3、(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*.隨機變量X的分布列具有以下表格的形式．
X
0
1
…
m
P
…
則稱隨機變量X服從超幾何分布．
自我檢測
1．(2011·福州月考)袋中有大小相同的紅球6個、白球5個，從袋中每次任意取出1個球，直到取出的球是白球時為止，所需要的取球次數(shù)為隨機變量ξ，則ξ的可能值為( )
A．1,2，…，6 B．1,2，…，7
C．1,2，…，11 D．1,2,3，…
2．下列表中能成為隨機變量X的分布列的是( )
A.
X
－1
0
1
P
4、0.3
0.4
0.4
B.
X
1
2
3
P
0.4
0.7
－0.1
C.
X
－1
0
1
P
0.3
0.4
0.3
D.
X
1
2
3
P
0.3
0.4
0.4
3．已知隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，則P(X＝2)等于( )
A. B. C. D.
4．設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量ξ描述1次試驗成功的次數(shù)，則P(ξ＝0)等于( )
A．0 B. C. D.
5．(2011·蘇州模擬)從裝有3個紅球、2個白球的袋中隨機
5、取出2個球，設(shè)其中有ξ個紅球，則隨機變量ξ的概率分布列為__________________.
探究點一 離散型隨機變量的分布列
例1 一袋中裝有編號為1,2,3,4,5,6的6個大小相同的球，現(xiàn)從中隨機取出3個球，以X表示取出的最大號碼．
求X的分布列．
變式遷移1 將3個小球任意地放入4個大玻璃杯中去，杯子中球的最大數(shù)記為ξ，求ξ的分布列．
探究點二 超幾何分布
例2 (2011·淮南模擬)某校高三年級某班的數(shù)學(xué)課外活動小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽考試，用X表示其中的男生人數(shù)，求X的分布列.
6、
變式遷移2 從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽．設(shè)隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù)．
(1)求X的分布列；
(2)求“所選3人中女生人數(shù)X≤1”的概率．
探究點三 離散型隨機變量分布列的應(yīng)用
例3 袋中裝著標有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個，從袋中任取3個小球，按3個小球上最大數(shù)字的9倍計分，每個小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3個小球上的最大數(shù)字，求：
(1)取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率；
(2)隨機變量X的分布列；
(3)計分介于20分到40分之間的概率．
7、
變式遷移3 袋中有4個紅球，3個黑球，從袋中隨機地抽取4個球，設(shè)取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6的概率．
1．離散型隨機變量的概率分布列是求隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差的基礎(chǔ)，而求分布列需要綜合應(yīng)用排列、組合和概率的相關(guān)知識，是高考考查的重點內(nèi)容之一．復(fù)習(xí)時應(yīng)注意：分布列的計算是概率部分計算的延伸，正確計算的基礎(chǔ)是對基本概念的理解，注意明確數(shù)學(xué)符號的含義．
2．求解離散型隨機變量的概率分布問題的步驟：
(1)明確隨機變量的取值范圍，即找出隨機變量X所
8、有可能取值xi(i＝1,2，…，n)；
(2)求出每個隨機變量值的概率P(X＝xi)＝Pi；
(3)用數(shù)表表示出分布列．
3．求解離散型隨機變量的概率分布問題時的注意事項：
(1)搞清隨機變量的每一個取值所對應(yīng)的基本隨機事件；
(2)計算必須準確無誤；
(3)注意運用概率分布的兩條性質(zhì)檢驗所求概率分布是否正確．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為
ξ
－1
0
1
P
1－2q
q2
則q的值為( )
A．1 B．1± C．1＋ D．1－
2．(2011·聊城調(diào)
9、研)袋中有大小相同的5只鋼球，分別標有1,2,3,4,5五個號碼，任意抽取2個球，設(shè)2個球號碼之和為X，則X的所有可能取值個數(shù)為( )
A．25 B．10 C．7 D．6
3．已知隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3,4.則P(2<ξ≤4)等于( )
A. B. C. D.
4．已知隨機變量ξ的概率分布如下：
ξ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
m
則P(ξ＝10)等于( )
A. B. C. D.
5．在15個村莊中有7個村莊交通
10、不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于的是( )
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011·宜城月考)若某一射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)X≥7”的概率是________．
7．某電子管正品率為，次品率為，現(xiàn)對該批電子管有放回地進行測試，設(shè)第ξ次首次測到正品，
11、則P(ξ＝3)＝______.
8.
如圖所示，A、B兩點5條連線并聯(lián)，它們在單位時間內(nèi)能通過的最大信息量依次為2,3,4,3,2.現(xiàn)記從中任取三條線且在單位時間內(nèi)都通過的最大信息總量為ξ，則P(ξ≥8)＝_______.
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知隨機變量ξ的分布列為
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
分別求出隨機變量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列．
10．(12分)(2011·蕪湖模擬)設(shè)離散型隨機變量ξ的分布列P＝ak，k＝1,2，3,4,5.
(1)求常數(shù)a的值
12、；
(2)求P；
(3)求P.
11．(14分)某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件，一用戶在購進該批產(chǎn)品前先取出3箱，再從每箱中任意抽取2件產(chǎn)品進行檢驗，設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品．
(1)用ξ表示抽檢的6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求ξ的分布列；
(2)若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品被用戶拒絕購買的概率．
學(xué)案66 離散型隨機變量及其分布列
自主梳理
1．(1)隨機變量 離散型隨機變量 (2)①≥?、诟怕手?
2．兩
13、點分布 3.
自我檢測
1．B [除了白球外，其他的還有6個球，因此取到白球時取球次數(shù)最少為1次，最多為7次．]
2．C [A、D的概率之和不等于1，B中P(3)＝－0.1<0，故均不正確，所以選C.]
3．C [由分布列的性質(zhì)知＋＋＝1，
∴a＝3，∴P(X＝2)＝＝.]
4．C [∵P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)
＝P(ξ＝0)＋2P(ξ＝0)＝3P(ξ＝0)＝1，∴P(ξ＝0)＝.]
5.
ξ
0
1
2
P
解析 ∵P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴
ξ
0
1
2
P
課堂活動區(qū)
例1 解題
14、導(dǎo)引 求離散型隨機變量的分布列步驟是：(1)找出隨機變量X的所有可能取值xi(i＝1,2，…，)；(2)求出取各值xi的概率P(X＝xi)；(3)列表．求出分布列后要注意應(yīng)用性質(zhì)檢驗所求的結(jié)果是否準確．
解 X的可能取值為3,4,5,6，
從而有：P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.
故X的分布列為
X
3
4
5
6
P
變式遷移1 解 依題意可知，杯子中球的最大數(shù)ξ的所有可能值為1,2,3，當ξ＝1時，對應(yīng)于4個杯子中恰有三個杯子各放一球的情形；當ξ＝2時，對應(yīng)于4個杯子中恰有一個杯子放兩球的情形；當ξ＝3時，對應(yīng)
15、于4個杯子恰有一個杯子放三個球的情形．從而有P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝3)＝＝.
∴ξ的分布列為
ξ
1
2
3
P
例2 解題導(dǎo)引 對于服從某些特殊分布的隨機變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出．超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)．
解 依題意，隨機變量X服從超幾何分布，
所以P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3,4)．
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
∴X的分布列為
X
0
1
2
3
4
P
變式遷
16、移2 解 (1)從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，所選的3人中女生隨機變量X＝0,1,2，其概率
P(X＝k)＝，k＝0,1,2，故X的分布列為：
X
0
1
2
P
(2)由(1)可得“所選3人中女生人數(shù)X≤1”的概率為
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
例3 解題導(dǎo)引 (1)是古典概型；(2)關(guān)鍵是確定X的所有可能取值；(3)計分介于20分到40分之間的概率等于X＝3與X＝4的概率之和．
解 (1)方法一 記“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”為事件A，則P(A)＝＝.
方法二 記“一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同”為事件A，
17、記“一次取出的3個小球上有兩個數(shù)字相同”為事件B，則事件A和事件B是對立事件．
因為P(B)＝＝，
所以P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
(2)隨機變量X的可能取值為2,3,4,5，取相應(yīng)值的概率分別為P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＋＝，
P(X＝4)＝＋＝，
P(X＝5)＝＋＝.
∴隨機變量X的分布列為
X
2
3
4
5
P
(3)由于按3個小球上最大數(shù)字的9倍計分，所以當計分介于20分～40分時，X的取值為3或4，所以所求概率為
P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
變式遷移3 解 (1)得分X的所有可能值為5,6,7,8.
P(X
18、＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝＝，
P(X＝8)＝＝.
∴X的分布列為
X
5
6
7
8
P
(2)得分大于6的概率為：
P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.
課后練習(xí)區(qū)
1．D [由分布列的性質(zhì)，有
解得q＝1－.
或由1－2q≥0?q≤，可排除A、B、C.]
2．C [X的可能取值為1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.]
3．B [∵＋＋＋＝1，∴a＝.
∴P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)
＝＋＝＋＝.]
4．C [P(ξ＝10)
19、＝1－＝.]
5．C [X服從超幾何分布
P(X＝k)＝，故k＝4.]
6．0.88
解析 環(huán)數(shù)X≥7的概率是：
0．09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.
7.
解析 P(ξ＝3)＝××＝.
8.
解析 方法一 由已知，ξ的取值為7,8,9,10，
∵P(ξ＝7)＝＝，P(ξ＝8)＝＝，
P(ξ＝9)＝＝，P(ξ＝10)＝＝，
∴ξ的概率分布列為
ξ
7
8
9
10
P
∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)
＝＋＋＝.
方法二 P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－＝.
9．解 由于η1＝ξ對于不同的ξ
20、有不同的取值η1，
所以η1的分布列為
η1
－1
－
0
1
P
(6分)
η2＝ξ2對于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分別取相同的值4與1，即η2取4這個值的概率應(yīng)是ξ取－2與2值的概率與合并的結(jié)果，η2取1這個值的概率為ξ?。?與1的概率與合并的結(jié)果，故η2的分布列為
η2
0
1
4
9
P
(12分)
10．解 (1)由離散型隨機變量的性質(zhì)，得
a·1＋a·2＋a·3＋a·4＋a·5＝1，解得a＝.
(2)由(1)，得P＝k，k＝1,2,3,4,5.
方法一 P
＝P＋P＋P(ξ＝1)
＝＋＋＝.(7分)
方法二 P＝1－P
＝1－
＝1－＝.(7分)
(3)∵<ξ<，∴ξ＝，，，∴P
＝P＋P＋P
＝＋＋＝.(12分)
11．解 (1)ξ的可能取值為0,1,2,3.(1分)
P(ξ＝0)＝·＝＝，(3分)
P(ξ＝1)＝·＋·＝，(5分)
P(ξ＝2)＝·＋·＝.(7分)
P(ξ＝3)＝·＝.(9分)
故ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
(11分)
(2)所求的概率為P＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝.(14分)
11
【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 離散型隨機變量及其分布列學(xué)案 理 新人教A版
