湖南省高三六校聯(lián)考數(shù)學(xué)理

湖南省2013年六校聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）考試試題卷 湘潭市一中、長沙市一中、師 大 附中、 岳陽市一中、株洲市二中、常德市一中時量120分鐘 滿分150分一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1、已知全集U=0,1,2,3,4,5，集合A=0,1,3，集合B=0,3,4,5，則（ ）A . B. C. D. 2、下列說法中正確的是（ ）A“”是“”必要不充分條件；B命題“對，恒有”的否定是“，使得”CmR，使函數(shù)f(x)x2mx (xR)是奇函數(shù)D設(shè)，是簡單命題，若是真命題，則也是真命題；3、兩個變量與的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，計算出它們的相關(guān)指數(shù)如下，其中擬合效果最好的模型是 ( ) A.模型1（相關(guān)指數(shù)為0.97） B.模型2（相關(guān)指數(shù)為0.89）C.模型3（相關(guān)指數(shù)為0.56 ） D.模型4（相關(guān)指數(shù)為0.45）4、在三角形OAB中，已知OA=6，OB=4，點P是AB的中點，則（ ）A 10 B -10 C 20 D -205、 如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體體積是（ ） A B C D 6、已知（為銳角）， 則（ ）A B C D 7、如圖,拋物線的頂點在坐標原點，焦點為，過拋物線上一點 向準線作垂線，垂足為,若為等邊三角形,則拋物線的標準方程是 ( ） A B C D. 8、已知函數(shù)f (x)= 與 g(x)=sin有兩個公共點, 則在下列函數(shù)中滿足條件的周期最大的g(x)=（ ）A B C D 二、填空題（本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號的橫線上）（一）選做題（請考生在第9,10,11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分 ） 9. 以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，已知曲線C的參數(shù)方程是，直線的極坐標方程是，則直線與曲線C相交的交點個數(shù)是_.10. 如圖，是圓的直徑，點在的延長線上，且切圓于，是的中點， 直線交圓于點則11、設(shè)，則函數(shù)y = 的最大值是開始 S=0,T=0,n=00 S=S+4 n=n+2 T=T+n 輸出T 結(jié)束 是 否 (二) 必做題（1216題）12、設(shè)復(fù)數(shù) (其中為虛數(shù)單位)，則等于 13、已知的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大， 則含項的系數(shù)= _. 14、執(zhí)行右邊的程序框圖，若輸出的T=20， 則循環(huán)體的判斷框內(nèi)應(yīng)填入的的條件是（填相應(yīng)編號） 。（TS，TS，TS，TS） 15. 設(shè)矩形區(qū)域由直線和所圍成的平面圖形，區(qū)域是由余弦函數(shù)、 及所圍成的平面圖形在區(qū)域內(nèi)隨機的拋擲一粒豆子，則該豆子落在區(qū)域的概率是16. 用三個不同字母組成一個含個字母的字符串，要求由字母 開始，相鄰兩個字母不能相同. 例如時，排出的字符串是；時排出的字符串是,.記這種含個字母的所有字符串中，排在最后一個的字母仍是的字符串的個數(shù)為. 故. 三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17、（本題滿分12分）駕駛證考試規(guī)定需依次按科目一（理論）、科目二（場內(nèi)）、科目三（場外）進行，只有當(dāng)上一科目考試合格才可以參加下一科目的考試，每個科目只允許有一次補考機會，三個科目考試均合格方可獲得駕駛證?，F(xiàn)張某已通過了科目一的考試，假設(shè)他科目二考試合格的概率為，科目三考試合格的概率為，且每次考試或補考合格與否互不影響。（1）求張某不需要補考就可獲得駕駛證的概率。（2）若張某不放棄所有考試機會，記為參加考試的次數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望。18（本題滿分12分）由五個直角邊為的等腰直角三角形拼成如圖的平面凹五邊形 ACDEF，沿AD折起，使平面ADEF平面ACD.（1） 求證：FBAD（2） 求二面角C-EF-D的正切值. 19、（本題滿分12分）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，滿足，且的等差中項，數(shù)列滿足，其前項和為，且（1）求數(shù)列，的通項公式（2）數(shù)列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍。20.（本題滿分13分）某小型加工廠生產(chǎn)某種機器部件，每個月投產(chǎn)一批。 該部件由5個A零件和2個B零件構(gòu)成，加工廠采購這兩種零件的毛坯進行精加工, 再組裝成部件, 每加工成一個部件需要消耗10度電。 已知A、B兩種零件毛坯采購價格均為4元/個, 但如果同一種零件毛坯一次性采購超過1千個時，超過的部分可按優(yōu)惠價3.6元/個結(jié)算。電費按月交納, 電價按階梯電價計算：每月用電在5000度以內(nèi)1元/度, 超過5000度的部分每度電增加c （c > 0）元. 設(shè)每月還需要其他成本（不含人工成本）600元. 在不考慮人工成本的條件下, 問：(1) 每月若投入資金1萬元, 可生產(chǎn)多少件部件?(2) 每月若有2萬元的資金可供使用, 但要平均每件的成本最低, 應(yīng)投入多少資金?21. （本題滿分13分）已知P（0，-1）與Q（0，1）是直角坐標平面內(nèi)兩定點，過曲線C上一動點M（x,y)作Y軸的垂線，垂足為N，點E滿足，且。1） 求曲線C的方程。2） 設(shè)曲線與x軸正半軸交于點，任作一直線與曲線交于兩點（不與點重合）且，求證過定點并求定點的坐標。22、（本題滿分13分）已知函數(shù) （1）討論的單調(diào)性與極值點。（2）若, 證明當(dāng)時，的圖象恒在的圖象上方.（3）證明湖南省2013年六校聯(lián)考數(shù)學(xué)考試試題答案1、 選擇題： 題號12345678答案CBABBBDC二、填空題：9、210、，因是的中點，所以11、由柯西不等式，得或用基本不等式：12、2i13、2814 15、陰影面積為，故所求的概率為16、答案： 解析： 所以，所以， 兩式相減得：當(dāng)為偶數(shù)時，利用累加法得= 所以，；當(dāng)為奇數(shù)時，利用累加法得= 所以，.綜上所述: 三、解答題答案：17、答案：解：設(shè)“科目二第一次考試合格”為事件A1； “科目二補考考試合格”為事件A2；“科目三第一次考試合格”為事件B1； “科目三補考考試合格”為事件B2；則A1、A2、B1、B2相互獨立。（1）他不需要補考就可獲得駕證的概率為： 5分（2）的可能取值為2，3，4 9分的分布列為234P 12分18、 答案： 解：法一：(1)作FOAD于O，連OB. .(1分）等腰直角三角形AFD, 點O為AD的中點.而等腰直角三角形ABD，BOAD, 而FOBO=O，AD平面FOB, FBAD .（5分）(2) 等腰直角三角形ADB和等腰直角三角形CDB, ADC=90°， CDAD .（7分）又 平面ADEF平面ACD，平面ADEF平面ACD=AD， CD平面ADEF. 作DMFE，連接MC， DMC即為二面角C-EF-D的平面角. .（10分） 在直角三角形MDC中，MDC=90°，MD=1 , DC=2 , tanDMC=2 , 二面角C-EF-D的正切值為2. .（12分）法二：（1）作FOAD于O，連OB，平面ADEF平面ACD，F(xiàn)O平面ADC.等腰直角三角形AFD, 點O為AD的中點.而等腰直角三角形ABD，BOAD如圖，建立空間直角坐標系，F(xiàn)（0,0,1），A（1,0,0），D（-1,0,0）,C（-1,2,0）,B（0,1,0）E（-2,0,1 ) .(2分）,FBAD .(5分）（2） 顯然平面DEF的法向量， .(7分）平面CEF中，,平面CEF的法向量， .(10分） 二面角C-EF-D的正切值為2. .(12分）19、 答案：解（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為則是的等差中項 .(3分）依題意，數(shù)列為等差數(shù)列，公差又 . .(6分）（2） . .(8分）不等式 化為 .(9分）對一切恒成立。而當(dāng)且僅當(dāng)即時等式成立。 .(12分）20、 答案： 解：設(shè)產(chǎn)量為x件, 總成本y元, 生產(chǎn)200件需要1000個A零件, 生產(chǎn)500件需要1000個B零件, 并需要5000度電。 .(1分)當(dāng)時, y=(5x+2x)+10x+600=38x+600 y .(3分)當(dāng)時, y=(5x+2x)-(5x-1000)+10x+600=36x+1000y .(5分)當(dāng)x>500時, y=(5x+2x)-(7x-2000)+ 10x+(10x-5000)+600=(35.2+10c)x+1400-5000c y>19000 .(7分) (1) 當(dāng)y=10000時, 20, 故令 36x+1000=10000, 得 x=250 答：若投入資金10000元, 可生產(chǎn)250件. .(8分)(2) 平均每件的成本 .(10分) 在(0, 500上遞減, 在500, )上：若1400-5000c>0, 即c<0.28時依然遞減, 故可全部投入20000元資金使平均每件的成本最低；若1400-5000c<0, 即c>0.28時遞增, x=500時平均每件的成本最低, 可投入資金19000元.若1400-5000c=0, 即c=0.28時為定值38, 可投入19000元至20000元任意數(shù)值的資金. .(13分) 21、 答案：解：（1）依題意知N（0，y），. 又 .（2分） .（3分） 橢圓的標準方程為 （5分）（2）設(shè)直線的斜率存在，設(shè)為，方程為 由 得： （6分） （7分）又 （8分）又即即 將代入并整理得： 或 （9分）當(dāng)時，式成立此時直線的方程為, 過定點（ （10分）當(dāng)時，式成立此時直線的方程為過點與直線不過點矛盾。 （11分）若直線的斜率不存在，設(shè)的方程為由 得由得即解之得 （12分）當(dāng)時，直線的方程為過點當(dāng)時，直線的方程為過點（舍）由上可知，直線過定點 （13分）22、 答案：(添加計分標準)解：（1） .(1分）當(dāng)時在（0，）上恒成立在(0,+)單調(diào)遞增,此時無極值點 .(2分）當(dāng)在定義域上的變化情況如下表：x（增減增由此表可知在（0 , 1）和（上單調(diào)遞增, 在（1 , ）上單調(diào)遞減為極大值點，為極小值點 . .(4分）（2）時 令.(5分） 當(dāng)時時,在（0 1）遞減,在（1，上遞增. 恒成立 .(7分）即時恒成立當(dāng) 的圖象恒在的圖象的上方 .(8分）（3）由（2）知即. .(9分）令 .(10分）=. .(11分）= 不等式成立. .(13分）·13·