8、
C．①③④ D．①②③④
答案 D
解析 命題p：?x∈R，使tan x＝1是真命題，命題q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1.
(2)?α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β.
(3)?x，y∈N，都有x－y∈N.
(4)?x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3.
解題導引 判定一個全(特)稱命
9、題的真假的方法：
(1)全稱命題是真命題，必須確定對集合中的每一個元素都成立，若是假命題，舉反例即可．
(2)特稱命題是真命題，只要在限定集合中，至少找到一個元素使得命題成立．
解 (1)真命題，
因為x2－x＋1＝(x－)2＋≥>.
(2)真命題，如α＝，β＝，符合題意．
(3)假命題，例如x＝1，y＝5，但x－y＝－4N.
(4)真命題，例如x0＝0，y0＝3符合題意．
變式遷移2 (2011·日照月考)下列四個命題中，其中為真命題的是( )
A．?x∈R，x2＋3<0
B．?x∈N，x2≥1
C．?x∈Z，使x5<1
D．?x∈Q，x2＝3
答案 C
解析
10、由于?x∈R都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命題“?x∈R，x2＋3<0”為假命題；
由于0∈N，當x＝0時，x2≥1不成立，所以命題“?x∈N，x2≥1”為假命題；
由于－1∈Z，當x＝－1時，x5<1，所以命題“?x∈Z，使x5<1”為真命題；
由于使x2＝3成立的數(shù)只有±，而它們都不是有理數(shù)，因此沒有任何一個有理數(shù)的平方能等于3，所以命題“?x∈Q，x2＝3”為假命題．
探究點三 全稱命題與特稱命題的否定
例3 寫出下列命題的“否定”，并判斷其真假．
(1)p：?x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；
11、(4)s：至少有一個實數(shù)x，使x3＋1＝0.
解題導引 (1)全(特)稱命題的否定與一般命題的否定有著一定的區(qū)別，全(特)稱命題的否定是將其全稱量詞改為存在量詞(或把存在量詞改為全稱量詞)，并把結(jié)論否定；而一般命題的否定則是直接否定結(jié)論即可．
(2)要判斷“綈p”命題的真假，可以直接判斷，也可以判斷p的真假．因為p與綈p的真假相反且一定有一個為真，一個為假．
解 (1)綈p：?x∈R，x2－x＋<0，這是假命題，
因為?x∈R，x2－x＋＝(x－)2≥0恒成立，即p真，所以綈p假．
(2)綈q：至少存在一個正方形不是矩形，是假命題．
(3)綈r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，是真命
12、題，這是由于?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0成立．
(4)綈s：?x∈R，x3＋1≠0，是假命題，這是由于x＝－1時，x3＋1＝0.
變式遷移3 (2009·天津)命題“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是( )
A．不存在x0∈R,2x0>0
B．存在x0∈R,2x0≥0
C．對任意的x∈R,2x≤0
D．對任意的x∈R,2x>0
答案 D
解析 本題考查全稱命題與特稱命題的否定．原命題為特稱命題，其否定應(yīng)為全稱命題，而“≤”的否定是“>”，所以其否定為“對任意的x∈R,2x>0”．
轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用
例 (12分)已知命題p：“?x∈[1,2]
13、，x2－a≥0”，命題q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命題“p且q”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．
【答題模板】
解 由“p且q”是真命題，
則p為真命題，q也為真命題． [3分]
若p為真命題，a≤x2恒成立，
∵x∈[1,2]，∴a≤1. [6分]
若q為真命題，
即x2＋2ax＋2－a＝0有實根，
Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
即a≥1或a≤－2，
14、 [10分]
綜上，所求實數(shù)a的取值范圍為a≤－2或a＝1. [12分]
【突破思維障礙】
含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題要先確定構(gòu)成命題的(一個或兩個)命題的真假，求出參數(shù)存在的條件，命題p轉(zhuǎn)化為恒成立問題，命題q轉(zhuǎn)化為方程有實根問題，最后再求出含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題成立的條件．若直接求p成立的條件困難，可轉(zhuǎn)化成求綈p成立的條件，然后取補集．
【易錯點剖析】
“p且q”為真是全真則真，要區(qū)別“p或q”為真是一真則真，命題q就是方程x2＋2ax＋2－
15、a＝0有實根，所以Δ≥0.不是找一個x0使方程成立．
1．邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義的理解．
(1)“或”與日常生活用語中的“或”意義有所不同，日常用語“或”帶有“不可兼有”的意思，如工作或休息，而邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”含有“同時兼有”的意思，如x<6或x>9.
(2)命題“非p”就是對命題“p”的否定，即對命題結(jié)論的否定；否命題是四種命題中的一種，是對原命題條件和結(jié)論的同時否定．
2．判斷復(fù)合命題的真假，要首先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后根據(jù)真值表判斷．
3．全稱命題“?x∈M，p(x)”的否定是一個特稱命題“?x∈M，綈p(x)”，
特稱命題
16、“?x∈M，p(x)”的否定是一個全稱命題“?x∈M，綈p(x)”．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011·宣城模擬)已知命題p：?x∈R，x2－3x＋3≤0，則( )
A．綈p：?x∈R，x2－3x＋3>0，且綈p為真命題
B．綈p：?x∈R，x2－3x＋3>0，且綈p為假命題
C．綈p：?x∈R，x2－3x＋3>0，且綈p為真命題
D．綈p：?x∈R，x2－3x＋3>0，且綈p為假命題
答案 C
解析 命題p是一個特稱命題，它的否定綈p：對所有的x∈R，都有x2－3x＋3>0為真．故答案為C.命題的否定要否定量詞，即全
17、稱量詞的否定為存在量詞，存在量詞的否定為全稱量詞，而且要否定結(jié)論．
2．已知命題p：?x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果命題綈p是真命題，那么實數(shù)a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)< B．a(chǎn)≤
C．00對一切x∈R恒成立，這時應(yīng)有解得a>.因此當命題p是假命題，即命題綈p是真命題時，
實數(shù)a的范圍是a≤.
3．(2011·龍巖月考)已知條件p：|x＋1|>2，條件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要條件
18、，則a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≤1
C．a(chǎn)≥－3 D．a(chǎn)≤－3
答案 A
解析 綈p是綈q的充分不必要條件的等價命題為q是p的充分不必要條件，即q?p，而pq，條件p化簡為x>1或x<－3，所以當a≥1時，q?p.
4．已知命題“?a，b∈R，如果ab>0，則a>0”，則它的否命題是( )
A．?a，b∈R，如果ab<0，則a<0
B．?a，b∈R，如果ab≤0，則a≤0
C．?a，b∈R，如果ab<0，則a<0
D．?a，b∈R，如果ab≤0，則a≤0
答案 B
解析 ?a，b∈R是大前堤，在否
19、命題中也不變，又因ab>0，a>0的否定分別為ab≤0，a≤0，故選B.
5．(2011·寧波調(diào)研)下列有關(guān)命題的說法正確的是( )
A．命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2＝1，則x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分條件
C．命題“?x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“?x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D．命題“若x＝y(tǒng)，則sin x＝sin y”的逆否命題為真命題
答案 D
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2010·安徽)命題“對?x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是______________．
答案 ?x∈R
20、，|x－2|＋|x－4|≤3
7．已知命題p：“?x∈R，?m∈R使4x－2x＋1＋m＝0”，若命題綈p是假命題，則實數(shù)m的取值范圍為__________．
答案 m≤1
解析 命題綈p是假命題，即命題p是真命題，也就是關(guān)于x的方程4x－2x＋1＋m＝0有
實數(shù)解，即m＝－(4x－2x＋1)，令f(x)＝－(4x－2x＋1)，由于f(x)＝－(2x－1)2＋1，所以當x-Ray
時f(x)≤1，因此實數(shù)m的取值范圍是m≤1.
8．(2010·安徽)命題“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是
______________________．
答案 對任意x∈R，都有x2＋2
21、x＋5≠0
解析 因特稱命題的否定是全稱命題，所以得：對任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.
三、解答題(共38分)
9．(12分)分別指出由下列命題構(gòu)成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命題的真假．
(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；
(2)p：1是奇數(shù)，q：1是質(zhì)數(shù)；
(3)p：0∈?，q：{x|x2－3x－5<0}?R；
(4)p：5≤5，q：27不是質(zhì)數(shù)．
解 (1)∵p是假命題，q是真命題，
∴p∨q為真命題，p∧q為假命題，
綈p為真命題．(3分)
(2)∵1是奇數(shù)，
∴p是真命題．
又∵1不是質(zhì)數(shù)，
∴q是假命題．
因此p∨q為真命題，
22、p∧q為假命題，綈p為假命題．(6分)
(3)∵0?，∴p為假命題．
又∵x2－3x－5<0?0對一切x∈R恒成立，q：函數(shù)f(x)＝(3－2a)x是增函數(shù)，若p或q為真，p且q為假，求實數(shù)a的取值范圍．
解 設(shè)g(x)＝x2＋2ax＋4，
23、
由于關(guān)于x的不等式x2＋2ax＋4>0對一切x∈R恒成立，所以函數(shù)g(x)的圖象開口向上且與x軸沒有交點，
故Δ＝4a2－16<0，∴－21，∴a<1.(6分)
又由于p或q為真，p且q為假，可知p和q一真一假．
(1)若p真q假，則
∴1≤a<2；(8分)
(2)若p假q真，
則∴a≤－2.(10分)
綜上可知，所求實數(shù)a的取值范圍為
1≤a<2，或a≤－2.(12分)
11．(14分)已知p：x2＋mx＋1＝0有兩個不等的負根，q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實根．若p或q為真，p且q為假，求m的取值范圍．
解 p：x2＋mx＋1＝0有兩個不等的負根??m>2.(3分)
q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實根．
?Δ2＝16(m－2)2－16<0?1
【步步高】屆高三數(shù)學大一輪復(fù)習 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞學案 理 新人教A版
