人教版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué) 28.2.2 第3課時(shí) 利用方位角、坡度解直角三角形 教案

28.2.2 應(yīng)用舉例第3課時(shí) 利用方位角、坡度解直角三角形1知道測(cè)量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度與坡角的關(guān)系；(重點(diǎn))2能夠應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)解決與方位角、坡度有關(guān)的問題(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入在修路、挖河、開渠和筑壩時(shí)，設(shè)計(jì)圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度如圖，坡面的鉛垂高度(h)和水平長度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i，即i.坡度通常寫成1m的形式，如i16.坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作，有itan.顯然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡我們這節(jié)課就解決這方面的問題二、合作探究探究點(diǎn)一：利用方位角解直角三角形【類型一】 利用方位角求垂直距離 如圖所示，A、B兩城市相距200km.現(xiàn)計(jì)劃在這兩座城市間修筑一條高速公路(即線段AB)，經(jīng)測(cè)量，森林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P點(diǎn)為圓心，100km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，請(qǐng)問：計(jì)劃修筑的這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)(參考數(shù)據(jù)：1.732，1.414)解析：過點(diǎn)P作PCAB，C是垂足AC與BC都可以根據(jù)三角函數(shù)用PC表示出來根據(jù)AB的長得到一個(gè)關(guān)于PC的方程，求出PC的長從而可判斷出這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)解：過點(diǎn)P作PCAB，C是垂足則APC30°，BPC45°，ACPC·tan30°，BCPC·tan45°.ACBCAB，PC·tan30°PC·tan45°200，即PCPC200，解得PC126.8km100km.答：計(jì)劃修筑的這條高速公路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)方法總結(jié)：解一般三角形的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線變式訓(xùn)練：見學(xué)練優(yōu)本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第1題【類型二】 利用方位角求水平距離 “村村通”公路工程拉近了城鄉(xiāng)距離，加速了我區(qū)農(nóng)村經(jīng)濟(jì)建設(shè)步伐如圖所示，C村村民欲修建一條水泥公路，將C村與區(qū)級(jí)公路相連在公路A處測(cè)得C村在北偏東60°方向，沿區(qū)級(jí)公路前進(jìn)500m，在B處測(cè)得C村在北偏東30°方向?yàn)楣?jié)約資源，要求所修公路長度最短畫出符合條件的公路示意圖，并求出公路長度(結(jié)果保留整數(shù))解析：作CDAB于D，在RtACD中，據(jù)題意有CAD30°，求得AD.在RtCBD中，據(jù)題意有CBD60°，求得BD.又由ADBD500，從而解得CD.解：如圖，過點(diǎn)C作CDAB，垂足落在AB的延長線上，CD即為所修公路，CD的長度即為公路長度在RtACD中，據(jù)題意有CAD30°，tanCAD，ADCD.在RtCBD中，據(jù)題意有CBD60°，tanCBD，BDCD.又ADBD500，CDCD500，解得CD433(m)答：所修公路長度約為433m. 方法總結(jié)：在解決有關(guān)方位角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角變式訓(xùn)練：見學(xué)練優(yōu)本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第4題探究點(diǎn)二：利用坡角、坡度解直角三角形【類型一】 利用坡角、坡度解決梯形問題 如圖，某水庫大壩的橫截面為梯形ABCD，壩頂寬BC3米，壩高為2米，背水坡AB的坡度i11，迎水坡CD的坡角ADC為30°.求壩底AD的長度解析：首先過B、C作BEAD、CFAD，可得四邊形BEFC是矩形，又由背水坡AB的坡度i11，迎水坡CD的坡角ADC為30°，根據(jù)坡度的定義，即可求解解：分別過B、C作BEAD、CFAD，垂足為E、F，可得BECF，又BCAD，BCEF，BECF.由題意，得EFBC3，BECE2.背水坡AB的坡度i11，BAE45°，AE2，DF2，ADAEEFDF23252(m)答：壩底AD的長度為(52)m.方法總結(jié)：解決此類問題一般要構(gòu)造直角三角形，并借助于解直角三角形的知識(shí)求解變式訓(xùn)練：見學(xué)練優(yōu)本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第6題【類型二】 利用坡角、坡度解決三角形問題 如圖，某地下車庫的入口處有斜坡AB，它的坡度為i12，斜坡AB的長為6m，斜坡的高度為AH(AHBC)，為了讓行車更安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改造為14°(圖中的ACB14°)(1)求車庫的高度AH；(2)求點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離(結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin14°0.24，cos14°0.97，tan14°0.25)解析：(1)利用坡度為i12，得出AHBH12，進(jìn)而利用勾股定理求出AH的長；(2)利用tan14°，求出BC的長即可解：(1)由題意可得AHBH12，設(shè)AHx，則BH2x，故x2(2x)2(6)2，解得x6，故車庫的高度AH為6m；(2)AH6m，BH2AH12m，CHBCBHBC12m.在RtAHC中，AHC90°，故tanACB，又ACB14°，tan14°，即0.25，解得BC12m.答：點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離是12m.方法總結(jié)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中坡度、坡角問題，明確坡度等于坡角的正切值是解題的關(guān)鍵變式訓(xùn)練：見學(xué)練優(yōu)本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第6題三、板書設(shè)計(jì)1方位角的意義；2坡度、坡比的意義；3應(yīng)用方位角、坡度、坡比解決實(shí)際問題 將解直角三角形應(yīng)用到實(shí)際生活中，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，即要求學(xué)生通過對(duì)實(shí)物的觀察或根據(jù)文字語言中的某些條件，畫出適合他們的圖形這一方面在教學(xué)過程應(yīng)由學(xué)生展開，并留給學(xué)生思考的時(shí)間，給學(xué)生充分的自主思考空間和時(shí)間，讓學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)習(xí).