八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第十八章 平行四邊形本章小結(jié)學(xué)案 （新版）新人教版

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1、 第十八章 平行四邊形本章小結(jié) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.回顧平行四邊形及各種特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定,三角形的中位線及其性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì).(重點(diǎn)) 2.正確理解平行四邊形與各種特殊平行四邊形的聯(lián)系與區(qū)別,在反思和交流過程中,逐漸建立知識(shí)體系.(難點(diǎn)) 3.總結(jié)本章的重要思想方法. 學(xué)習(xí)過程 一、合作探究 閱讀第十八章全章內(nèi)容,回答下列問題: 1.填寫下表:總結(jié) 平行四邊形 矩形 菱形 正方形 邊 　　　平行且相等? 　　　平行且相等? 　　　平行,　　　相等? 　　平行,　　相等? 角 　　相等? 　　　都是直角? 　　相等

2、? 　　　都是直角? 互相　? 互相　　　　? 互相　　　　,且每條對(duì)角線平分一組　　? 互相　　　　且　　,每條對(duì)角線平分一組　　? 判定 　　1.兩組對(duì)邊分別　　;? 2.兩組對(duì)邊分別　　;? 3.一組對(duì)邊　　且　　;? 4.兩組對(duì)角分別　　;? 5.兩條對(duì)角線互相　　.? 　　1.有　　角是直角的四邊形;? 2.有　　角是直角的　　　　　;? 3.　　　相等的　　　　　.? 　　1.四邊　　的四邊形;? 2.對(duì)角線互相　　的平行四邊形;? 3.有一組鄰邊　　的平行四邊形.? 4.每條對(duì)角線　　　　　　　一組對(duì)角的四邊形.? 　　1.有一個(gè)角是　　

3、的菱形;? 2.對(duì)角線　　的菱形;? 3.有一組鄰邊　　的矩形;? 4.對(duì)角線互相　　的矩形;? 對(duì)稱性 只是　　　　圖形? 既是　　　圖形,又是　　　　圖形? 面積 S=　? S=　? S=　? S=　? 2.我們學(xué)習(xí)了一般的平行四邊形和一些特殊的平行四邊形,下圖表示了在某種條件下它們之間的相互轉(zhuǎn)化.請(qǐng)你對(duì)下圖標(biāo)上的5個(gè)數(shù)字序號(hào)寫出相對(duì)應(yīng)的條件. 3.三角形的中位線及其性質(zhì)是什么? 4.直角三角形斜邊上的中線有何性質(zhì)? 5.矩形被其一條對(duì)角線分成兩個(gè)　　　　三角形,被其兩條對(duì)角線分成四個(gè)　　　　三角形;菱形被其一條對(duì)角線分成兩個(gè)　　　　三角形,被其兩條對(duì)

4、角線分成四　　　　三角形;正方形被其一條對(duì)角線分成兩個(gè)　　　　三角形,被其兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等三角形.? 6.矩形有　　　　條對(duì)稱軸,菱形有　　　　條對(duì)稱軸,正方形有　　　　條對(duì)稱軸.? 二、自主練習(xí) 【例1】 如圖,E,F是平行四邊形ABCD對(duì)角線BD上的兩點(diǎn),給出下列三個(gè)條件:①BE=DF;②∠AEB=∠DFC;③AF∥EC.請(qǐng)你從中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件　　　　,使四邊形AECF是平行四邊形,并證明你的結(jié)論.? 【例2】 如圖,點(diǎn)E,F,G,H分別為四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),試判斷四邊形EFGH的形狀,并證明你的結(jié)論. 【例3】 如圖,四邊形ABCD

5、是菱形,對(duì)角線AC=8 cm,BD=6 cm,DH⊥AB于H,求高DH的長(zhǎng). 【例4】 如圖,正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,點(diǎn)O是正方形A'B'C'O的一個(gè)頂點(diǎn),如果兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等,那么正方形A'B'C'O繞點(diǎn)O無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),兩個(gè)正方形重疊部分的面積總等于一個(gè)正方形面積的四分之一,你能說明理由嗎?(提示:尋找全等三角形) 【例5】 如圖,△ABC中,BD,CE為高,F是邊BC的中點(diǎn),判斷△DEF的形狀,并說明理由. 三、跟蹤練習(xí) 1.已知?ABCD的周長(zhǎng)為36 cm,AB=15 cm,則AD=(　　) A.21 cm B.6 cm C.10.5 cm D.3

6、cm 2.菱形的周長(zhǎng)為40 cm,一條對(duì)角線長(zhǎng)為16 cm,則其另一條對(duì)角線長(zhǎng)(　　) A.12 cm B.6 cm C.16 cm D.8 cm 3.在△ABC中,D,E分別是BC,AC邊的中點(diǎn),若AB=4 cm,BC=5 cm,AC=6 cm,則DE=　　　　cm.? 4.矩形ABCD的邊AB長(zhǎng)5 cm,對(duì)角線AC長(zhǎng)13 cm,則矩形的周長(zhǎng)是　　　　cm.? 5.如圖,直線AE∥BD,點(diǎn)C在BD上,若AE=5,BD=8,△ABD的面積為16,則△ACE的面積是　　　　.? 6.已知:如圖,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,求以AC為邊長(zhǎng)的正方形ACEF的周長(zhǎng). 四

7、、變式演練 1.如圖,在四邊形ABCD中,點(diǎn)H是邊BC的中點(diǎn),作射線AH,在線段AH及其延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)E,F,連接BE,CF. (1)請(qǐng)你添加一個(gè)條件,使得△BEH≌△CFH,你添加的條件是　　　　,并證明;? (2)在問題(1)中,當(dāng)BH與EH滿足什么關(guān)系時(shí),四邊形BFCE是矩形?請(qǐng)說明理由. 2.現(xiàn)有一張矩形紙片ABCD,如圖所示,其中AB=4 cm,BC=6 cm,E是BC的中點(diǎn).實(shí)際操作:將紙片沿直線AE折疊,使點(diǎn)B落在四邊形AECD內(nèi),記為點(diǎn)B'. (1)請(qǐng)用尺規(guī)在圖中作出△AEB'(保留作圖痕跡); (2)試求B',C兩點(diǎn)之間的距離. 五、達(dá)標(biāo)檢測(cè) (一)

8、選擇題 1.在四邊形ABCD中,O是對(duì)角線的交點(diǎn),能判定這個(gè)四邊形是正方形的條件是(　　) A.AC=BD,AB=CD,AB∥CD B.AD∥BC,∠A=∠C C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD D.AO=CO,BO=DO,AB=BC 2.如圖,將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為4,8的長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊,使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合,則折痕EF的長(zhǎng)是(　　) A.3 B.23 C.5 D.25 3.兩個(gè)全等的三角形(不等邊)可拼成不同的平行四邊形的個(gè)數(shù)是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知點(diǎn)A(2,0),B-12,0,C(0,1),以A,B,C三點(diǎn)為頂點(diǎn)畫平行四邊形,則第四

9、個(gè)頂點(diǎn)不可能在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.如圖,是由兩個(gè)正方形組成的長(zhǎng)方形花壇ABCD,小明從頂點(diǎn)A沿著花壇間小路直到走到長(zhǎng)邊中點(diǎn)O,再從中點(diǎn)O走到正方形OCDF的中心O1,再從中心O1走到正方形O1GFH的中心O2,又從中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3,再從中心O3走到正方形O3KJP的中心O4,一共走了312m,則長(zhǎng)方形花壇ABCD的周長(zhǎng)是(　　) A.36 m B.48 m C.96 m D.60 m (二)填空題 6.如圖,若將四根木條釘成的矩形木框變形為平行四邊形ABCD的形狀,并使其面積為矩形面積的一半,則這個(gè)平行四

10、邊形的一個(gè)最小內(nèi)角的值等于　　　　.? 7.平行四邊形兩鄰邊長(zhǎng)分別為20和16,若兩較長(zhǎng)邊之間的距離為4,則兩較短邊之間的距離為　　　　　.? 8.如圖,四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC,BD互相垂直,四邊形A1B1C1D1是四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形.如果AC=8,BD=10,那么四邊形A1B1C1D1的面積為　　　　.? 9.如圖,?ABCD中,點(diǎn)E在邊AD上,以BE為折痕,將△ABE向上翻折,點(diǎn)A正好落在CD上的點(diǎn)F,若△FDE的周長(zhǎng)為10,△FCB的周長(zhǎng)為22,則FC的長(zhǎng)為　　　　.? 10.將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折,如圖所示,可得到一條折痕(圖中虛線),繼續(xù)對(duì)折,對(duì)折時(shí)

11、每次折痕與上次的折痕保持平行,連續(xù)對(duì)折三次后,可以得到7條折痕,那么對(duì)折四次可以得到　　　條折痕,如果對(duì)折n次,可以得到　　　條折痕.? (三)解答題 11.如圖,直線a,b相交于點(diǎn)A,C,E分別是直線b,a上兩點(diǎn)且BC⊥a,DE⊥b,點(diǎn)M,N分別是EC,DB的中點(diǎn).求證:(1)DM=BM;(2)MN⊥BD. 12.已知:在平行四邊形ABCD中,AE⊥BC,垂足為E,CE=CD,點(diǎn)F為CE的中點(diǎn),點(diǎn)G為CD上的一點(diǎn),連接DF,EG,AG,∠1=∠2. (1)若CF=2,AE=3,求BE的長(zhǎng); (2)求證:∠CEG=12∠AGE. 參考答案 一、合作探究 1.

12、平行四邊形 矩形 菱形 正方形 邊 對(duì)邊平行且相等 對(duì)邊平行且相等 對(duì)邊平行,四邊相等 對(duì)邊平行,四邊相等 角 對(duì)角相等 四個(gè)角都是直角 對(duì)角相等 四個(gè)角都是直角 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分,且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角 互相垂直平分且相等,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角 續(xù)　表 平行四邊形 矩形 菱形 正方形 判定 　　1.兩組對(duì)邊分別平行; 2.兩組對(duì)邊分別相等; 3.一組對(duì)邊平行且相等; 4.兩組對(duì)角分別相等; 5.兩條對(duì)角線互相平分. 　　1.有三個(gè)角是直角的四邊形; 2.有一個(gè)角是直角的平行四邊形;

13、 3.對(duì)角線相等的平行四邊形. 　　1.四邊相等的四邊形; 2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形; 3.有一組鄰邊相等的平行四邊形; 4.每條對(duì)角線互相垂直且平分一組對(duì)角的四邊形. 　　1.有一個(gè)角是直角的菱形; 2.對(duì)角線相等的菱形; 3.有一組鄰邊相等的矩形; 4.對(duì)角線互相垂直的矩形. 對(duì)稱性 只是中心對(duì)稱圖形 既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形 面積 S=ah S=ab S=12d1d2 S=a2 2.(1)兩組對(duì)邊分別平行;(2)有一個(gè)角是直角;(3)有一組鄰邊相等;(4)有一組鄰邊相等;(5)有一個(gè)角是直角. 3.略 4.直角三角形斜邊上的中線等于

14、斜邊的一半. 5.略 6.2　2　4. 二、自主練習(xí) 【例1】選①(答案不唯一) 證明:如圖,連接AC交BD于O. ∴AO=CO,OB=OD. 又∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,∴OE=OF. 又∵AO=CO, ∴四邊形AECF為平行四邊形. 【例2】 解:四邊形EFGH為平行四邊形. 如圖,連接AC,在△ACD中,H,G分別為AD,CD的中點(diǎn), ∴HG∥AC,HG=12AC. 同理:EF∥AC,EF=12AC. ∴HG∥EF,HG=EF. ∴四邊形EFGH為平行四邊形. 【例3】 解:∵四邊形ABCD為菱形, ∴AO=12AC=4 cm,OB

15、=12BD=3 cm. AC⊥BD, ∴在Rt△AOB中,AB=AO2+BO2=32+42=5(cm). 又∵S△ABD=12DH·AB=12AO·BD. ∴DH=AO·BDAB=4×65=245(cm). 【例4】 解:∵∠BOF+∠A'OB=90°,∠A'OB+∠AOE=90°.∴∠BOF=∠AOE. 又∵OA=OB,∠OAE=∠OBF.∴△AOE≌△BOF. ∴S△AOE=S△BOF. ∴S四邊形EBFO=S△BOF+S△OEB=S△AOE+S△OEB=S△ABO=14S正方形ABCD. 【例5】 解:△DEF為等腰三角形. 在Rt△BEC中,∵F為BC的中點(diǎn),∴EF

16、=12BC, 同理:FD=12BC,∴FD=EF. ∴△DEF為等腰三角形. 三、跟蹤練習(xí) 1.D　2.A　3.2　4.34　5.10 6.解:由菱形的性質(zhì)得:AB=BC, 又∵∠B=60°, ∴△ABC為等邊三角形.∴AC=AB=4. ∴C正方形ACEF=4AC=4×4=16. 四、變式演練 1.解:(1)添加條件:BE∥CF(答案不唯一). 證明:如題圖,∵BE∥CF,∴∠1=∠2. ∵點(diǎn)H是邊BC的中點(diǎn),∴BH=CH. 又∵∠3=∠4, ∴△BEH≌△CFH. (2)當(dāng)BH=EH時(shí),四邊形BFCE是矩形,理由如下: 如圖,連接BF,CE,∵△BEH≌△CF

17、H, ∴BH=CH,EH=FH. ∴四邊形BFCE是平行四邊形. 又∵BH=EH,∴BC=EF, ∴四邊形BFCE是矩形. 2.解:(1)如圖所示. (2)如圖,連接BB',B'C,設(shè)BB'與AE交于點(diǎn)F. 因?yàn)辄c(diǎn)B,B'關(guān)于直線AE對(duì)稱, 所以BE=B'E, 所以∠EBB'=∠EB'B. 因?yàn)锽E=EC,所以B'E=EC, 所以∠ECB'=∠EB'C. 因?yàn)椤螮BB'+∠EB'B+∠EB'C+∠ECB'=180°, 所以∠BB'C=90°. 因?yàn)锽C=6 cm,E是BC的中點(diǎn), 所以BE=3 cm. 在Rt△ABE中,AB=4 cm,BE=3,根據(jù)勾股

18、定理,得AE=5 cm,所以BF=125 cm,所以BB'=245 cm. 在Rt△BB'C中,根據(jù)勾股定理,得 B'C=62-2452=185. 故B',C'兩點(diǎn)之間的距離為185cm. 五、達(dá)標(biāo)檢測(cè) 1.C　2.D　3.C　4.C　5.C 6.30°　7.5　8.20　9.6　10.15　2n-1 11.證明:(1)∵BC⊥a,DE⊥b, ∴∠CDE=∠CBE=90°, ∴△CBE,△CDE為直角三角形, ∵點(diǎn)M是EC的中點(diǎn), ∴DM=BM=12EC, ∴DM=BM; (2)∵DM=BM, ∴△MDB為等腰三角形, 又∵N為BD的中點(diǎn), ∴MN為BD邊上的中

19、線, ∴MN⊥BD(三線合一). 12.解:(1)∵點(diǎn)F為CE的中點(diǎn), ∴CE=CD=2CF=4. 又∵四邊形ABCD為平行四邊形, ∴AB=CD=4. 在Rt△ABE中,由勾股定理,得:BE=AB2-AE2=7. (2)證明:如圖,延長(zhǎng)AG,BC交于點(diǎn)H. ∵CE=CD,∠1=∠2,∠C=∠C, ∴△CEG≌△CDF.∴CG=CF. ∵點(diǎn)F為CE的中點(diǎn),即CF=EF=12CE, 又CE=CD,∴CG=GD=12CD. ∵AD∥BC, ∴∠GAD=∠H,∠ADG=∠GCH. ∴△ADG≌△HCG. ∴AG=HG. ∵∠AEH=90°, ∴EG=12AH=GH. ∴∠GEH=∠H=12∠AGE. 10