重點(diǎn)題型第五版大學(xué)物理答案第八章(馬文蔚)

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1、第八章　電磁感應(yīng)　電磁場(chǎng) 8 －1　一根無(wú)限長(zhǎng)平行直導(dǎo)線載有電流I，一矩形線圈位于導(dǎo)線平面內(nèi)沿垂直于載流導(dǎo)線方向以恒定速率運(yùn)動(dòng)（如圖所示），則（　　） （A） 線圈中無(wú)感應(yīng)電流 （B） 線圈中感應(yīng)電流為順時(shí)針?lè)较? （C） 線圈中感應(yīng)電流為逆時(shí)針?lè)较? （D） 線圈中感應(yīng)電流方向無(wú)法確定 分析與解　由右手定則可以判斷，在矩形線圈附近磁場(chǎng)垂直紙面朝里，磁場(chǎng)是非均勻場(chǎng)，距離長(zhǎng)直載流導(dǎo)線越遠(yuǎn)，磁場(chǎng)越弱．因而當(dāng)矩形線圈朝下運(yùn)動(dòng)時(shí)，在線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電流，感第八章　電磁感應(yīng)　電磁場(chǎng) 8 －1　一根無(wú)限長(zhǎng)平行直導(dǎo)線載有電流I，一矩形線圈位于導(dǎo)線平面內(nèi)沿垂直于載流導(dǎo)線方向以恒定速率運(yùn)動(dòng)（如圖所示

2、），則（　　） （A） 線圈中無(wú)感應(yīng)電流 （B） 線圈中感應(yīng)電流為順時(shí)針?lè)较? （C） 線圈中感應(yīng)電流為逆時(shí)針?lè)较? （D） 線圈中感應(yīng)電流方向無(wú)法確定 分析與解　由右手定則可以判斷，在矩形線圈附近磁場(chǎng)垂直紙面朝里，磁場(chǎng)是非均勻場(chǎng)， 應(yīng)電流方向由法拉第電磁感應(yīng)定律可以判定．因而正確答案為（B）． 8 －2 　將形狀完全相同的銅環(huán)和木環(huán)靜止放置在交變磁場(chǎng)中，并假設(shè)通過(guò)兩環(huán)面的磁通量隨時(shí)間的變化率相等，不計(jì)自感時(shí)則（　?。? （A） 銅環(huán)中有感應(yīng)電流，木環(huán)中無(wú)感應(yīng)電流 （B） 銅環(huán)中有感應(yīng)電流，木環(huán)中有感應(yīng)電流 （C） 銅環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大，木環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)小 （D） 銅環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)

3、勢(shì)小，木環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大 分析與解　根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，銅環(huán)、木環(huán)中的感應(yīng)電場(chǎng)大小相等， 但在木環(huán)中不會(huì)形成電流．因而正確答案為（A）． 8 －3　有兩個(gè)線圈，線圈1 對(duì)線圈2 的互感系數(shù)為M21 ，而線圈2 對(duì)線圈1的互感系數(shù)為M12 ．若它們分別流過(guò)i1 和i2 的變化電流且，并設(shè)由i2變化在線圈1 中產(chǎn)生的互感電動(dòng)勢(shì)為ε12 ，由i1 變化在線圈2 中產(chǎn)生的互感電動(dòng)勢(shì)為ε21 ，下述論斷正確的是（　?。? （A） ， （B） ， （C）， （D） ， 分析與解　教材中已經(jīng)證明M21 ＝M12 ，電磁感應(yīng)定律；．因而正確答案為（D）． 8 －4　對(duì)位移電流，下述四

4、種說(shuō)法中哪一種說(shuō)法是正確的是（　?。? （A） 位移電流的實(shí)質(zhì)是變化的電場(chǎng) （B） 位移電流和傳導(dǎo)電流一樣是定向運(yùn)動(dòng)的電荷 （C） 位移電流服從傳導(dǎo)電流遵循的所有定律 （D） 位移電流的磁效應(yīng)不服從安培環(huán)路定理 分析與解　位移電流的實(shí)質(zhì)是變化的電場(chǎng)．變化的電場(chǎng)激發(fā)磁場(chǎng)，在這一點(diǎn)位移電流等效于傳導(dǎo)電流，但是位移電流不是走向運(yùn)動(dòng)的電荷，也就不服從焦耳熱效應(yīng)、安培力等定律．因而正確答案為（A）． 8 －5　下列概念正確的是（　?。? （A） 感應(yīng)電場(chǎng)是保守場(chǎng) （B） 感應(yīng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線是一組閉合曲線 （C） ，因而線圈的自感系數(shù)與回路的電流成反比 （D） ，回路的磁通量越大，回路的自感

5、系數(shù)也一定大 分析與解　對(duì)照感應(yīng)電場(chǎng)的性質(zhì)，感應(yīng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線是一組閉合曲線．因而 正確答案為（B）． 8 －6　一鐵心上繞有線圈100匝，已知鐵心中磁通量與時(shí)間的關(guān)系為，求在時(shí)，線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)． 分析　由于線圈有N 匝相同回路，線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于各匝回路的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，在此情況下，法拉第電磁感應(yīng)定律通常寫成，其中稱為磁鏈． 解　線圈中總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 當(dāng) 時(shí)，． 8 －7　有兩根相距為d 的無(wú)限長(zhǎng)平行直導(dǎo)線，它們通以大小相等流向相反的電流，且電流均以的變化率增長(zhǎng)．若有一邊長(zhǎng)為d 的正方形線圈與兩導(dǎo)線處于同一平面內(nèi)，如圖所示．求線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)． 分析　本題

6、仍可用法拉第電磁感應(yīng)定律來(lái)求解．由于回路處在非均勻磁場(chǎng)中，磁通量就需用來(lái)計(jì)算（其中B 為兩無(wú)限長(zhǎng)直電流單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度B1 與B2 之和）． 為了積分的需要，建立如圖所示的坐標(biāo)系．由于B 僅與x 有關(guān)，即，故取一個(gè)平行于長(zhǎng)直導(dǎo)線的寬為ｄx、長(zhǎng)為d 的面元ｄS，如圖中陰影部分所示，則，所以，總磁通量可通過(guò)線積分求得（若取面元，則上述積分實(shí)際上為二重積分）．本題在工程技術(shù)中又稱為互感現(xiàn)象，也可用公式求解． 解1　穿過(guò)面元ｄS 的磁通量為 因此穿過(guò)線圈的磁通量為 再由法拉第電磁感應(yīng)定律，有 解2　當(dāng)兩長(zhǎng)直導(dǎo)線有電流I 通過(guò)時(shí)，穿過(guò)線圈的磁通量為 線圈與兩長(zhǎng)直導(dǎo)線間

7、的互感為 當(dāng)電流以變化時(shí)，線圈中的互感電動(dòng)勢(shì)為 試想：如線圈又以速率v 沿水平向右運(yùn)動(dòng)，如何用法拉第電磁感應(yīng)定律求圖示位置的電動(dòng)勢(shì)呢？此時(shí)線圈中既有動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，又有感生電動(dòng)勢(shì)．設(shè)時(shí)刻t，線圈左端距右側(cè)直導(dǎo)線的距離為ξ，則穿過(guò)回路的磁通量，它表現(xiàn)為變量I和ξ的二元函數(shù)，將Φ代入 即可求解，求解時(shí)應(yīng)按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，注意，其中，再令ξ＝d 即可求得圖示位置處回路中的總電動(dòng)勢(shì)．最終結(jié)果為兩項(xiàng)，其中一項(xiàng)為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，另一項(xiàng)為感生電動(dòng)勢(shì)． 8 －8　有一測(cè)量磁感強(qiáng)度的線圈，其截面積S ＝4.0 cm2 、匝數(shù)N ＝160 匝、電阻R ＝50Ω．線圈與一內(nèi)阻Ri＝30Ω的沖擊電流計(jì)相連．若開(kāi)始

8、時(shí)，線圈的平面與均勻磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B 相垂直，然后線圈的平面很快地轉(zhuǎn)到與B 的方向平行．此時(shí)從沖擊電流計(jì)中測(cè)得電荷值．問(wèn)此均勻磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B 的值為多少？ 分析　在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中，閉合回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流與磁通量變化的快慢有關(guān)，而在一段時(shí)間內(nèi)，通過(guò)導(dǎo)體截面的感應(yīng)電量只與磁通量變化的大小有關(guān)，與磁通量變化的快慢無(wú)關(guān)．工程中常通過(guò)感應(yīng)電量的測(cè)定來(lái)確定磁場(chǎng)的強(qiáng)弱． 解　在線圈轉(zhuǎn)過(guò)90°角時(shí)，通過(guò)線圈平面磁通量的變化量為 因此，流過(guò)導(dǎo)體截面的電量為 則 8 －10　如圖（ａ）所示，把一半徑為R 的半圓形導(dǎo)線OP 置于磁感強(qiáng)度為B的均

9、勻磁場(chǎng)中，當(dāng)導(dǎo)線以速率v 水平向右平動(dòng)時(shí)，求導(dǎo)線中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E 的大小，哪一端電勢(shì)較高？ 分析　本題及后面幾題中的電動(dòng)勢(shì)均為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，除仍可由求解外（必須設(shè)法構(gòu)造一個(gè)閉合回路），還可直接用公式求解． 在用后一種方法求解時(shí)，應(yīng)注意導(dǎo)體上任一導(dǎo)線元ｄl 上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì).在一般情況下，上述各量可能是ｄl 所在位置的函數(shù)．矢量（v ×B）的方向就是導(dǎo)線中電勢(shì)升高的方向． 解1　如圖（ｂ）所示，假想半圓形導(dǎo)線OP 在寬為2R 的靜止形導(dǎo)軌上滑動(dòng)，兩者之間形成一個(gè)閉合回路．設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榛芈氛?，任一時(shí)刻端點(diǎn)O 或 端點(diǎn)P 距 形導(dǎo)軌左側(cè)距離為x，則 即 由于靜止的 形導(dǎo)軌上的電

10、動(dòng)勢(shì)為零，則E ＝－2RvB．式中負(fù)號(hào)表示電動(dòng)勢(shì)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針，對(duì)OP 段來(lái)說(shuō)端點(diǎn)P 的電勢(shì)較高． 解2　建立如圖（c）所示的坐標(biāo)系，在導(dǎo)體上任意處取導(dǎo)體元ｄl，則 由矢量（v ×B）的指向可知，端點(diǎn)P 的電勢(shì)較高． 解3　連接OP 使導(dǎo)線構(gòu)成一個(gè)閉合回路．由于磁場(chǎng)是均勻的，在任意時(shí)刻，穿過(guò)回路的磁通量常數(shù).由法拉第電磁感應(yīng)定律可知，E ＝0 又因 E ＝EOP ＋EPO 即 EOP ＝－EPO ＝2RvB 由上述結(jié)果可知，在均勻磁場(chǎng)中，任意閉合導(dǎo)體回路平動(dòng)所產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為零；而任意曲線形導(dǎo)

11、體上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)就等于其兩端所連直線形導(dǎo)體上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)．上述求解方法是疊加思想的逆運(yùn)用，即補(bǔ)償?shù)姆椒ǎ? 8 －11　長(zhǎng)為L(zhǎng)的銅棒，以距端點(diǎn)r 處為支點(diǎn)，以角速率ω繞通過(guò)支點(diǎn)且垂直于銅棒的軸轉(zhuǎn)動(dòng).設(shè)磁感強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)與軸平行，求棒兩端的電勢(shì)差． 分析　應(yīng)該注意棒兩端的電勢(shì)差與棒上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)是兩個(gè)不同的概念，如同電源的端電壓與電源電動(dòng)勢(shì)的不同．在開(kāi)路時(shí)，兩者大小相等，方向相反（電動(dòng)勢(shì)的方向是電勢(shì)升高的方向，而電勢(shì)差的正方向是電勢(shì)降落的方向）．本題可直接用積分法求解棒上的電動(dòng)勢(shì)，亦可以將整個(gè)棒的電動(dòng)勢(shì)看作是OA 棒與OB 棒上電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，如圖（ｂ）所示．而EO A 和EO B 則

12、可以直接利用第８ －2 節(jié)例1 給出的結(jié)果． 解1　如圖（ａ）所示，在棒上距點(diǎn)O 為l 處取導(dǎo)體元ｄl，則 因此棒兩端的電勢(shì)差為 當(dāng)L ＞2r 時(shí)，端點(diǎn)A 處的電勢(shì)較高 解2　將AB 棒上的電動(dòng)勢(shì)看作是OA 棒和OB 棒上電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，如圖（ｂ）所示．其中 , 則 8 －12　如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng) 的導(dǎo)體棒OP，處于均勻磁場(chǎng)中，并繞OO′軸以角速度ω旋轉(zhuǎn)，棒與轉(zhuǎn)軸間夾角恒為θ，磁感強(qiáng)度B 與轉(zhuǎn)軸平行．求OP 棒在圖示位置處的電動(dòng)勢(shì)． 分析　如前所述，本題既可以用法拉第電磁感應(yīng)定律 計(jì)算（此時(shí)必須構(gòu)造一個(gè)包含OP導(dǎo)體在內(nèi)的閉合回路， 如直角三角形導(dǎo)體回路OPQO），

13、也可用來(lái)計(jì)算．由于對(duì)稱性，導(dǎo)體OP 旋轉(zhuǎn)至任何位置時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)與圖示位置是相同的． 解1　由上分析，得 由矢量的方向可知端點(diǎn)P 的電勢(shì)較高． 解2　設(shè)想導(dǎo)體OP 為直角三角形導(dǎo)體回路OPQO 中的一部分，任一時(shí)刻穿 過(guò)回路的磁通量Φ為零，則回路的總電動(dòng)勢(shì) 顯然，EQO ＝0，所以 由上可知，導(dǎo)體棒OP 旋轉(zhuǎn)時(shí)，在單位時(shí)間內(nèi)切割的磁感線數(shù)與導(dǎo)體棒QP 等效．后者是垂直切割的情況． 8 －13　如圖（ａ）所示，金屬桿AB 以勻速平行于一長(zhǎng)直導(dǎo)線移動(dòng)，此導(dǎo)線通有電流I ＝40A．求桿中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，桿的哪一端電勢(shì)較高？ 分析　本題可用兩種方法求解．（1）

14、 用公式求解，建立圖（a）所示的坐標(biāo)系，所取導(dǎo)體元，該處的磁感強(qiáng)度．（2） 用法拉第電磁感應(yīng)定律求解，需構(gòu)造一個(gè)包含桿AB 在內(nèi)的閉合回路．為此可設(shè)想桿AB在一個(gè)靜止的形導(dǎo)軌上滑動(dòng)，如圖（ｂ）所示．設(shè)時(shí)刻t，桿AB 距導(dǎo)軌下端CD的距離為y，先用公式求得穿過(guò)該回路的磁通量，再代入公式，即可求得回路的電動(dòng)勢(shì)，亦即本題桿中的電動(dòng)勢(shì)． 解1　根據(jù)分析，桿中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 式中負(fù)號(hào)表示電動(dòng)勢(shì)方向由B 指向A，故點(diǎn)A 電勢(shì)較高． 解2　設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榛芈稟BCD 的正向，根據(jù)分析，在距直導(dǎo)線x 處，取寬為ｄx、長(zhǎng)為y 的面元ｄS，則穿過(guò)面元的磁通量為 穿過(guò)回路的磁通量為 回路的電動(dòng)勢(shì)為

15、 由于靜止的形導(dǎo)軌上電動(dòng)勢(shì)為零，所以 式中負(fù)號(hào)說(shuō)明回路電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)槟鏁r(shí)針，對(duì)AB 導(dǎo)體來(lái)說(shuō)，電動(dòng)勢(shì)方向應(yīng)由B 指向A，故點(diǎn)A 電勢(shì)較高． 8 －14　如圖（ａ）所示，在“無(wú)限長(zhǎng)”直載流導(dǎo)線的近旁，放置一個(gè)矩形導(dǎo)體線框，該線框在垂直于導(dǎo)線方向上以勻速率v 向右移動(dòng)，求在圖示位置處，線框中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向． 分析　本題亦可用兩種方法求解．其中應(yīng)注意下列兩點(diǎn)：1．當(dāng)閉合導(dǎo)體線框在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，線框中的總電動(dòng)勢(shì)就等于框上各段導(dǎo)體中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和．如圖（ａ）所示，導(dǎo)體eh 段和fg 段上的電動(dòng)勢(shì)為零［此兩段導(dǎo)體上處處滿足］，因而線框中的總電動(dòng)勢(shì)為 其等效電路如圖（ｂ）所

16、示． 2．用公式求解，式中Φ是線框運(yùn)動(dòng)至任意位置處時(shí)，穿過(guò)線框的磁通量．為此設(shè)時(shí)刻t 時(shí)，線框左邊距導(dǎo)線的距離為ξ，如圖（c）所示，顯然ξ是時(shí)間t 的函數(shù)，且有．在求得線框在任意位置處的電動(dòng)勢(shì)E（ξ）后，再令ξ＝d，即可得線框在題目所給位置處的電動(dòng)勢(shì)． 解1　根據(jù)分析，線框中的電動(dòng)勢(shì)為 由Eef ＞Ehg 可知，線框中的電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)閑fgh． 解2　設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榫€框回路的正向．根據(jù)分析，在任意位置處，穿過(guò)線框的磁通量為 相應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 令ξ＝d，得線框在圖示位置處的電動(dòng)勢(shì)為 由E ＞0 可知，線框中電動(dòng)勢(shì)方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍? 　*8 －15　有一長(zhǎng)為l

17、，寬為b 的矩形導(dǎo)線框架，其質(zhì)量為m，電阻為R．在t ＝0時(shí)，框架從距水平面y ＝0 的上方h 處由靜止自由下落，如圖所示．磁場(chǎng)的分布為：在y ＝0 的水平面上方?jīng)]有磁場(chǎng)；在y ＝0 的水平面下方有磁感強(qiáng)度為B 的均勻磁場(chǎng)，B 的方向垂直紙面向里．已知框架在時(shí)刻t1 和t2 的位置如圖中所示．求在下述時(shí)間內(nèi)，框架的速度與時(shí)間的關(guān)系： （1） t1 ≥t ＞0，即框架進(jìn)入磁場(chǎng)前；（2） t2 ≥t≥t1 ，即框架進(jìn)入磁場(chǎng)， 但尚未全部進(jìn)入磁場(chǎng)；（3）t ＞t2 ，即框架全部進(jìn)入磁場(chǎng)后． 分析　設(shè)線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)（t1 時(shí)刻）和全部進(jìn)入磁場(chǎng)（t2 時(shí)刻）的瞬間，其速度分別為v10 和v20

18、．在情況（1）和（3）中，線框中無(wú)感應(yīng)電流，線框僅在重力作用下作落體運(yùn)動(dòng)，其速度與時(shí)間的關(guān)系分別為v＝gt（t ＜t1）和v ＝v20 ＋g（t－t2 ）（t ＞t2 ）．而在t1＜t＜t2這段時(shí)間內(nèi)，線框運(yùn)動(dòng)較為復(fù)雜，由于穿過(guò)線框回路的磁通量變化，使得回路中有感應(yīng)電流存在，從而使線框除受重力外，還受到一個(gè)向上的安培力FA ，其大小與速度有關(guān)，即．根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，此時(shí)線框的運(yùn)動(dòng)微分方程為，解此微分方程可得t1＜t＜t2 時(shí)間內(nèi)線框的速度與時(shí)間的關(guān)系式． 解?。?） 根據(jù)分析，在時(shí)間內(nèi)，線框?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動(dòng)，于是 其中時(shí)， （2） 線框進(jìn)入磁場(chǎng)后，受到向上的安培力為 根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律

19、，可得線框運(yùn)動(dòng)的微分方程 令，整理上式并分離變量積分，有 積分后將代入，可得 （3） 線框全部進(jìn)入磁場(chǎng)后（t ＞t2），作初速為v20 的落體運(yùn)動(dòng)，故有 8 －17　半徑為R ＝2.0 cm 的無(wú)限長(zhǎng)直載流密繞螺線管，管內(nèi)磁場(chǎng)可視為均勻磁場(chǎng)，管外磁場(chǎng)可近似看作零．若通電電流均勻變化，使得磁感強(qiáng)度B 隨時(shí)間的變化率為常量，且為正值，試求：（1） 管內(nèi)外由磁場(chǎng)變化激發(fā)的感生電場(chǎng)分布；（2） 如，求距螺線管中心軸r ＝5．0 cm處感生電場(chǎng)的大小和方向． 分析　變化磁場(chǎng)可以在空間激發(fā)感生電場(chǎng)，感生電場(chǎng)的空間分布與場(chǎng)源———變化的磁場(chǎng)（包括磁場(chǎng)的空間分布以及磁場(chǎng)的變化率

20、等）密切相關(guān)，即.在一般情況下，求解感生電場(chǎng)的分布是困難的．但對(duì)于本題這種特殊情況，則可以利用場(chǎng)的對(duì)稱性進(jìn)行求解．可以設(shè)想，無(wú)限長(zhǎng)直螺線管內(nèi)磁場(chǎng)具有柱對(duì)稱性，其橫截面的磁場(chǎng)分布如圖所示．由其激發(fā)的感生電場(chǎng)也一定有相應(yīng)的對(duì)稱性，考慮到感生電場(chǎng)的電場(chǎng)線為閉合曲線，因而本題中感生電場(chǎng)的電場(chǎng)線一定是一系列以螺線管中心軸為圓心的同心圓．同一圓周上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度Ek 的大小相等，方向沿圓周的切線方向．圖中虛線表示r ＜R和r ＞R 兩個(gè)區(qū)域的電場(chǎng)線．電場(chǎng)線繞向取決于磁場(chǎng)的變化情況，由楞次定律可知，當(dāng)時(shí)，電場(chǎng)線繞向與B 方向滿足右螺旋關(guān)系；當(dāng) 時(shí)，電場(chǎng)線繞向與前者相反． 解　如圖所示，分別在r ＜R 和r

21、 ＞R 的兩個(gè)區(qū)域內(nèi)任取一電場(chǎng)線為閉合回路l（半徑為r 的圓），依照右手定則，不妨設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榛芈氛颍? （1） r ＜R，　 r ＞R，　 由于，故電場(chǎng)線的繞向?yàn)槟鏁r(shí)針． （2） 由于r ＞R，所求點(diǎn)在螺線管外，因此 將r、R、的數(shù)值代入，可得，式中負(fù)號(hào)表示Ek的方向是逆時(shí)針的． 8 －19　截面積為長(zhǎng)方形的環(huán)形均勻密繞螺繞環(huán)，其尺寸如圖（ａ）所示，共有N 匝（圖中僅畫出少量幾匝），求該螺繞環(huán)的自感L． 分析　如同電容一樣，自感和互感都是與回路系統(tǒng)自身性質(zhì)（如形狀、匝數(shù)、介質(zhì)等）有關(guān)的量．求自感L 的方法有兩種：1．設(shè)有電流I 通過(guò)線圈，計(jì)

22、算磁場(chǎng)穿過(guò)自身回路的總磁通量，再用公式計(jì)算L．2．讓回路中通以變化率已知的電流，測(cè)出回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)EL ，由公式計(jì)算L．式中EL 和都較容易通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定，所以此方法一般適合于工程中．此外，還可通過(guò)計(jì)算能量的方法求解． 解　用方法1 求解，設(shè)有電流I 通過(guò)線圈，線圈回路呈長(zhǎng)方形，如圖（ｂ）所示，由安培環(huán)路定理可求得在R1 ＜r ＜R2 范圍內(nèi)的磁場(chǎng)分布為 由于線圈由N 匝相同的回路構(gòu)成，所以穿過(guò)自身回路的磁鏈為 則 若管中充滿均勻同種磁介質(zhì)，其相對(duì)磁導(dǎo)率為μr ，則自感將增大μr倍． 8 －20　如圖所示，螺線管的管心是兩個(gè)套在一起的同軸圓柱體，其截面積分別為S1 和S

23、2 ，磁導(dǎo)率分別為μ1 和μ2 ，管長(zhǎng)為l，匝數(shù)為N，求螺線管的自感．（設(shè)管的截面很?。? 分析　本題求解時(shí)應(yīng)注意磁介質(zhì)的存在對(duì)磁場(chǎng)的影響．在無(wú)介質(zhì)時(shí)，通電螺線管內(nèi)的磁場(chǎng)是均勻的，磁感強(qiáng)度為B0 ，由于磁介質(zhì)的存在，在不同磁介質(zhì)中磁感強(qiáng)度分別為μ1 B0 和μ2 B0 ．通過(guò)線圈橫截面的總磁通量是截面積分別為S1 和S2 的兩部分磁通量之和．由自感的定義可解得結(jié)果． 解　設(shè)有電流I 通過(guò)螺線管，則管中兩介質(zhì)中磁感強(qiáng)度分別為 , 通過(guò)N 匝回路的磁鏈為 則自感 8 －21　有兩根半徑均為a 的平行長(zhǎng)直導(dǎo)線，它們中心距離為d．試求長(zhǎng)為l 的一對(duì)導(dǎo)線的自感（導(dǎo)線內(nèi)部的磁通量可

24、略去不計(jì)）． 分析　兩平行長(zhǎng)直導(dǎo)線可以看成無(wú)限長(zhǎng)但寬為d 的矩形回路的一部分．設(shè)在矩形回路中通有逆時(shí)針?lè)较螂娏鱅，然后計(jì)算圖中陰影部分（寬為d、長(zhǎng)為l）的磁通量．該區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)可以看成兩無(wú)限長(zhǎng)直載流導(dǎo)線分別在該區(qū)域產(chǎn)生的磁場(chǎng)的疊加． 解　在如圖所示的坐標(biāo)中，當(dāng)兩導(dǎo)線中通有圖示的電流I 時(shí)，兩平行導(dǎo)線間的磁感強(qiáng)度為 穿過(guò)圖中陰影部分的磁通量為 則長(zhǎng)為l 的一對(duì)導(dǎo)線的自感為 如導(dǎo)線內(nèi)部磁通量不能忽略，則一對(duì)導(dǎo)線的自感為．L1 稱為外自感，即本題已求出的L，L2 稱為一根導(dǎo)線的內(nèi)自感．長(zhǎng)為l的導(dǎo)線的內(nèi)自感，有興趣的讀者可自行求解． 8 －22　如圖所示，在一柱形紙筒上繞有兩

25、組相同線圈AB 和A′B′，每個(gè)線圈的自感均為L(zhǎng)，求：（1） A 和A′相接時(shí)，B 和B′間的自感L1 ；（2） A′和B 相接時(shí)，A 和B′間的自感L2 ． 分析　無(wú)論線圈AB 和A′B′作哪種方式連接，均可看成一個(gè)大線圈回路的兩個(gè)部分，故仍可從自感系數(shù)的定義出發(fā)求解．求解過(guò)程中可利用磁通量疊加的方法，如每一組載流線圈單獨(dú)存在時(shí)穿過(guò)自身回路的磁通量為Φ，則穿過(guò)兩線圈回路的磁通量為2Φ；而當(dāng)兩組線圈按（1）或（2）方式連接后，則穿過(guò)大線圈回路的總磁通量為2Φ±2Φ，“ ±”取決于電流在兩組線圈中的流向是相同或是相反． 解　（1） 當(dāng)A 和A′連接時(shí)，AB 和A′B′線圈中電流流向相反，

26、通過(guò)回路的磁通量亦相反，故總通量為 ， 故L1 ＝0． （2） 當(dāng)A′和B 連接時(shí)，AB 和A′B′線圈中電流流向相同，通過(guò)回路的磁通量亦相同，故總通量為 ， 故． 本題結(jié)果在工程實(shí)際中有實(shí)用意義，如按題（1）方式連接，則可構(gòu)造出一個(gè)無(wú)自感的線圈． 8 －23　如圖所示，一面積為4.0 cm2 共50 匝的小圓形線圈A，放在半徑為20 cm 共100 匝的大圓形線圈B 的正中央，此兩線圈同心且同平面．設(shè)線圈A 內(nèi)各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度可看作是相同的．求：（1） 兩線圈的互感；（2） 當(dāng)線圈B 中電流的變化率為－50 A·ｓ－1 時(shí)，線圈A 中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向． 分析　設(shè)回路Ⅰ

27、中通有電流I1 ，穿過(guò)回路Ⅱ的磁通量為Φ21 ，則互感M ＝M21 ＝Φ21I1 ；也可設(shè)回路Ⅱ通有電流I2 ，穿過(guò)回路Ⅰ的磁通量為Φ12 ，則 ． 雖然兩種途徑所得結(jié)果相同，但在很多情況下，不同途徑所涉及的計(jì)算難易程度會(huì)有很大的不同．以本題為例，如設(shè)線圈B 中有電流I 通過(guò)，則在線圈A 中心處的磁感強(qiáng)度很易求得，由于線圈A 很小，其所在處的磁場(chǎng)可視為均勻的，因而穿過(guò)線圈A 的磁通量Φ≈BS．反之，如設(shè)線圈A 通有電流I，其周圍的磁場(chǎng)分布是變化的，且難以計(jì)算，因而穿過(guò)線圈B 的磁通量也就很難求得，由此可見(jiàn)，計(jì)算互感一定要善于選擇方便的途徑． 解?。?） 設(shè)線圈B 有電流I 通過(guò)，它在圓心處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度穿過(guò)小線圈A 的磁鏈近似為 則兩線圈的互感為 （2） 互感電動(dòng)勢(shì)的方向和線圈B 中的電流方向相同．