江西省南昌市10所省重點中學命制高三第二次模擬突破沖刺數(shù)學（文）試題（七）

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南昌市10所省重點中學命制2013屆高三第二次模擬突破沖刺（七） 數(shù)學（文）試題 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁．滿分150分，考試時間120分鐘． 第Ⅰ卷 一.選擇題(本大題10個小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合要求) 1．已知復數(shù)，則的虛部為( ) A.2 B. C. D. 2．設為非空集合,定義集合A*B為如圖陰影部分表示的集合， 若則A*B=( ) A．（0，2） B． C．（1,2] D． 3．已知，則的值為( ) A． B． C．1 D．2 4．若，且，則( ) A． B． C． D． 5．觀察下列各式：，，，…．若，則( ) A.43 B．57 C．73 D．91 6．一次考試某簡答題滿分5分，以分為給分區(qū)間．這次考試有人 參加，該題沒有得零分的人，所有人的得分按分 組所得的頻率分布直方圖如圖所示．設其眾數(shù)、中位數(shù)、平均分最大的可 能值分別為，則( ) A. 　B. C. 　　　D. 7. 給定下列命題 ①過點且與圓相切的直線方程為. ②在△中，，，，在上任取一點，使△為鈍角三角形的概率為 ③是不等式成立的一個充分不必要條件. ④“存在實數(shù)使”的否定是“存在實數(shù)使”. 其中真命題的個數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 A．　 B．　 C．　 D． 9.已知橢圓上一點關于原點的對稱點為為其右焦點，若，設，且，則該橢圓離心率的取值范圍為( ) A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二.填空題(本大題5個小題,每小題5分,共25分,把答案填在題中橫線上) 11. 不等式的解集為　　　　． 12. 已知兩個單位向量的夾角為，若向量，= . 13. 曲線在處的切線方程為 ． 14. 已知等差數(shù)列的前項和為,、是方程的兩根,且,則數(shù)列的公差為. 15. 執(zhí)行如下圖所示的程序框圖，若輸出的結果是8，則判斷框內(nèi)的取值范圍是 三.解答題(本大題6個小題,共75分,解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 16. (本小題滿分12分) 已知函數(shù)（其中，，）的最大值為2，最小正周期為. （1）求函數(shù)的解析式； （2）若函數(shù)圖象上的兩點的橫坐標依次為，為坐標原點，求的值. 17. (本小題滿分12分) 已知是單調遞增的等差數(shù)列，首項，前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，首項 （1）求和的通項公式. （2）設，數(shù)列的前項和為，求證：． 18. (本小題滿分12分) 已知集合,,.從集合中各取一個元素分別記為，設方程為． （1）求方程表示焦點在軸上的雙曲線的概率. （2）求方程不表示橢圓也不表示雙曲線的概率． 19. (本小題滿分12分) 如圖,正三棱柱中,側面是邊長為2的正方形,是的中點,在棱上. (1)當時,求三棱錐的體積. (2)當點使得最小時,判斷直線與是否垂直,并證明結論. 20. (本小題滿分13分) 已知橢圓的中心在坐標原點，兩個焦點分別為，，點在橢圓 上，過點的直線與拋物線交于兩點，拋物線在點處的切線分別為，且與交于點. (1) 求橢圓的方程； (2) 是否存在滿足的點? 若存在，指出這樣的點有幾個（不必求出點的坐標）; 若不存在，說明理由. 21. (本小題滿分14分) 已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間； （2）設函數(shù).若至少存在一個，使得成立，求實數(shù)的取值范圍． 2013屆高三模擬試卷（07）數(shù)學(文)參考答案 ， ∴. ∴. ∴. 解法2：∵， ， ∴.∴. ∴. 解法3: ∵， ， ∴. 作軸, 軸,垂足分別為, ∴,. 設,則. ∴. 17. (本小題滿分12分) 解：(1)設公差為，公比為，則 ,， 是單調遞增的等差數(shù)列，. 則,, （2）∵， ∴ . 18. (本小題滿分12分) 解：、所有可能的取法有：，，，，共27種， （1）其中表示焦點在x軸上的雙曲線的有： 共6種，故方程 表示焦點在軸的上雙曲線的概率為：； （2）其中不表示橢圓也不表示雙曲線的有： 共11種，故方程不表示橢圓也不表示雙曲線的概率為： 19. (本小題滿分12分) 解：(1)因為側面是邊長為2的正方形， 又 (2)解法1：將側面展開到側面得到矩形,連結,交于點,此時點使得最小.此時平行且等于的一半,為的中點.連接 在中，得 在中，得 在等腰中，得 所以由，，得有勾股定理知 解法2：將側面展開到側面得到矩形,連結,交于點,此時點使得最小.此時平行且等于的一半,為的中點.過點作交于,連接，由且知四邊形為所以.在正三棱柱中知面,而，所以面. 20. (本小題滿分13分) (1) 解法1：設橢圓的方程為,依題意: 解得: ∴ 橢圓的方程為. 解法2：設橢圓的方程為，根據(jù)橢圓的定義得，即， ∵， ∴. ∴ 橢圓的方程為. (2) 解法1：顯然直線的斜率存在，設直線的方程為， 由消去，得. 設,則. 由,即得. ∴拋物線在點處的切線的方程為，即. ∵， ∴. 同理,得拋物線在點處的切線的方程為. 由解得 ∴. ∵, ∴點在橢圓上. ∴. 化簡得.(*) 由, 可得方程(*)有兩個不等的實數(shù)根. ∴滿足條件的點有兩個. 解法2：設點,，，由,即得. ∴拋物線在點處的切線的方程為， 即.∵， ∴ . ∵點在切線上, ∴. ① 同理， . ② 綜合①、②得，點的坐標都滿足方程.∵經(jīng)過的直線是唯一的，∴直線的方程為， ∵點在直線上， ∴. ∴點的軌跡方程為. 若 ，則點在橢圓上，又在直線上，∵直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點,∴直線與橢圓交于兩點. ∴滿足條件 的點有兩個. 解法3：設點,，則，， ∵三點共線, . 化簡得：. ① 由,即得. ∴拋物線在點處的切線的方程為，即. ② 同理，拋物線在點處的切線的方程為 . ③ 設點，由②③得：，而，則 . 代入②得 ， 則，代入 ① 得 ， 即點的軌跡方程為.若 ，則點在橢圓上，而點又在直線上，∵直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點, ∴直線與橢圓交于兩點. ∴滿足條件 的點有兩個. 21. (本小題滿分14分) 解：（1）函數(shù)的定義域為，．設 ， ①當時，，在上恒成立，則在上恒成立，此時在上單調遞減． ②當時，（I）由得. 當時，恒成立， 在上單調遞增． 當時，恒成立，在上單調遞減． （II）由得或；.當時，開口向下，在上恒成立，則在上恒成立，此時在上單調遞減． 當，開口向上，在上恒成立，則在上恒成立， 此時 在上單調遞增． （III）由得 若，開口向上，，且，，都在上. 由，即，得或； 由，即，得． 所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和， 單調遞減區(qū)間為． 當時，拋物線開口向下，在 恒成立，即在（0，+恒成立，所以在單調遞減 綜上所述： 遞減 遞增 遞減 遞增 遞增 其中 （2）因為存在一個使得， 則，等價于.令，等價于“當 時，”. 對求導，得. 因為，由，所以在上單調遞增，在上單調遞減. 由于，所以，因此. ·10·