第九章 計數(shù)原理與概率

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1、陽光家教網(wǎng) 西安家教 青島家教 鄭州家教 蘇州家教 天津家教 中國最大找家教、做家教平臺 第九章　計數(shù)原理與概率 §9.1 計數(shù)原理 一、知識導學 1.分類計數(shù)原理：完成一件事，有ｎ類辦法，在第1類辦法中，有種不同的方法，在第2類辦法中，有種不同的方法，……在第ｎ類辦法中，有種不同的方法，那么完成這件事共有N＝＋＋……＋種不同的方法. 2. 分步計數(shù)原理：完成一件事，需要分成ｎ個步驟，做第1步，有種不同的方法，做第2步，有種不同的方法，……做第ｎ步，有種不同的方法，那么完成這件事共有N＝××…×種不同的方法. 注：分類計數(shù)原理又稱加法原理 　　分步計數(shù)原理又稱乘法原

2、理 二、疑難知識導析 1．分類原理中分類的理解：“完成一件事，有ｎ類辦法”這是對完成這件事的所有辦法的一個分類.分類時，首先要根據(jù)問題的特點，確定一個適合它的分類標準，然后在這個標準下進行分類，其次，分類時要注意滿足兩條基本原則：第一，完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；第二，分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法.前者保證完成這件事的立法不遺漏，后者保證不重復. 2．分步原理中分步的理解：“完成一件事，需要分成ｎ個步驟”這就是說完成這件事的任何一種方法，都要完成這ｎ個步驟.分步時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個可行的分步標準，其次，步驟的設置要滿足完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這ｎ個步

3、驟，這件事才算最終完成. 3．兩個原理的區(qū)別在于一個和分類有關，一個和分步有關.如果完成一件事有ｎ類辦法，這ｎ類辦法彼此之間是相互獨立的，無論哪一類辦法中的哪一個都能單獨完成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用分類計數(shù)原理.如果完成一件事，需分成ｎ個步驟，缺一不可，即需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，完成每一個步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事的方法種數(shù)，就用分步計數(shù)原理. 4．在具體解題時，常常見到某個問題中，完成某件事，既有分類，又有分步，僅用一種原理不能解決，這時需要認真分析題意，分清主次，選擇其一作為主線. 5．在有些問題中，還應充分注意到在完成某件事時，具體實踐的可行

4、性.例如：從甲地到乙地 ，要從甲地先乘火車到丙地，再從丙地乘汽車到乙地.那么從甲地到乙地共有多少種不同的走法？這個問題中，必須注意到發(fā)車時刻，所限時間，答案較多. 三、經(jīng)典例題導講 [例1]體育場南側(cè)有4個大門，北側(cè)有3個大門，某學生到該體育場練跑步，則他進出門的方案有　　?。?） A．12 種 B．7種　　C．24種 D．49種 錯解：學生進出體育場大門需分兩類，一類從北邊的4個門進，一類從南側(cè)的3個門進，由分類計數(shù)原理，共有7種方案. ∴選B 錯因:沒有審清題意．本題不僅要考慮從哪個門進，還需考慮從哪個門出，應該用分步計數(shù)原理去解題. 正解：學生進

5、門有7種選擇，同樣出門也有7種選擇，由分步計數(shù)原理，該學生的進出門方案有7×7＝49種. ∴應選D． [例2]從1,2，3，…,10中選出3個不同的數(shù)，使這三個數(shù)構成等差數(shù)列，則這樣的數(shù)列共有多少個？ 錯解：根據(jù)構成的等差數(shù)列的公差，分為公差為1、2、3、4四類.公差為1時，有8個；公差為2時，首先將數(shù)字分成1,3，5,7,9，和2,4，6,8，10兩組，再得到滿足要求的數(shù)列共3＋3＝6個；公差為3時，有1,4，7和4,7，10和3,6，9以及2,5，8，共4個；公差為4時，只有1,5，9和2,6，10兩個.由分類計數(shù)原理可知，共構成了不同的等差數(shù)列8＋6＋4＋2＝20個. 錯因：上述解

6、答忽略了1,2，3與3,2，1它們是不同的數(shù)列， 因而導致考慮問題不全面，從而出現(xiàn)漏解. 這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題． 正解：根據(jù)構成的等差數(shù)列的公差，分為公差為±1、±2、±3、±4四類.公差為±1時，有8×2＝16個；公差為±2時，滿足要求的數(shù)列共6×2＝12個；公差為±3時，有4×2＝8個；公差為±4時，只有2×2＝4個.由分類計數(shù)原理可知，共構成了不同的等差數(shù)列16＋12＋8＋4＝40個. [例3]三張卡片的正反面分別寫有1和2,3和4,5和6，若將三張卡片并列，可得到幾個不同的三位數(shù)（6不能作9用）. 解：解法一　第一步，選數(shù)字.每張卡片有兩個數(shù)字供選擇，故選出

7、3個數(shù)字，共有＝8種選法.第二步，排數(shù)字.要排好一個三位數(shù)，又要分三步，首先排百位，有3種選擇，由于排出的三位數(shù)各位上的數(shù)字不可能相同，因而排十位時有2種選擇，排個位只有一種選擇.故能排出3×2×1＝6個不同的三位數(shù). 由分步計數(shù)原理，共可得到8×6＝48個不同的三位數(shù). 解法二：第一步，排百位有6種選擇， 　　　　第二步，排十位有4種選擇， 　　　　第三步，排個位有2種選擇. 　根據(jù)分步計數(shù)原理，共可得到6×4×2＝48個不同的三位數(shù). 注：如果6能當作9用，解法1仍可行. [例4]集合A＝｛1,2，3,4｝，集合B＝｛－1，－2｝，可建立多少個以A為定義域B為值域的不同函數(shù)？

8、 分析：函數(shù)是特殊的映射，可建立映射模型解決. 解： 從集合A到集合B的映射共有=16個，只有都與－1，或－2對映的兩個映射不符合題意，故以A為定義域B為值域的不同函數(shù)共有16－2＝14個. 或 [例5] 用0，1,2，3,4，5這六個數(shù)字， （1）可以組成多少個數(shù)字不重復的三位數(shù)？ （2）可以組成多少個數(shù)字允許重復的三位數(shù)？ （3）可以組成多少個數(shù)字不重復的三位奇數(shù)？ （4）可以組成多少個數(shù)字不重復的小于1000的自然數(shù)？ （5）可以組成多少個數(shù)字不重復的大于3000，小于5421的四位數(shù)？ 解：（1）分三步：①先選百位數(shù)字，由于0不能作為百位數(shù)，因此有5種選法；②

9、十位數(shù)字有5種選法；③個位數(shù)字有4種選法.由分步計數(shù)原理知所求三位數(shù)共有5×5×4＝100個. 　（2）分三步：①先選百位數(shù)字，由于0不能作為百位數(shù)，因此有5種選法；②十位數(shù)字有6種選法；③個位數(shù)字有6種選法.由分步計數(shù)原理知所求三位數(shù)共有5×6×6＝180個. ?。?）分三步：①先選個位數(shù)字，由于組成的三位數(shù)是奇數(shù)，因此有3種選法；②再選百位數(shù)字有4種選法；③個位數(shù)字也有4種選法.由分步計數(shù)原理知所求三位數(shù)共有3×4×4＝48個. ?。?）分三類：①一位數(shù)，共有6個；②兩位數(shù)，共有5×5＝25個；③三位數(shù)，共有5×5×4＝100個.因此，比1000小的自然數(shù)共有6＋25＋100＝131

10、個 ?。?）分四類：①千位數(shù)字為3,4之一時，共有2×5×4×3＝120個；②千位數(shù)字為5，百位數(shù)字為0,1，2,3之一時，共有4×4×3＝48個；③千位數(shù)字為5，百位數(shù)字是4，十位數(shù)字為0,1之一時，共有2×3＝6個；④還有5420也是滿足條件的1個.故所求自然數(shù)共120＋48＋6＋1＝175個 評注：排數(shù)字問題是最常見的一種題型，要特別注意首位不能排0. 四、典型習題導練 1．將4個不同的小球放入編號為1、2、3的三個不同的盒子中，其中每個盒子都不空的放法共有（　?。? A．種??? ????B．種 C．18種?????????D．36種 2．集合A＝｛1,2

11、，－3｝，B＝｛－1，－2,3，4｝，從A、B中各取1個元素作為占點P的坐標.（1）可以得到多少個不同的點？ （2）在這些點中位于第一象限的點有幾個？ 3. 在1,2，3,4，7,9中任取不相同的兩個數(shù)，分別作為對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，能得到多少個不同的對數(shù)值？ 4. 在連結(jié)正八邊形的三個頂點組成的三角形中，與正八邊形有公共邊的有多少個？ 5．某藝術組有9人，每人至少會鋼琴和小號中的一種樂器，其中7人會鋼琴，3人會小號，從中選出會鋼琴與會小號的各1人，有多少種不同的選法？ 6. 某地提供A、B、C、D四個企業(yè)供育才中學高三年級3個班級進行社會實踐活動，其中A是明星企業(yè)，必須有班級去進行社會

12、實踐，每個班級去哪個企業(yè)由班級自己在四個企業(yè)中任意選擇一個，則不同的安排社會實踐的方案共有多少種？ §9.2 排列與組合 一、知識導學 1.排列：一般地，從ｎ個不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從ｎ個不同元素中取出ｍ個元素的一個排列. 2.全排列：ｎ個不同元素全部取出的一個排列，叫做ｎ個不同元素的全排列. 3. 排列數(shù)：從ｎ個不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從ｎ個不同元素中取出ｍ個元素的排列數(shù).用符號表示. 4. 階乘：正整數(shù)1到ｎ的連乘積，叫做ｎ的階乘，用ｎ！表示. 　　　　規(guī)定：0！＝1 5.組合：一般地，從ｎ個不同元素中取

13、出ｍ（ｍ≤ｎ）個元素并成一組，叫做從ｎ個不同元素中取出ｍ個元素的一個組合. 6.組合數(shù)：從ｎ個不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）個元素的所有組合的個數(shù)叫做從ｎ個不同元素中取出ｍ個元素的組合數(shù).用符號表示. 7.本節(jié)公式 　（1）排列數(shù)公式　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （這里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ） 　　　　　　　　　 ?。?）組合數(shù)公式 　　 （這里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ） （3）組合數(shù)的兩個性質(zhì) 　　　　　　　　　　　　規(guī)定： 　　　　　　　　　　　　 二、疑難知識導析 1．排列的定義中包含兩個基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”。

14、從定義知，只有當元素完全，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一排列.兩個相同數(shù)列，當且僅當它們的元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同. 2．排列與排列數(shù)是兩個不同的概念.一個排列是指從ｎ個不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）個元素，按照一定的順序排成一列的一種具體方法，它不是數(shù)；而排列數(shù)是指從ｎ個不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）個元素的所有不同數(shù)列的種數(shù)，它是一個數(shù). 3．排列應用題一般分為兩類，即無限制條件的排列問題和有限制條件的排列問題.常見題型有：排隊問題、數(shù)字問題、與幾何有關的問題. 解排列應用題時應注意以下

15、幾點： ①認真審題，根據(jù)題意分析它屬于什么數(shù)學問題，題目中的事件是什么，有無限制條件，通過怎樣的程序完成這個事件，用什么計算方法. ②弄清問題的限制條件，注意研究問題，確定特殊元素和特殊的位置.考慮問題的原則是特殊元素、特殊位置優(yōu)先，必要時可通過試驗、畫圖、小數(shù)字簡化等手段幫助思考. ③恰當分類，合理分步. ④在分析題意，畫框圖來處理，比較直觀.在解應用時，應充分運用. 解排列應用題的基本思路： ①基本思路： 直接法：即從條件出發(fā)，直接考慮符合條件的排列數(shù)； 間接法：即先不考慮限制條件，求出所有排列數(shù)，然后再從中減去不符合條件的排列數(shù). ②常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，

16、排除法（也稱去雜法），對稱分析法，捆綁法，插空檔法，構造法等. 4．對組合的理解：如果兩個組合中的元素完全相同，那么不管它們順序如何都是相同的組合.當兩個組合中的元素不完全相同時（即使只有一個元素不同），就是不同的組合. 5．排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系： ①根據(jù)排列與組合的定義，前者是從ｎ個不同元素中取出ｍ個不同元素后，還要按照一定的順序排成一列，而后者只要從ｎ個不同元素中取出ｍ個不同元素并成一組，所以區(qū)分某一問題是排列還是組合問題，關鍵看選出的元素與順序是否有關，若交換某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，而交換任意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題.也就是說排列與選取元素

17、的順序有關，組合與選取元素的順序無關. ②排列與組合的共同點，就是都要“從ｎ個不同元素中，任?。恚ǎ怼埽睿﹤€元素”，而不同點在于元素取出以后，是“排成一排”，還是“組成一組”，其實質(zhì)就是取出的元素是否存在順序上的差異.因此，區(qū)分排列問題和組合問題的主要標志是：是否與元素的排列順序有關，有順序的是排列問題，無順序的組合問題.例如123和321,132是不同的排列，但它們都是相同的組合.再如兩人互寄一次信是排列問題，互握一次手則是組合問題. ③排列數(shù)與組合數(shù)的聯(lián)系.求從ｎ個不同元素中取出ｍ個元素的排列數(shù)，可以分為以下兩步：第一步，先求出從這ｎ個不同元素中取出ｍ個元素的組合數(shù)；第二步，求每一個組

18、合中ｍ個元素的全排列數(shù).根據(jù)分步計數(shù)原理，得到＝.從這一過程中可得出排列與組合的另一重要聯(lián)系.從而，在解決排列問題時，先取后排是一個常見的解題策略. 6．解排列與組合應用題時，首先應抓住是排列問題還是組合問題.界定排列與組合問題是排列還是組合，唯一的標準是“順序”，有序是排列問題，無序是組合問題.當排列與組合問題綜合到一起時，一般采用先考慮組合后考慮排列的方法解答.其次要搞清需要分類，還是需要分步.分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理是關于計數(shù)的兩個基本原理，它們不僅是推導排列數(shù)公式和組合數(shù)公式的基礎，而且其應用貫穿于排列與組合的始終.學好兩個計數(shù)原理是解決排列與組合應用題的基礎.切記：排組分清（有序

19、排列、無序組合），加乘明確（分類為加、分步為乘）. 三、經(jīng)典例題導講 [例1] 10個人走進只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必須且只能坐一人，共有多少種不同的坐法？ 錯解：10個人坐6把不同的椅子，相當于10個元素到6個元素的映射，故有種不同的坐法. 錯因:　沒弄清題意，題中要求每把椅子必須并且只能坐一人，已不符合映射模型了.本題事實上是一個排列問題. 正解：　坐在椅子上的6個人是走進屋子的10個人中的任意6個人，若把人抽象地看成元素，將6把不同的椅子當成不同的位置，則原問題抽象為從10個元素中作取6個元素占據(jù)6個不同的位置.顯然是從10個元素中任取6個元素的排列問題.從而，共有＝

20、151200種坐法. [例2]從－3，－2，－1,0，1,2，3，4八個數(shù)字中任取3個不同的數(shù)字作為二次函數(shù) 的系數(shù)，ｂ，ｃ的取值，問共能組成多少個不同的二次函數(shù)？ 錯解：從八個數(shù)字中任取3個不同的數(shù)字作為二次函數(shù) 的系數(shù)，ｂ，ｃ的取值，交換，ｂ，ｃ的具體取值，得到的二次函數(shù)就不同，因而本題是個排列問題，故能組成個不同的二次函數(shù). 錯因:　忽視了二次函數(shù) 的二次項系數(shù)不能為零. 正解：，ｂ，ｃ中不含0時，有個； 　，ｂ，ｃ中含有0時，有2個. 　故共有＋2＝294個不同的二次函數(shù). 注：本題也可用間接解法.共可構成個函數(shù)，其中＝0時有個均不符合要求，從而共有－＝294個不同的二

21、次函數(shù). [例3]以三棱柱的頂點為頂點共可組成多少個不同的三棱錐？ 錯解：按照上底面取出點的個數(shù)分三類：第一類，上底面恰取一點，這時下底面取三點，有 ＝3個；第二類，上底面恰取2點，下底面也取兩點，有＝9個；上底面取3點時，下底面取一點，有 ＝3個.綜上知，共可組成3＋9＋3＝15個不同的三棱錐. 錯因:　在上述解法中，第二類情形時，所取四點有可能共面.這時，務必注意在上底面取2點，與之對應的下底面的2點只有2種取法. 正解：在三棱柱的六個頂點中任取4個頂點有＝15取法，其中側(cè)面上的四點不能構成三棱錐，故有15－3＝12個不同的三棱錐. [例4] 4名男生和3名女生并坐一排，分別回答

22、下列問題： （1）男生必須排在一起的坐法有多少種？ （2）女生互不相鄰的坐法有多少種？ （3）男生相鄰、女生也相鄰的坐法有多少種？ （4）男女生相間的坐法有多少種？ （5）女生順序已定的坐法有多少種？ 解：⑴從整體出發(fā)，視四名男生為一整體，看成一個“大元素”，與三名女生共四個元素進行排列，有種坐法；而大元素內(nèi)部的小元素間又有種坐法.故共有＝576種坐法. ⑵因為女生　互不相鄰，故先將4名男生排好，有種排法；然后在男生之間及其首尾的5個空檔中插入3名女生，有種排法.故共有＝1440種排法. ⑶類似（1）可得：＝288種 ⑷男生排好后，要保證男生互不相鄰、女生也互不相鄰，3名女生

23、只能排在男生之間的3個空檔中，有種排法.故共有＝144種排法. ⑸7個元素的全排列有種，因為女生定序，而她們的順序不固定時有排法，可知 中重復了次，故共有÷＝＝840種排法. 本題還可這樣考慮：讓男生先占7個位置中的4個，共有種排法；余下的位置排女生，因為女生定序，故她們只有1排法，從而共有＝840種排法. [例5] 某運輸公司有7個車隊，每個車隊的車均多于4輛，現(xiàn)從這個車隊中抽調(diào)出10輛車，并且每個車隊至少抽調(diào)一輛，那么共有多少種不同的抽調(diào)方法？ 解：在每個車隊抽調(diào)一輛車的基礎上，還須抽調(diào)的3輛車可分成三類：從一個車隊中抽調(diào)，有＝7種；從兩個車隊中抽調(diào)，一個車隊抽1輛，另一個車隊抽

24、兩輛，有＝42種；從三個車隊中抽調(diào)，每個車隊抽調(diào)一輛，有＝35輛.由分類計數(shù)原理知，共有7＋42＋35＝84種抽調(diào)方法. 本題可用檔板法來解決：由于每個車隊的車均多于4輛，只需將10個份額分成7份.具體來講，相當于將10個相同的小球，放在7個不同的盒子中，且每個盒子均不空.可將10個小球排成一排，在相互之間的九個空檔中插入6個檔板，即可將小球分成7份，因而有＝84種抽調(diào)方法. [例6]用0,1，2，…，9這十個數(shù)字組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，若千位數(shù)字與個位數(shù)字之差的絕對值是2，則這樣的四位數(shù)共有多少個？ 解：若千位數(shù)字與個位數(shù)字中有一個為0 ，則另一個為2，且0只能在個位，2在千位，這樣有

25、四位數(shù)有個.若千位與個位都不含有0，則應為1與3、2與4，3與5、4與6,5與7、6與8,7與9，這樣的四位數(shù)有7××個. ∴共有＋7×＝840個符合條件的四位數(shù) 四、典型習題導練 1．某一天的課程表要排入語文、數(shù)學、英語、物理、體育、音樂6節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學，一共有多少種不同的排法？ 2. 在7名運動員中選出4人組成接力隊，參加4×100米接力賽，那么甲、乙兩人都不跑中間兩棒的安排方法有多少種？ 3．有5雙不同型號的皮鞋，從中任取4只有多少種不同的取法？所取的4只中沒有2只是同型號的取法有多少種？所取的4只中有一雙是同型號的取法有多少種？ 4.一個五棱柱的

26、任意兩個側(cè)面都不平行，且底面內(nèi)的任意一條對角線與另一底面的邊也不平行，以它的頂點為頂點的四面體有多少個？ 5. 4名男生5名女生，一共9名實習生分配到高一的四個班級擔任見習班主任，每班至少有男、女實習生各1名的不同分配方案共有多少種？ 6.有6本不同的書，分給甲、乙、丙三人. （1）甲、乙、丙三人各得2本，有多少種分法？ （2）一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少種分法？ （3）甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少種分法？ （4）平均分成三堆，每堆2本，有多少種分法？ §9.3 二項式定理 一、知識導學 1.二項式定理： 上列公式所表示的定理叫做二項式定理.

27、右邊的多項式叫做的二項展開式，它一共有ｎ＋1項. 其中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù). 式中的叫做二項展開式的通項，用表示， 即＝. 2.二項式系數(shù)的性質(zhì)： 　（1）對稱性.與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等.事實上，這一性質(zhì)可直接由公式得到.　 ?。?）增減性與最大值. 二項式系數(shù)，當ｒ＜時，二項式系數(shù)是逐漸增大的.由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值.當ｎ是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值；當ｎ是奇數(shù)時，中間的兩項相等，且同時取得最大值. ?。?）各二項式系數(shù)的和. 的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于. 二、疑難知識導析 1．二項式定理是代數(shù)公式 　和

28、 　　的概括和推廣，它是以乘法公式為基礎，以組合知識為工具，用不完全歸納法得到的.同學們可對定理的證明不作要求，但定理的內(nèi)容必須充分理解. 2．對二項式定理的理解和掌握，要從項數(shù)、系數(shù)、指數(shù)、通項等方面的特征去熟悉它的展開式.通項公式＝在解題時應用較多，因而顯得尤其重要，但必須注意，它是的二項展開式的第ｒ＋1項，而不是第ｒ項. 3．二項式定理的特殊表示形式 （1）. 　　這時通項是＝. （2）. 　　這時通項是＝. （3）. 　　　即各二項式系數(shù)的和為. 4．二項式奇數(shù)項系數(shù)的和等于二項式偶數(shù)項系數(shù)的和.即 　　 三、經(jīng)典例題導講 [例1]已知， 　　求的值.

29、錯解：由二項展開式的系數(shù)的性質(zhì)可知：的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于，顯然，就是展開式中的，因此的值為－1. 錯因：上述解答忽略了 是項的系數(shù)，而不是二項式系數(shù). 正解：由二項展開式的結(jié)構特征，是項的系數(shù)，而不是二項式系數(shù).觀察式子特征，如果＝1，則等式右邊為，出現(xiàn)所求式子的形式，而就是展開式中的，因此，即 1＝1＋，所以，＝0 評注　這是二項式定理的一個典型應用—賦值法，在使用賦值法時，令、ｂ等于多少，應就具體問題而定，有時取“1”，有時取“－1”，或其他值. [例2]在多項式的展開式中，含項的系數(shù)為　　　　. 錯解：原式＝＝　　 ∴項的系數(shù)為0. 錯因：忽視了ｎ的范圍，上述

30、解法得出的結(jié)果是在ｎ不等于6的前提下得到的，而這個條件并沒有提供. 正解：原式＝＝　　 ∴當ｎ≠6時，項的系數(shù)為0. 　當ｎ＝6時，項的系數(shù)為1 說明：本解法體現(xiàn)了逆向運用二項式定理的靈活性，應注意原式中對照二項式定理缺少這一項. [例3] 的末尾連續(xù)零的個數(shù)是 ( ) A．7 B．5 C．3 D．2 解： 上述展開式中，最后一項為1；倒數(shù)第二項為1000；倒數(shù)第三項為495000，末尾有三個0；倒數(shù)第四項為16170000，末尾有四個0；依次前面各項末尾至少有四個0.所以的末尾連續(xù)零的個數(shù)是3.　　

31、　故選C. [例4] 已知的展開式前三項中的的系數(shù)成等差數(shù)列. ?。?）求展開式中所有的的有理項； ?。?）求展開式中系數(shù)最大的項. 解：（1）展開式前三項的系數(shù)分別為 . 由題設可知： 　　　　解得：ｎ＝8或ｎ＝1（舍去）. 　當ｎ＝8時，＝. 　據(jù)題意，4－必為整數(shù)，從而可知必為4的倍數(shù)， 而0≤≤8，∴＝0,4，8. 　　故的有理項為：，，. （2）設第＋1項的系數(shù)最大，顯然＞0， 故有≥1且≤1. ∵＝， 由≥1，得≤3. ∵＝， 由≤1，得≥2. 　　∴＝2或＝3，所求項分別為和. 評注：1.把握住二項展開式的通項公式，是掌握二項式定理的關鍵

32、，除通項公式外，還應熟練掌握二項式的指數(shù)、項數(shù)、展開式的系數(shù)間的關系、性質(zhì). 　2.運用通項公式求二項展開的特定項，如求某一項，含某次冪的項，常數(shù)項，有理項，系數(shù)最大的項等，一般是運用通項公式根據(jù)題意列方程，在求得ｎ或ｒ后，再求所需的項（要注意ｎ和ｒ的數(shù)值范圍及大小關系）. 　3.注意區(qū)分展開式“第＋1項的二項式系數(shù)”與“第＋1項的系數(shù)”. [例5]已知的展開式中含項的系數(shù)為24，求展開式中含項的系數(shù)的最小值. 解：解法一　由中含項的系數(shù)為24，可得 　　.從而，. 設中含項的系數(shù)為ｔ，則 ?。簦? 把代入上式，得 ?。簦? ∴當ｎ＝6時，ｔ的最小值為120，此時ｍ＝ｎ＝6

33、. 解法二　由已知， 設中含項的系數(shù)為ｔ，則 ｔ＝≥2＝2（72－12）＝120. 當且僅當ｍ＝ｎ＝6時，ｔ有最小值120. ∴展開式中含項的系數(shù)的最小值為120. 評注：構造函數(shù)法是一種常用的方法，尤其在求最值問題中應用非常廣泛. 四、典型習題導練 1．化簡： 2. 設，則 的值為 3. （1+x）(2+x)(3+x)…(20+x)的展開式中x19的系數(shù)是 . 4. 式子的展開式中的常數(shù)項是　　?。ā　　。? 　A、－15　　　B、20　　　C、－20　　　　D、15 5．已知二項式中，＞0，ｂ

34、＞0,2ｍ＋ｎ＝0但ｍｎ≠0，若展開式中的最大系數(shù)項是常數(shù)項，求的取值范圍. 6．用二項式定理證明：能被整除　?。ǎ睢?，ｎ≥2）.　 §9.4 隨機事件的概率及古典概型 一、知識導學 1.必然事件：在一定的條件下必然要發(fā)生的事件. 　不可能事件：在一定的條件下不可能發(fā)生的事件. 　隨機事件：在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件. 2. 概率：實際生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件和隨機事件.隨機事件在現(xiàn)實世界中是廣泛存在的.在一次試驗中，事件A是否發(fā)生雖然帶有偶然性，但在大量重復試驗下，它的發(fā)生呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，即事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，

35、這個常數(shù)就叫做事件A的概率.記著P（A）. 　　　　0≤P（A）≤1 3．若在一次試驗中，每個基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件． 4．具有以下兩個特點：（１）所有的基本事件只有有限個；（２）每個基本事件的發(fā)生都是等可能的．我們將滿足上述條件的 隨 機 試 驗 的 概 率 模 型 稱 為 古 典 概 型 5．等可能事件的概率：如果一次試驗中共有ｎ種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中事件A包含的結(jié)果有ｍ種，那么事件A的概率P（A）＝． 二、疑難知識導析 1．必然事件、不可能事件、隨機事件的區(qū)別與聯(lián)系：必然事件是指在一定條件下必然發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定的條件下不

36、可能發(fā)生的事件；隨機事件是指在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.要辨析清事件的條件和結(jié)果，理解事件的結(jié)果是相應于“一定條件”而言的，必須明確什么是事件發(fā)生的條件，什么是在此條件下產(chǎn)生的結(jié)果.上述三種事件都是在一定條件下的結(jié)果. 2．頻率與概率：隨機事件A的頻率指此事件發(fā)生的次數(shù)ｍ與試驗總次數(shù)ｎ的比值，它是隨著試驗次數(shù)的改變而變化的，它具有一定的穩(wěn)定性，即總在某個常數(shù)ｐ附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小，于是，我們給這個常數(shù)取個名字，叫隨機事件的概率.因此，概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大??；而頻率在大量重復試驗的前提下，可近似地作為這個事件的概率.即概率

37、是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值. 3．必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，隨機事件的概率：0＜P（A）＜1，這里要辯證地理解它們的概率：必然事件和不可能事件可以看作隨機事件的兩個極端，它們雖是兩類不同的事件，但在一定的情況下又可以統(tǒng)一起來，即任意事件A的概率滿足： 　　　　　0≤P（A）≤1 4．等可能事件的理解：一次試驗中所有可能的ｎ個基本結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，這ｎ個結(jié)果對應著ｎ個基本事件.對等可能事件的理解，其實質(zhì)在于對等可能性的理解.“等可能性”指的是結(jié)果，而不是事件.例如拋擲兩枚均勻的硬幣，可能出現(xiàn)“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”“一反一正”這四種結(jié)果，每一種結(jié)果

38、的可能性相等，都是0.25；而出現(xiàn)“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”這三種結(jié)果就不是等可能的. 5．注意用集合的觀點來看概率，運用圖式法來弄清各事件之間的關系.對古典概率來說，一次試驗中等可能出現(xiàn)的幾個結(jié)果組成一個集合I，其中各基本事件均為集合I的含有一個元素的子集，包括ｍ個基本事件的子集A，從而從集合的角度來看：事件A的概率是子集A的元素的個數(shù)與集合I的元素個數(shù)的比值，即P（A）＝.因此，可以借助集合的表示法來研究事件，運用圖示法弄清各事件的關系，從而做到較深刻的理解. 三、經(jīng)典例題導講 [例1] 某人有5把鑰匙，但忘記了開房門的是哪一把，于是，他逐把不重復地試開，問恰好第三次打開房

39、門鎖的概率是多少？ 錯解：有5把鑰匙，每次打開房門的概率都是，不能打開房門的概率是，因而恰好第三次打開房門的概率是××＝. 錯因:上述解法忽略了條件“逐把不重復地試開”. 正解：我們知道最多開5次門，且其中有且僅有一次可以打開房門，故每一次打開門的概率是相同的，都是.開三次門的所有可能性有種.第三次打開房門，則房門鑰匙放在第3號位置上，前兩次沒能打開門，則前2個位置是用另4把鑰匙安排的，故有種可能.從而恰好第三次打開房門鎖的概率是P（A）＝. [例2] 某組有16名學生，其中男、女生各占一半，把全組學生分成人數(shù)相等的兩小組，求每小組里男、女生人數(shù)相同的概率. 錯解：把全組學生分成人數(shù)

40、相等的兩小組，有種分法，事件A為組里男、女生各半的情形，它有種，所以P（A）＝. 錯因:這里沒注意到均勻分成兩組與分成A、B兩組的區(qū)別. 正解：基本事件有，事件A為組里男、女生各半的情形，它有種，所以　P（A）＝. [例3] 把一枚硬幣向上連拋10次，則正、反兩面交替出現(xiàn)的概率是　　　　. 錯解：拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正、反兩面的可能性都相等，因而正、反兩面交替出現(xiàn)的概率是. 錯因：沒審清題意.事實上，把一枚硬幣向上連拋10次，出現(xiàn)正面5次的概率同樣也不等于. 正解：連拋10次得正、反面的所有可能的情況共有種，而題設中的正、反兩面交替出現(xiàn)的情況只有2種，故所求的概率為. [例4]某科

41、研合作項目成員由11個美國人、4個法國人和5個中國人組成，現(xiàn)從中隨機選出兩位作為成果發(fā)布人，則此兩人不屬于同一個國家的概率為?。ńY(jié)果用分數(shù)表示）. 解：設“從20名成員中隨機選出的2人來自不同國家”為事件A，則A所包含的基本事件數(shù)為，又基本事件數(shù)為. 　　　　故P（A）＝. [例5] 將4個編號的球放入3個編號的盒中，對于每一個盒來說，所放的球數(shù)ｋ滿足0≤ｋ≤4.在各種放法的可能性相等的條件下，求： （1）第一個盒沒有球的概率； （2）第一個盒恰有1個球的概率； （3）第一個盒恰有2個球的概率； （4）第一個盒有1個球，第二個盒恰有2個球的概率. 解：4個不同的球放入3個不同的

42、盒中的放法共有種. （1）第一個盒中沒有球的放法有種，所以第一個盒中沒有球的概率為： 　　　　P1＝. （2）第一個盒中恰有1個球的放法有種，所以第一個盒中恰有1個球的概率為：　　　P2＝. （3）第一個盒中恰有2個球的放法有種，所以第一個盒中恰有2個球的概率為：　　　P3＝. （4）第一個盒中恰有1個球，第二個盒中恰有2個球的放法有種，所以所求的概率為：P4＝. [例6] 一個口袋內(nèi)有7個白球和3個黑球，分別求下列事件的的概率： （1）事件A：從中摸出一個放回后再摸一個，兩回摸出的球是一白一黑； （2）事件B：從袋中摸出一個黑球，放回后再摸出一個是白球； （3）事件C：從袋

43、中摸出兩個球，一個黑球，一個白球； （4）事件D：從從袋中摸出兩個球，先摸出的是黑球，后摸出的是白球. 解：（1）基本事件總數(shù)是10×10.事件A包括“先摸出黑球后摸出白球”及“先摸出白球后摸出黑球”，摸出白球及黑球分別有7種和3種可能.所以A發(fā)生共有2×7×3種可能.　　　∴P（A）＝＝0.42. 2）事件B與事件A不同，它確定了先摸黑球再摸白球的順序. 　　　P（B）＝＝0.21 （3）事件C說明摸出兩個球不放回，且不考慮次序，因此基本事件總數(shù)是，事件C包含的基本事件個數(shù)是. P（C）＝≈0.47. （4）與事件A相比，D要考慮摸出兩球的先后次序. P（D）＝≈0.23

44、評注：注意“放回抽樣”與“不放回抽樣”的區(qū)別.本例（1）（2）是放回抽樣，（3）（4）是不放回抽樣. 四、典型習題導練 1．對某電視機廠生產(chǎn)的電視機進行抽樣檢測的數(shù)據(jù)如下： 抽取臺數(shù) 50 100 200 300 500 1000 優(yōu)等品數(shù) 40 92 192 285 478 954 （1）計算表中優(yōu)等品的各個頻率； （2）該廠生產(chǎn)的電視機優(yōu)等品的概率是多少？ 2．先后拋擲三枚均勻的硬幣，至少出現(xiàn)一次正面的概率是　?。ā　。? A、　　　B、　　　C、　　　D、 3．停車場可把12輛車停放一排，當有8輛車已停放后，則所剩4個空位恰連在一起的概率為　?。ā?/p>

45、　?。? 　A、　　　B、　　　C、　　D、 4．有5條線段，其長度分別為1、3、5、7、9，現(xiàn)從中任取3條線段，求3條線段構成三角形的概率. 5．把10個運動隊平均分成兩組進行預賽，求最強的兩隊被分在（1）不同組內(nèi)；（2）同一組內(nèi)的概率. 6．甲、乙兩人參加普法知識問答，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙兩人依次各抽一題. （1）甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少？ （2）甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題的概率是多少？ §9.5 幾何概型及互斥事件的概率 一、知識導學 1. 對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點

46、，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點．這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等．用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型. 一般地，在幾何區(qū)域 Ｄ 中隨機地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域ｄ內(nèi)”為事件Ａ，則事件Ａ 發(fā)生的概率 Ｐ（Ａ）＝ ． 這里要求Ｄ 的測度不為０，其中“測度”的意義依Ｄ 確定，當Ｄ 分別是線段、平面圖形和立體圖形時，相應的“測度”分別是長度、面積和體積等 2．互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件. 　如果事件A、B、C，其中任何兩個都是互斥事件，則說事件A、B、C彼此互斥. 　當A，B是互斥事件

47、時，那么事件A＋B發(fā)生（即A，B中有一個發(fā)生）的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和. 　　　　P（A＋B）＝P（A）＋P（B）. 如果事件A1、A2、…、Aｎ彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋Aｎ發(fā)生（即A1、A2、…、Aｎ中有一個發(fā)生）的概率，等于這ｎ個事件分別發(fā)生的概率的和. 3．對立事件：其中必有一個發(fā)生的兩個互斥事件.事件A的對立事件通常記著. 　對立事件的概率和等于1. 　　　P（）＝1－P（A） 4．相互獨立事件：事件A（或B）是否發(fā)生對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件. 當A，B是相互獨立事件時，那么事件AB發(fā)生（即A，B同時發(fā)生

48、）的概率，，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的積. 　　P（AB）＝P（A）P（B）. 如果事件A1、A2、…、Aｎ相互獨立，那么事件A1A2…Aｎ發(fā)生（即A1、A2、…、Aｎ同時發(fā)生）的概率，等于這ｎ個事件分別發(fā)生的概率的積. 5．獨立重復試驗 如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在ｎ次獨立重復試驗中這個試驗恰好發(fā)生ｋ次的概率 　　 二、疑難知識導析 1．對互斥事件、對立事件的理解： 從集合角度看，事件A、B互斥，就是它們相應集合的交集是空集（如圖1）；事件A、B對立，就是事件A包含的結(jié)果的集合是其對立事件B包含的結(jié)果的補集（如圖2）. “互斥事件

49、”與“對立事件”都是就兩個事件而言的，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件是其中必有一個發(fā)生的互斥事件，因此，對立事件必須是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，也就是說“互斥”是“對立”的必要但不充分的條件. 根據(jù)對立事件的意義，（A＋）是一必然事件，那它發(fā)生的概率等于1，又由于A與互斥，于是有P（A）＋P（）＝P（A＋）＝1，從而有P（）＝1－P（A）.當某一事件的概率不易求出或求解比較麻煩，但其對立事件的概率較容易求出時，可用此公式，轉(zhuǎn)而先求其對立事件的概率. 2．對相互獨立事件的理解： 相互獨立事件是針對兩個事件而言的，只不過這兩個事件間的關系具有一定的特殊性，即其中一

50、個事件是否發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響.若A、B兩事件相互獨立，則A與、與B、與也都是相互獨立的. 3．正確理解AB與A＋B的關系：設A、B是兩個事件，則AB表示這樣一個事件，它的發(fā)生表示A與B同時發(fā)生；而A＋B表示這一事件是在A或B這兩個事件中，至少有一個發(fā)生的前提下而發(fā)生的.公式P（A＋B）＝P（A）＋P（B）與P（AB）＝P（A）P（B）的使用都是有前提的. 一般情況下，P（A＋B）＝1－P（） ＝P（A）＋P（B）－P（AB） 　　它可用集合中的韋恩圖來示意. 三、經(jīng)典例題導講 ［例1］ 從0,1，2,3這四位數(shù)字中任取3個進行排列，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，求排

51、成的三位數(shù)是偶數(shù)的概率. 錯解：記“排成的三位數(shù)是偶數(shù)”為事件A， P（A）＝＝. 錯因:上述解法忽略了排成的三位數(shù)首位不能為零. 正解：記“排成的三位數(shù)的個位數(shù)字是0”為事件A，“排成的三位數(shù)的個位數(shù)字是2”為事件B，且A與B互斥，則“排成的三位數(shù)是偶數(shù)”為事件A＋B，于是 P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝. [例2] 從1,2，3，…,100這100個數(shù)中，隨機取出兩個數(shù)，求其積是3的倍數(shù)的概率. 錯解：從1,2，3，…,100這100個數(shù)中，隨機取出兩個數(shù)，其積是3的倍數(shù)，則須所取兩數(shù)至少有一個是3的倍數(shù). 記事件A為任取兩整數(shù)相乘為3的倍數(shù)，則 　P（A）＝

52、錯因: 這里相關的排列組合問題沒有過關. 正解：基本事件數(shù)有種.在由1到100這100個自然數(shù)中，3的倍數(shù)的數(shù)組成的集合M中有33個元素，不是3的倍數(shù)組成的集合N中有67個元素，事件A為任取兩整數(shù)相乘為3的倍數(shù)，分兩類：（1）取M中2個元素相乘有種；（2）從集合M、N中各取1個元素相乘有種.因為這兩類互斥，所以 　P（A）＝. [例3] 在房間里有4個人，問至少有兩個人的生日是同一個月的概率是多少？ 解：由于事件A“至少有兩個人的生日是同一個月”的對立事件是“任何兩個人的生日都不同月”.因而　至少有兩個人的生日是同一個月的概率為： P（A）＝1－P（）＝1－＝1－. [例4]

53、某單位6名員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每個員工上網(wǎng)的概率都是0.5（相互獨立）.求（1）至少3人同時上網(wǎng)的概率；（2）至少幾人同時上網(wǎng)的概率小于0.3？ 解：（1）至少3人同時上網(wǎng)的概率等于1減去至多2人同時上網(wǎng)的概率，即 　　　　1－－－＝1－. （2）6人同時上網(wǎng)的概率為＜0.3； 至少5人同時上網(wǎng)的概率為＋＜0.3； 　　　　至少4人同時上網(wǎng)的概率為＋＋＞0.3. 　　　故至少5人同時上網(wǎng)的概率小于0.3. [例5]設甲、乙兩射手獨立地射擊同一目標，他們擊中目標的概率分別為0.9、0.8，求：（1）目標恰好被甲擊中的概率；（2）目標被擊中的概率. 解：設事件A為“甲擊中目標

54、”，事件B為“乙擊中目標”. 由于甲、乙兩射手獨立射擊，事件A與B是相互獨立的， 故A與、與B也是相互獨立的. （1）目標恰好被甲擊中，即事件A發(fā)生. P（A·）＝P（A）×P（）＝0.9×（1－0.8）＝0.18. 　　∴目標恰好被甲擊中的概率為0.18. （2）目標被擊中即甲、乙兩人中至少有1人擊中目標，即事件A·、·B、A·B發(fā)生. 由于事件A·、·B、A·B彼此互斥， 所以目標被擊中的概率為 P（A·＋·B＋A·B）＝P（A·）＋P（·B）＋P（A·B） 　＝P（A）·P（）＋P（）·P（B）＋P（A·B） ?。?.9×0.2＋0.1×0.8＋0.9×0.8＝0.

55、98. 評注：運用概率公式求解時，首先要考慮公式的應用前提.本題（2）也可以這樣考慮：排除甲、乙都沒有擊中目標.因為P（·）＝P（）·P（）＝0.1×0.2＝0.02. 所以目標被擊中的概率為 1－P（·）＝1－0.02＝0.98. [例6]某課程考核分理論與實驗兩部分進行，每部分考核成績只記“合格”與“不合格” ，兩部分考核都是“合格”則該課程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9，0.8，0.7；在實驗考核中合格的概率分別為0.8，0.7，0.9，所有考核是否合格相互之間沒有影響. 　（1）求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率； 　（2）求這

56、三人課程考核都合格的概率.（結(jié)果保留三位小數(shù)） 解：　記“甲理論考核合格”為事件A1，“乙理論考核合格”為事件A2，“丙理論考核合格”為事件A3，“甲實驗考核合格”為事件B1，“乙實驗考核合格”為事件B2，“丙實驗考核合格”為事件B3. ?。?）記“理論考核中至少有兩人合格”為事件C. 則P（C）＝P（A1 A2 ＋A1 A3＋ A2 A3＋A1 A2 A3） ＝P（A1 A2 ）＋P（A1 A3）＋P（ A2 A3）＋P（A1 A2 A3） ＝0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.7 ＝0.902 ?。?）記“三人該課程

57、考核都合格”為事件D. 則P（D）＝P［（A1·B1）·（A2·B2）·（A3·B3）］ ＝P（A1·B1）·P（A2·B2）·P（A3·B3） ＝P（A1）·P（B1）·P（A2）·P（B2）·P（A3）·P（B3） ＝0.9×0.8×0.8×0.8×0.7×0.9 ≈0.254 所以，理論考核中至少有兩人合格的概率為0.902； 　　　這三人該課程考核都合格的概率為0.254。 四、典型習題導練 1． 從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（　?。? A．至少有1個黑球，都是黑球　　　B．至少有1個黑球，至少有1個紅球 C．恰有1個黑球

58、，恰有2個紅球　　D．至少有1個黑球，都是紅球 2．　取一個邊長為２的正方形及其內(nèi)切圓，隨機向正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入圓內(nèi)的概率． 3． 某小組有男生6人，女生4人，現(xiàn)從中選出2人去開會，求至少有1名女生的概率. 4．設有編號分別為1,2，3,4，5的五封信，另有同樣編號的五個信封，現(xiàn)將五封信任意裝入五個信封，每個信封裝入一封信，試求至少有兩封信配對的概率. 5．某班級有52個人，一年若按365天計算，問至少有兩個人的生日在同一天的概率為多大？ 6．九個國家乒乓球隊中有3個亞洲國家隊，抽簽分成甲、乙、丙三組（每組3隊）進行預賽，試求：（1）三個組各有一個亞洲國家隊的概率；（2）至少有兩個亞洲國家隊分在同一組的概率.