《創(chuàng)新設計高考總復習》配套學案曲線與方程

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1、 第?8?講 曲線與方程 [最新考綱] 1．了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系． 2．了解解析幾何的基本思想和利用坐標法研究曲線的簡單性質． 3．能夠根據所給條件選擇適當?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程. ìF(xiàn)1(x，y)＝0， 知?識?梳?理 1．曲線與方程 一般地，在平面直角坐標系中，如果某曲線?C?上的點與一個二元方程?f(x，y)＝0 的實數(shù)解建立了如下關系： (1)曲線上點的坐標都是這個方程的解． (2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．那么這個方程叫做曲線的方程， 這條曲線叫做方程的曲線

2、． 2．求動點軌跡方程的一般步驟 (1)建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序實?shù)對(x，y)表示曲線上任意一點?M?的坐標． (2)寫出適合條件?p?的點?M?的集合?P＝{M|p(M)}． (3)用坐標表示條件?p(M)，列出方程?f(x，y)＝0，并化簡． (4)說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上． 3．曲線的交點 設曲線?C1?的方程為?F1(x，y)＝0，曲線?C2?的方程為?F2(x，y)＝0，則?C1，C2?的交 點坐標即為方程組í 的實數(shù)解． ?F2(x，y)＝0 若此方程組無解，則兩曲線無交點． 辨?析?感?悟

3、 1．曲線與方程的概念 (1)f(x0，y0)＝0?是點?P(x0，y0)在曲線?f(x，y)＝0?上的充要條件．(√) (2)條件甲：“曲線?C?上的點的坐標都是方程?f(x，y)＝0?的解”，條件乙：“曲 線?C?是方程?f(x，y)＝0?的圖形”，則條件甲是條件乙的充要條件．?(×) (3)(教材習題改編)方程?y＝?x與?x＝y(tǒng)2?表示同一曲線． (×) (4)方程?x2＋xy＝x?的曲線是一個點和一條直線． (×) (7)已知點?F?4，0÷，直線?l：x＝－4，點?B?是?l?上的動點．若過點?B?垂直于?y?軸 2．求曲線

4、的軌跡方程 (5)到兩條互相垂直的直線距離相等的點的軌跡方程是?x2＝y(tǒng)2. (×) (6)兩條動直線?y＝x＋b，y＝2x－b(b∈R?)交點的軌跡方程是?3x－2y＝0. (√) ?1 ? 1 è ? 的直線與線段?BF?的垂直平分線交于點?M，則點?M?的軌跡是拋物線． (√) x2 y2 (8)(2014·?濟南質檢)過橢圓a2＋b2＝1(a>b>0)上任意一點?M?作?x?軸的垂線，垂足為 x2 4y2 N，則線段?MN?中點的軌跡方程是a2＋?b2?＝1.  (√) [感悟·?提升] 1．曲線與

5、曲線的方程是兩個不同概念，曲線的方程需滿足兩個條件：一是曲線 上點的坐標都是該方程的解；二是以該方程的解為坐標的點都是曲線上的點．如 (2)錯誤理解了曲線方程的含義． 2．求軌跡方程，要注意曲線上的點與方程的解是一一對應關系，檢驗應從兩個 方面進行：一是方程的化簡是否是同解變形；二是是否符合實際意義，注意軌跡 上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響. 學生用書 第?154?頁 1 考點一 直接法求軌跡方程 【例?1】?如圖所示，A(m，?3m)和?B(n，－?3n)兩點分別在射線?OS，OT?上移動

6、， →?→ → → → 且OA·?OB＝－2，O?為坐標原點，動點?P?滿足OP＝OA＋OB. (1)求?mn?的值； (2)求動點?P?的軌跡方程，并說明它表示什么曲線？ ?2－?3?＝4mn， →?→ 解 (1)由OA·?OB＝(m，?3m)·(n，－?3n)＝－2mn. 1 1 得－2mn＝－2，∴mn＝4. → → → (2)設?P(x，y)(x>0)，由OP＝OA＋OB， 得(x，y)＝(m，?3m)＋(n，－?3n)＝(m＋n，?3m－?3n)． ìx＝m＋n， y2 ∴í 整理得?x ?y＝?3m－?3n，

7、1 y2 又?mn＝4，∴P?點的軌跡方程為?x2－?3?＝1(x>0)． y2 它表示以原點為中心，焦點在?x?軸上，實軸長為?2，焦距為?4?的雙曲線?x2－?3?＝1 的右支． ì?x＝m＋n， 規(guī)律方法?(1)一是解本題第(2)時，根據í ??y＝?3m－?3n， 利用第(1)問的結論消去?m，n?得到軌跡方程是解題的關鍵；二是求點的軌跡時， 要明確題設的隱含條件，如本例中動點?P?的軌跡只是雙曲線的右支． (2)如果動點滿足的幾何條件就是一些與定點、定直線有關的幾何量的等量關系， 而該等量關系又易于表達成含?x，y

8、?的等式，可利用直接法求軌跡方程． 【訓練?1】?(2013·?陜西卷選編)已知動圓過定點?A(4,0)，且在?y?軸上截得弦?MN?的 長為?8.試求動圓圓心的軌跡?C?的方程． 解 如圖，設動圓圓心為?O1(x，y)，由題意，|O1A|＝|O1M|， 當?O1?不在?y?軸上時，過?O1?作?O1H⊥MN?交?MN?于?H，則?H?是?MN?的中點． ∴|O1M|＝?x2＋42， 又|O1A|＝?(x－4)2＋y2， ∴?(x－4)2＋y2＝?x2＋42， 化簡得?y2＝8x(x≠0)． 當?O1?在?y?軸上時，O1?與?O?重合，點?O

9、1?的坐標(0,0) 也滿足方程?y2＝8x， ∴動圓圓心的軌跡?C?的方程為?y2＝8x. 考點二 定義法(待定系數(shù)法)求軌跡方程 【例?2】一動圓與圓?x2＋y2＋6x＋5＝0?外切，同時與圓?x2＋y2－6x－91＝0?內切， 求動圓圓心?M?的軌跡方程，并說明它是什么曲線． 解 如圖所示，設動圓圓心為?M(x，y)，半徑為?R，設已知圓的圓心分別為?O1， O2，將圓的方程分別配方得(x＋3)2＋y2＝4，(x－3)2＋y2＝100， 當動圓與圓?O1?相外切時， 有|O1M|＝R＋2.① 當動圓與圓?O2?相內切時，有|

10、O2M|＝10－R.② 將①②兩式相加，得|O1M|＋|O2M|＝12>|O1O2|， ∴動圓圓心?M(x，y)到點?O1(－3,0)和?O2(3,0)的距離和是常數(shù)?12， 所以點?M?的軌跡是焦點為?O1(－3,0)，O2(3,0)， 長軸長等于?12?的橢圓． ∴2c＝6,2a＝12，∴c＝3，a＝6，∴b2＝36－9＝27， x2 y2 ∴圓心軌跡方程為36＋27＝1，軌跡為橢圓． 規(guī)律方法?求軌跡方程時，若動點與定點、定線間的等量關系滿足圓、橢圓、雙 曲線、拋物線的定義，則可以直接根據定義先定軌跡類型，再寫出其方程，這種 求軌跡方程

11、的方法叫做定義法，其關鍵是準確應用解析幾何中有關曲線的定義． 【訓練?2】?如圖所示，已知?C?為圓(x＋?2)2＋y2＝4?的圓心，點?A(?2，0)，P?是 圓上的動點， →?→?????→???→ 點?Q?在直線?CP?上，且MQ·?AP＝0，AP＝2AM.當點 P?在圓上運動時，求點?Q?的軌跡方程． 解 圓(x＋?2)2＋y2＝4?的圓心為?C(－?2，0)，半徑?r＝2， →?→ → → ∵MQ·?AP＝0，AP＝2AM， ∴MQ⊥AP，點?M?是線段?AP?的中點，即?MQ

12、?是?AP?的中垂線，連接?AQ，則|AQ| ＝|QP|， ∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝r＝2， 又|AC|＝2?2>2，根據雙曲線的定義，點?Q?的軌跡是以?C(－?2，0)，A(?2，0) 為焦點，實軸長為?2?的雙曲線，由?c＝?2，a＝1，得?b2＝1，因此點?Q?的軌跡方 程為?x2－y2＝1. 學生用書 第?155?頁 考點三 代入法(相關點法)求軌跡方程 【例?3】?(2012·?遼寧卷)如圖， 動圓?C1：x2＋y2＝t2,1

13、2 橢圓?C2：?9?＋y2＝1 相交于?A，B，C，D?四點，點?A1，A2?分別為?C2?的左，右頂點． (1)當?t?為何值時，矩形?ABCD?的面積取得最大值？并求出其最大面積． (2)求直線?AA1?與直線?A2B?交點?M?的軌跡方程． 審題路線 (1)設出點?A?的坐標?利用對稱性表示?S 矩形?ABCD，并確定矩形?ABCD 面積取得最大值的條件?進而求出?t?值．(2)點?M?受點?A?的變化制約?根據點?A 滿足的方程求出點?M?的軌跡方程． 解 (1)設?A(x0，y0)，則?S 矩形ABCD

14、＝4|x0y0|， x20 由?9?＋y0 2＝1?得?y2＝1－??0， ? x2? 1? 9? 9 從而??x0??0 2y2＝x2?1－??0÷＝－???x2－??÷2＋??. x2 0 9 0è 9?? 9è?0 2? 4 9 1 2 0 當?x0＝2，y2＝2時，Smax＝6. 2 從而?t2＝x20＋y0＝5，t＝?5， ∴當?t＝?5時，矩形?ABCD?的面積取到最大值?6. x2 (2)由橢圓?C2：?9?＋y2＝1，知?A1(－3,0)，A2(3,0)， 直線?AA1?的方程為?y＝???

15、 (x＋3)．① －y0 x0－3 －y20 x0－9 又點?A(x0，y0)在橢圓?C?上，故?y0 2＝1－??0.④ 又曲線的對稱性及?A(x0，y0)，得?B(x0，－y0)， 設點?M?的坐標為(x，y)， y0 x0＋3 直線?A2B?的方程為?y＝ (x－3)．② 由①②得?y2＝?2 (x2－9)．③ x2 9 x2 將④代入③得?9?－y2＝1(x<－3，y<0)． x2 因此點?M?的軌跡方程為?9?－y2＝1(x<－3，y<0)． 規(guī)律方法?(1)一是本題的軌跡方程中，要求?x<－3，y<0，所以求解時要結合幾何 性

16、質和幾何圖形直觀細心發(fā)掘．二是求解中充分運用橢圓與圓的對稱性，以及方 程④的整體代入，避免繁瑣運算，優(yōu)化解題過程． (2)相關點法求軌跡方程：形成軌跡的動點?P(x，y)隨另一動點?Q(x′，y′)的運動 而有規(guī)律地運動，而且動點?Q?的軌跡方程為給定的或容易求得的，則可先將?x′， y′表示成關于?x，y?的式子，再代入?Q?的軌跡方程，求出動點?P?的軌跡方程． 【訓練?3】?如圖，設?P?是圓?x2＋y2＝25?上的動點，點?D?是?P?在?x?軸上的投影， 4 M?為?PD?上一點，且|MD|＝5|P

17、D|. (1)當?P?在圓上運動時，求點?M?的軌跡?C?的方程； 4 (2)求過點(3,0)且斜率為5的直線?l?被?C?所截線段的長度． 解 (1)設?M?的坐標為(x，y)，P?的坐標為(xP，yP)， 4 因為點?D?是?P?在?x?軸上投影?M?為?PD?上一點，且|MD|＝5|PD|，所以?xP＝x，且 5 yP＝4y， ∵P?在圓?x2＋y2＝25?上， ?5??2 y÷?＝25，整理得 ＋16＝1， è4?? ∴x2＋? 25＋ 25 ＝1，化簡得?x?－3x－8＝0， x2 y2 25 x2 y2 即?C

18、?的方程是25＋16＝1. 4 4 (2)過點(3,0)且斜率為5的直線?l?的方程是?y＝5(x－3)， 4 設此直線與?C?的交點為?A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程?y＝5(x－3)代入?C?的方 x2 y2 程25＋16＝1?得： x2 (x－3)2 2 3－?41 3＋?41 ∴x1＝ 2 ，x2＝ 2 ， ?1＋25÷(x1－x2)2＝ 所以線段?AB?的長度是|AB|＝ ??16? è?????? 41??????41 25×41＝?5?，即所截線段 41 的長度是?5?. 1．通過坐

19、標法，由已知條件求軌跡方程，通過對方程的研究，明確曲線的位置、 形狀以及性質是解析幾何的核心問題． 2．求軌跡方程的常用方法 (1)直接法：直接利用條件建立?x，y?之間的關系?F(x，y)＝0. (2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程． (3)定義法：先根據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接 寫出動點的軌跡方程． (4)代入(相關點)法：動點?P(x，y)依賴于另一動點?Q(x0，y0)的變化而運動，常利 用代入法求動點?P(x，y)的軌跡方程． 教你審題

20、?10——設而不求、整體代換 x2 y2 【典例】?(2013·?山東卷)橢圓?C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦點分別是?F1，F(xiàn)2， 共點．?設直線?PF1，PF2?的斜率分別為?k1，k2，若?k≠0，試證明? ＋? 為定 三審結論?：變?yōu)閗?k?＋k?÷，把?k?與k?＋k?均用?x0，y0?表示后可消去． (2)m?的取值范圍是?－2，2÷(過程略)． 3 離心率為?2?，過?F1?且垂直于?x?軸的直線被橢圓?C?截得的線段長為?1. (1)求橢圓?C?的方程； (2)點?P?是橢圓?C?上除長軸端點外的任一點，?連接?PF1，

21、PF2，設∠F1PF2?的角 平分線?PM?交?C?的長軸于點?M(m,0)，求?m?的取值范圍； (3)在(2)的條件下，過點?P?作斜率為?k?的直線?l，使得?l?與橢圓?C?有且只有一個公 1 1 kk1 kk2 值，?并求出這個定值． [審題] 一審條件?：可設?P?點坐標為(x0，y0)，寫出直線?l?的方程 二審條件?：聯(lián)立方程組消去?y?得關于?x?的一元二次方程，則?Δ＝0 1??1 1?? 1 1 è?1 2? 1 2 x2 解 (1)橢圓?C?的方程為?4?＋y2＝1(過程略)． ? 3 3? è ? (3)設?

22、P(x0，y0)(y0≠0)，則直線?l?的方程為?y－y0＝k(x－x0)． 聯(lián)立í??4?＋y?＝1， ì?x2 2  整理得 ??y－y?＝k(x－x?)， 又?4?＋y20＝1，所以?16y20k2＋8x0y0k＋x20＝0， 即(4y0k＋x0)2＝0.故?k＝－4y0?. 由橢圓?C?可得?F1(－???3，0)，F(xiàn)2(???3，0)，又?P(x0，y0)，所以k?＋k?＝??0?y? ＋??0?y ＝?y?0， 所以kk?＋kk?＝k?k?＋k?÷＝?－?x?0÷·?y?0＝－8. 0 0 2 2 (1＋4k2)x2＋

23、8(ky0－k2x0)x＋4(y0－2kx0y0＋k2x20－1)＝0. 由題意，得?Δ＝0，即(4－x0)k2＋2x0y0k＋1－y20＝0. x20 x 0 1 1 x?＋?3 x?－?3 1 2 0 0 2x 0 1 1 1??1 1?? ? 4y???2x è??1 2? è 0?? 1 2 0 因此kk?＋kk?為定值，這個定值為－8. 1 1 1 2 [反思感悟]?對題目涉及的變量巧妙的引進參數(shù)?(如設動點坐標、動直線方程等?)， 利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組，再化為一元二

24、次方程，從 而利用根與系數(shù)的關系進行整體代換，達到“設而不求，減少計算”的效果，直 接得定值． 【自主體驗】 x2 y2 (2013·?新課標全國Ⅰ卷)已知橢圓?E：a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦點為?F(3,0)，過點 F?的直線交?E?于?A，B?兩點．若?AB?的中點坐標為(1，－1)，則?E?的方程為 ( )． x2 y2 x2 y2 A.45＋36＝1 B.36＋27＝1 x2 y2 x2 y2 C.27＋18＝1 D.18＋?9?＝1 解析 設?A(x1，y1)，B(x2，y2)，

25、 ì?x122＋y212＝1， 則ía b x?? y ??a2＋b22＝1， ① ② (x1＋x2)(x1－x2) (y1＋y2)(y1－y2) ①－②得????????????? ＋????????????? ＝0， x1－x2?? a 2(y?＋y?) 0＋1 又?kAB＝?? ＝2，所以a2＝2. a2 b2 又因為?x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2， y1－y2 b2(x1＋x2) b2 所以?kAB＝ ＝－ ＝a2. 1 2 1 b2 1 3－1 又?9＝c2＝a2－b2，

26、 解得?b2＝9，a2＝18， x2 y2 所以橢圓?E?的方程為18＋?9?＝1.故選?D. 答案 D 基礎鞏固題組 (建議用時：40?分鐘) 一、選擇題 1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0?的曲線是( )． A．一條直線和一條雙曲線 B．兩條直線 C．兩個點 D．4?條直線 ì?x－y＝0， 解析 由(x－y)2＋(xy－1)2＝0?得í ??xy－1＝0， ? ? ìx＝1， ìx＝－1， ∴í 或í ? ? ?y＝1 ?y＝－1.

27、 即方程表示兩個點(1,1)和(－1，－1)． 答案 C →?→ 2．若?M，N?為兩個定點，且|MN|＝6，動點?P?滿足PM·?PN＝0，則?P?點的軌跡是 ( )． A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 →?→ 解析 ∵PM·?PN＝0，∴PM⊥PN.∴點?P?的軌跡是以線段?MN?為直徑的圓． 答案 A 3．(2014·?珠海模擬)已知點?A(1,0)，直線?l：y＝2x－4，點?R?是直線?l?上的一點， → → 若RA＝AP，則點?P?的軌跡方程為( )． A．y＝－2x B．y＝2x C．y＝2x－8

28、D．y＝2x＋4 → → 解析 設?P(x，y)，R(x1，y1)，由RA＝AP知，點?A?是線段?RP?的中點， ìx＋x?＝1， ?y＋y?＝0， ∴í?2 2 1 1 ì?x1＝2－x， 即í ??y1＝－y. ∵點?R(x1，y1)在直線?y＝2x－4?上， ∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即?y＝2x. 答案 B 4．已知動圓圓心在拋物線?y2＝4x?上，且動圓恒與直線?x＝－1?相切，則此動圓 必過定點( )． A．(2,0) B．(1,0) C．(0

29、,1) D．(0，－1) 解析 直線?x＝－1?是拋物線?y2＝4x?的準線，由拋物線定義知，動圓一定過拋物 線的焦點(1,0)． 答案 B 5．(2014·?廣州調研)如圖所示，一圓形紙片的圓心為?O，F(xiàn)?是圓內一定點，M?是 圓周上一動點， 把紙片折疊使?M?與?F?重合，然后抹平紙片，折痕為?CD，設?CD?與?OM?交于點?P， 則點?P?的軌跡是( )． A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓 解析 由條件知|PM|＝|PF|. ∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|. ∴P?點

30、的軌跡是以?O，F(xiàn)?為焦點的橢圓． 答案 A y? 6．平面上有三個點?A(－2，y)，B?0，2÷，C(x，y)，若AB⊥BC，則動點?C?的軌 y? → 解析 AB＝?0，2÷－(－2，y)＝?2，－2÷， → 0，? ÷＝?x，??÷，BC＝(x，y)－ 2 2 ?x，2÷＝0，即?y2＝8x.∴?2，－2÷· ??→ → ???? y? ???y? ? y? 二、填空題 ? è ? 跡方程是________________． ? è ? è ? ? è ? è ? →?→ →?→ ∵AB⊥BC，

31、∴AB·?BC＝0， ? y??? y? è ?è ? ∴動點?C?的軌跡方程為?y2＝8x. 答案 y2＝8x 7．已知兩定點?A(－2,0)，B(1,0)，如果動點?P?滿足條件|PA|＝2|PB|，則點?P?的軌 跡所包圍的圖形的面積等于________． 解析 設?P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得 (x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4， ∴圓的面積?S＝π×22＝4π. 答案 4π ． ABC?的頂點?A(－5,0)，B(5,0)，△ABC?的內切圓圓心在直線?x＝3?上

32、，則頂 點?C?的軌跡方程______________． 解析 如圖，|AD|＝|AE|＝8， |BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6<10. 根據雙曲線定義，所求軌跡是以?A，B?為焦點，實軸長為?6?的雙曲線的右支，方 x2 y2 程為?9?－16＝1(x>3)． x2 y2 答案 9?－16＝1(x>3) 三、解答題 9．設點?P?是圓?x2＋y2＝4?上任意一點，由點?P?向?x?軸作垂線?PP0，垂足為?P0， → 3?→ 且MP0＝?2?PP0. (1)求點

33、?M?的軌跡?C?的方程； (2)若直線?l：y＝x＋1?與(1)中的軌跡?C?交于?A，B?兩點，求弦長|AB|的值． 解 (1)設點?M(x，y)，P(x0，y0)，則由題意知?P0(x0,0)． → → → 3?→ 由MP0＝(x0－x，－y)，PP0＝(0，－y0)，且MP0＝?2?PP0， 3 得(x0－x，－y)＝?2?(0，－y0)． 于是?x0＝x?且?y0＝?23  y， ∴點?M?的軌跡?C?的方程為???＋???＝1. 4 2 0 又?x0＋y2＝4，∴x2＋3y2＝4. x2 y2 4 3 (

34、2)設?A(x1，y1)，B(x2，y2)． ì?y＝x＋1， 聯(lián)立íx2 y2 ???4?＋?3?＝1，  得?7x2＋8x－8＝0， ? 8?2 ＝???2·???(x1＋x2)2－4x1x2＝???2·?? ?－7÷?＋??7??＝?7. (2)過點?2，0÷作直線?l，與軌跡?C?交于?E，F(xiàn)?兩點，線段?EF?的中點為?M，求直 8 8 ∴x1＋x2＝－7，且?x1x2＝－7. 則|AB|＝?(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝?2|x2－x1| 32 24 è ? 3 10．已知點?A(2,0)，B(－2,0)

35、，P?是平面內一動點，直線?PA，PB?斜率之積為－4. (1)求動點?P?的軌跡?C?的方程； ?1 ? è ? 線?MA?的斜率?k?的取值范圍． (2)依題意得，直線?l?過點?2，0÷，且斜率不為零， 故可設其方程為?x＝my＋??. 解 (1)設?P?點的坐標為(x，y)， y y 3 ??? x＋2 依題意得x－2· ＝－4(x≠±2)， x2 y2 化簡并整理得?4?＋?3?＝1(x≠±2)． x2 y2 ∴動點?P?的軌跡?C?的方程是?4?＋?3?＝1(x≠±2)． ?1 ? è ? 1 2

36、 ??x2＋y2＝1 2 ì?x＝my＋1 由í 4 3  ，消去?x?得 ∴x0＝my0＋2＝? 2 y0???? m 3m2＋4?????? x0－2 4m2＋4 ②當?m≠0?時，k＝?? 1 綜合①②，直線?AM?的斜率?k?的取值范圍是ê－8，8ú. 4(3m2＋4)y2＋12my－45＝0， 設?E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，M(x0，y0)， y?＋y 3m 3m ，∴y0＝??1?2 2＝－2(3m2＋4) ∴y1＋y2＝－3m2＋4 ， 1 ，∴k＝ ＝ ， ①當?m＝0?時

37、，k＝0， 4 4 4?，又|4m＋m|＝4|m|＋|m|≥8， 4m＋m 1 1 1 ∴0<|k|≤8，∴－8≤k≤8，且?k≠0， é 1 1ù ? ? 能力提升題組 (建議用時：25?分鐘) 一、選擇題 A 1．設圓(x＋1)2＋y2＝25?的圓心為?C，?(1,0)是圓內一定點，Q?為圓周上任一點．線 段?AQ?的垂直平分線與?CQ?的連線交于點?M，則?M?的軌跡方程為( )． 4x2 4y2 4x2 4y2 A.?21?－?25?＝1 B.?21?＋?25?＝1 4x2 4y2 4x2 4y2

38、 C.?25?－?21?＝1 D.?25?＋?21?＝1 解析 M?為?AQ?垂直平分線上一點，則|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ| 5 21 ＝|CQ|＝5，故?M?的軌跡為橢圓，∴a＝2，c＝1，則?b2＝a2－c2＝?4?， 4x2 4y2 ∴橢圓的標準方程為?25?＋?21?＝1. 答案 D 2．有一動圓?P?恒過定點?F(1,0)，且與?y?軸相交于點?A，，若 ABP?為等邊三角 形，則圓心?P?的軌跡方程是( )． (x＋3)2 y2 (x＋3)2 y2 A. 12 －?4?＝1 B. 12 ＋?4?＝1

39、 (x－3)2 y2 (x－3)2 y2 C. 12 ＋?4?＝1 D. 12 －?4?＝1 3 解 設圓心?P(x，y)，半徑為?R，由圓的幾何性質，?|x|＝?2?R，又?R＝?|PF|＝ (x－1)2＋y2，所以?2|x|＝?3·?(x－1)2＋y2，即(x＋3)2－3y2＝12，∴點?P?的軌跡 (x＋3)2 y2 方程為 12 －?4?＝1. 答案 A 二、填空題 x2 y2 3．P?是橢圓a2＋b2＝1?上的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2?是它的兩個焦點，O?為坐標原點， → → → OQ＝PF1＋PF2，則動點?Q?的軌跡方程是___

40、_____． → → → → → → → 解析 由橢圓的對稱性，?PF1＋PF2＝2PO，∴OQ＝2PO，即OQ＝－2OP，設點 ? x y? x2 y2 è ? Q(x，y)，則?P?－2，－2÷，由點?P?在橢圓上，得4a2＋4b2＝1. x2 y2 答案 4a2＋4b2＝1 三、解答題 F2(1,0)，且橢圓?C?經過點?P?3，3÷. x2 y2 4．(2013·?四川卷)已知橢圓?C：a2＋b2＝1(a>b>0)的兩個焦點分別為?F1(－1,0)， ?4 1? è ? (1)求橢圓?C?的離心率； (2)設過點?A(0

41、,2)的直線?l?與橢圓?C?交于?M，N?兩點，點?Q?是線段?MN?上的點， 2 1 1 且|AQ|2＝|AM|2＋|AN|2，求點?Q?的軌跡方程． 解 (1)由橢圓定義知 ?3＋1÷2＋?3÷2＋ ?3－1÷2＋?3÷2＝2???2. 2a＝|PF1|＋|PF2|＝ ?4?????1? è???????è?? ?4?????1? è???????è?? 的坐標為?0，2－ 5??? (1＋k2)x2 (1＋k2)x21 (1＋k2)x22 即x2＝x2＋x2＝???????? .① 所以?a＝?2. c 1

42、2 2 又由已知得，c＝1，所以橢圓?C?的離心率?e＝a＝ ＝?2. x2 (2)由(1)知，橢圓?C?的方程為?2?＋y2＝1. 設點?Q?的坐標為(x，y)． (i)當直線?l?與?x?軸垂直時，直線?l?與橢圓?C?交于(0,1)，(0，－1)兩點，此時點?Q ? 3?5? ÷. è (ii)當直線?l?與?x?軸不垂直時，設直線?l?的方程為?y＝kx＋2. 因為?M，N?在直線?l?上，可設點?M，N?的坐標分別為(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)， 則 2 |AM|2＝(1＋k2)x1，|AN|2＝(1＋k2)x

43、22. 又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2. 2 1 1 由|AQ|2＝|AM|2＋|AN|2，得 2 1 1 ＝ ＋ ， 2 1 1 (x1＋x2)2－2x1x2 1 1 2 x2x2 x2 將?y＝kx＋2?代入?2?＋y2＝1?中，得 (2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.② 210k?－3 又?0，2－ ÷滿足?10(y－2)2－3x2＝18， (y－2)?∈ê5，4÷，且－1≤y≤1，則?y∈???，2－2 è2 5??? ú. ÷?，?y?∈ è2 5??? ??即?x∈?－ ，0÷∪?

44、0， ÷.2 ??故?x∈?－ ， ÷.2 ?????? ?1 3???5ùé9 9? ??所以點???Q??的軌跡方程為 10(y?－?2)2?－?3x2?＝?18?，其中???x?∈??－ 3 由?Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得?k2＞2. －8k 6 ＋1，x1x2＝ ＋1 由②可知，x1＋x2＝2k2 2k2 ， 代入①中并化簡，得 18 x2＝ .③ y－2 因為點?Q?在直線?y＝kx＋2?上，所以?k＝?x?，代入③中并化簡，得?10(y－2)2－ 3x2＝18. 3 3 由③及?k2＞2，可知?0＜x2＜2， ? ? ? 6 6? è 2 ? è ? ? 3?5? è 5?? ? 6 6? è 2 ? 由題意知點?Q(x，y)在橢圓?C?內，所以－1≤y≤1， 又由?10(y－2)2＝18＋3x2?有 ? ? ? 6 6? è 2?，?2?? ?1 3?5ù ??，2－ ú. 學生用書 第?156?頁