0,7b?2?+?2005b?+?5?=?0?，求?a
b
例?6（1）不解方程，判斷下列方程根的情況
的值。
①5x(5x-2)=-1 ②?2?x?2?=
3x?-?2??③4x(x+1)-3=0
(10)x2-6x-7=0???????? (11)??2
(2)設(shè)?m?為實(shí)數(shù)，求證方程(x-1)(x-2)=m2?有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。
（3）a?為何值時，方程?2ax2+(8a+
8、1)x+8a=0?有兩個實(shí)數(shù)根。
專題二：一元二次方程的解法
例1、?用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?
（1）2x2+4x-9=0（配方法） (2)3x2=-6x+8（配方法） (3)9(x-3)?2-49=0
（4）（2x-3）2=9（2x+3）2 (5)x2-8x+6=0 (6)(x+2)(x-1)=10 （13）x2-?625?=0
(7)2x2-5x-2=0 (8)(2x-1)2+3(1-2x)=0 (9)(1-3x)2=16(2x+3)2 (14)?3x2-2?3?x+1=0
1 1
x?2?- x?- =?0 (12)?(4x-1)2-
9、3(1-4x)-4=0
3 6 2
例?2（1）已知一個直角三角形的兩直角邊的長恰是方程?2x2-8x+7=0?的兩根，則這個直角
三角形的斜邊長是
（2）已知三角形的兩邊長分別是?1?和?2，第三邊的長為?2x2-5x+3=0?的根，則這個三角形
的周長是
（3）當(dāng)?x= 時，?x?2?+?3x?與?x?+?15?既是最簡根式又是同類根式。
（4）t=2-?-?3x?2?+?12x?-?9?，則?t?的最大值為 ，最小值為 。
例2、?已知二次三項(xiàng)式?9x2-(m+6)x+m-2?是一個完全平方式，求?m?的值。
例?3（1）
10、若(2x-1)2=1-m?有實(shí)數(shù)解，則∣m-1∣=
（2）函數(shù)?y=x4+x2+1?的最小值是
（3）已知?a+b-2?a?-?1?-4?b?-?2?=3?c?-?3?-?1?c?-5,則?a+b+c=
2
第?3?頁
專題（三） 一元二次方程的應(yīng)用
例1、?某商店如果將進(jìn)貨為?8?元的商品按每件?10?元售出，每天可銷售?200?件，通過一段
時間的摸索，該店主發(fā)現(xiàn)這種商品每漲價?0.5?元，其銷售量就減少?10?件，每降價
0.5?元，其銷售量就增加?10?件。
（1）?你能幫助店主設(shè)計(jì)一種方案，使每天的利潤達(dá)到?700?元嗎？
（2）?將售價定為每件多
11、少元時，能使這天所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
例2、?在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長）?用
28?米長的籬笆圍成一個矩形花園?ABCD（籬笆只圍?AB、BC?兩邊）設(shè)?AB=x?米
（1）?若花園的面積為?192m2,求?x?的值
（2）?若在?P?處有一棵樹與墻?CD，AD?的距離分別是?15m?和?6m,要將這棵樹圍在花園內(nèi)
（含邊界，不考慮樹的粗細(xì)），求花園面積?S?的最大值。
例?3、如圖，正方形?ABCD?的邊長為?12，劃分成?12×12?個小正方形格。將邊長為?n（n
為整數(shù)，且?2≤n≤11）的黑白兩色正方
12、形紙片按圖中的方式黑白相間的擺放，第一張
n×n?的紙片正好蓋住正方形?ABCD?左上角的?n×n?個小正方形格，第二張紙片蓋住第一張
紙片的部分恰好為(n-1)×(n-1)的正方形。如此擺放下去，最后直到紙片蓋住正方形?ABCD
的右下角為止。請你認(rèn)真觀察思考后回答下列問題：
（1）?由于正方形紙片邊長?n?的取值不同，完成擺放時所用正方形紙片的張數(shù)也不同，
請?zhí)顚懴卤恚?
（2）?設(shè)正方形?ABCD?被紙片蓋住的面積（重合部分只計(jì)一次）為?S1，未被蓋住的面積
為?S2
①?當(dāng)?n=2?時，求?S1:S2?的值
②?是否存在使得?S1=S2?的?n?的值，若存在，求出?n,若不存在，說明理由。
4、已知? ABC?中，∠C?＝90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)?E?在?AC?上，E?與?A、C?均不重合.
⑴?若點(diǎn)?F?在?AB?上，且?EF?平分? ABC?的周長，設(shè)?AE=x，用含?x?的代數(shù)式表示? AEF;
⑵?若點(diǎn)?F?在折線?ABC?上移動，是否存在直線?EF?將? ABC?的周長與面積同時平分？
第?4?頁
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