人教A版文科數(shù)學(xué)課時試題及解析（53）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系A(chǔ)

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課時作業(yè)(五十三)A　[第53講　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系] [時間：45分鐘　分值：100分] 1．過點(diǎn)P(－1,0)的直線l與拋物線y2＝5x相切，則直線l的斜率為(　　) A．± B．± C．± D．± 2．直線y＝x＋3與雙曲線－＝1的交點(diǎn)個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．0 3．雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線與拋物線y＝x2＋1相切，則雙曲線的離心率是(　　) A. B．2 C. D. 4．方程＋＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 5．直線y＝x＋m與拋物線x2＝2y相切，則m＝(　　) A．－ B．－ C．－ D. 6．“≤a”是“曲線Ax＋By＋C＝0與＋＝1(a>b>0)有公共點(diǎn)”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 7．拋物線x2＝16y的準(zhǔn)線與雙曲線－＝1的兩條漸近線所圍成的三角形的面積是(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 8．橢圓＋＝1(a>b>0)的半焦距為c，若直線y＝2x與橢圓的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰為c，則橢圓的離心率為(　　) A. B.－1 C. D.－1 9． 已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左頂點(diǎn)與拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－1)，則雙曲線的焦距為(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 10．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過點(diǎn)(p,0)作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，l2與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，l1的斜率為k，某同學(xué)已正確求得弦PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則弦MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為________． 11．若直線y＝(a＋1)x－1與y2＝ax恰有一個公共點(diǎn)，則a＝________. 12． 已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)和橢圓＋＝1有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為________________． 13． 已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)A，與C的一個交點(diǎn)為B.若＝，則p＝________. 14．(10分) 已知動圓P過點(diǎn)F且與直線y＝－相切． (1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程； (2)過點(diǎn)F作一條直線交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，軌跡C在A，B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)N，M為線段AB的中點(diǎn)，求證：MN⊥x軸． 15．(13分) 已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的長軸長為4. (1)若以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線y＝x＋2相切，求橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)； (2)若點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，記直線PM，PN的斜率分別為kPM，kPN，當(dāng)kPM·kPN＝－時，求橢圓的方程． 16．(12分)已知圓C1的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝，橢圓C2的方程為＋＝1(a>b>0)，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程． 課時作業(yè)(五十三)A 【基礎(chǔ)熱身】 1．C　[解析] 顯然斜率存在不為0，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，代入拋物線方程消去x得ky2－5y＋5k＝0，由Δ＝(－5)2－4×5k2＝0，得k＝±.故選C. 2．A　[解析] 因?yàn)橹本€y＝x＋3與雙曲線的漸近線y＝x平行，所以它與雙曲線只有1個交點(diǎn)．故選A. 3．C　[解析] 設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，則切線斜率為k＝y(tǒng)′＝2x0，依題意有＝2x0.又y0＝x＋1，解得x0＝±1，所以＝2x0＝2，b＝2a，所以e＝＝.故選C. 4．m<且m≠0　[解析] 首先m≠0，m≠1，根據(jù)已知，m2<(m－1)2，即m2－(m2－2m＋1)<0， 解得m<.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m<且m≠0. 【能力提升】 5．A　[解析] 將直線方程代入拋物線方程，得x2－2x－2m＝0，由Δ＝4＋8m＝0，得m＝－.故選A. 6．B　[解析] 如果兩曲線有公共點(diǎn)，可得橢圓中心到直線的距離d＝≤a；反之不一定成立．故選B. 7．A　[解析] 拋物線的準(zhǔn)線為y＝－4，雙曲線的兩條漸近線為y＝±x，這兩條直線與y＝－4的交點(diǎn)是A(－4，－4)，B(4，－4)，故圍成三角形的面積為 S＝|AB|×4＝×8×4＝16.故選A. 8．D　[解析] 依題意直線y＝2x與橢圓的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(c,2c)，所以＋＝1，消去b整理得a2－2ac－c2＝0，所以e2＋2e－1＝0，解得e＝－1±.又e∈(0,1)，所以e＝－1.故選D. 9．B　[解析] 雙曲線－＝1的漸近線為y＝±x，由雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－1)得－＝－2，即p＝4.又∵＋a＝4，∴a＝2，將(－2，－1)代入y＝x得b＝1，　 ∴c＝＝＝，∴2c＝2. 10．(k2p＋p，－kp)　[解析] 因?yàn)閮芍本€互相垂直，所以直線l2的斜率為－，只需將弦PQ中點(diǎn)坐標(biāo)中的k替換為－，就可以得到弦MN的中點(diǎn)坐標(biāo)，于是得弦MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(k2p＋p，－kp)． 11．0或－1或－　[解析] 由得(a＋1)y2－ay－a＝0.當(dāng)a≠－1時，令Δ＝a2＋4a(a＋1)＝0，解得a＝0或a＝－；當(dāng)a＝－1時，方程僅有一個根y＝－1，符合要求．所以a＝0或－1或－. 12.－＝1　[解析] 橢圓方程為＋＝1，則c2＝a2－b2＝7，即c＝，又雙曲線離心率為橢圓離心率的2倍，所以雙曲線的離心率為e＝，又c＝，所以a＝2，所以b2＝c2－a2＝7－4＝3，所以雙曲線方程為－＝1. 13．2　[解析] 拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，過點(diǎn)M的直線方程為y＝(x－1)，所以交點(diǎn)A.因?yàn)椋?，所以點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式得B.又點(diǎn)B在拋物線上，于是32＝2p×，即p2＋4p－12＝0，解得p＝－6(舍去)或p＝2. 14．[解答] (1)由已知，點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于到直線y＝－的距離，根據(jù)拋物線的定義，可得動圓圓心P的軌跡C為拋物線，其方程為x2＝y(tǒng). (2)證明：設(shè)A(x1，x)，B(x2，x)． ∵y＝x2，∴y′＝2x， ∴AN，BN的斜率分別為2x1,2x2， 故AN的方程為y－x＝2x1(x－x1)， BN的方程為y－x＝2x2(x－x2)， 即 兩式相減，得xN＝. 又xM＝， 所以M，N的橫坐標(biāo)相等，于是MN⊥x軸． 15．[解答] (1)由b＝得b＝， ∴又2a＝4，a＝2，a2＝4，b2＝2， c2＝a2－b2＝2， ∴兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(－，0)． (2)由于過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱， 不妨設(shè)：M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)， M，N，P在橢圓上，則它們滿足橢圓方程，故有＋＝1，＋＝1，兩式相減得：＝－. 由題意它們的斜率存在，則kPM＝，kPN＝， kPM·kPN＝·＝＝－， 則－＝－，由a＝2得b＝1， 故所求橢圓的方程為＋y2＝1. 【難點(diǎn)突破】 16．[解答] 由e＝，得＝，得a2＝2c2，b2＝c2. 設(shè)橢圓C2方程為＋＝1，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由圓心為(2,1)，得x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又＋＝1，＋＝1， 兩式相減，得＋＝0. 所以＝－＝－1， 所以直線AB的方程為y－1＝－(x－2)， 即x＋y－3＝0. 將上述方程代入＋＝1， 得3x2－12x＋18－2b2＝0，(*) 又直線AB與橢圓C2相交，所以Δ＝24b2－72>0. 且x1，x2是方程(*)的兩根， 所以x1＋x2＝4，x1x2＝6－. 由|AB|＝|x1－x2|＝ ＝2×， 得×＝2×. 解得b2＝8，故所求橢圓方程為＋＝1. 6