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1、8.6立體幾何中的向量方法,知識梳理,雙擊自測,1.直線的方向向量與平面的法向量 (1)直線l上的向量e以及與e共線的向量叫做直線l的方向向量. (2)如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面,那么稱向量n垂直于平面,記作n.此時把向量n叫做平面的法向量.,,,,,知識梳理,雙擊自測,2.線面關(guān)系的判定 設直線l1的方向向量為e1=(a1,b1,c1),直線l2的方向向量為e2=(a2,b2,c2),平面的法向量為n1=(x1,y1,z1),平面的法向量為n2=(x2,y2,z2). (1)如果l1l2,那么e1e2e2=e1a2=a1,b2=b1,c2=c1. (2)如果l1l2,那么
2、e1e2e1e2=0a1a2+b1b2+c1c2=0. (3)若l1,則e1n1e1n1=0a1x1+b1y1+c1z1=0. (4)若l1,則e1n1e1=kn1a1=kx1,b1=ky1,c1=kz1. (5)若,則n1n2n1=kn2x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2. (6)若,則n1n2n1n2=0 x1x2+y1y2+z1z2=0.,,,,,,,,,知識梳理,雙擊自測,3.利用空間向量求空間角 (1)兩條異面直線所成的角 范圍:兩條異面直線所成的角的取值范圍是 . 向量求法:設直線a,b的方向向量為a,b,其夾角為,則有cos =|cos |. (2)直線與平面所成的角
3、范圍:直線和平面所成的角的取值范圍是 . 向量求法:設直線l的方向向量為a,平面的法向量為u,直線與平面所成的角為,a與u的夾角為,則有sin =|cos |或cos =sin .,,,知識梳理,雙擊自測,(3)二面角 二面角的取值范圍是0,. 二面角的向量求法: 若AB,CD分別是二面角-l-的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線,則二面角的大小就是向量AB與CD的夾角(如圖).,設n1,n2分別是二面角-l-的兩個面,的法向量,則圖中向量n1與n2的夾角的補角的大小就是二面角的平面角的大小;而圖中向量n1與n2的夾角的大小就是二面角的平面角的大小.,,知識梳理,雙擊自測,答案,解析,知識梳理,
4、雙擊自測,2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,點M,N分別是A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,則BM與AN所成的角的余弦值為(),答案,解析,知識梳理,雙擊自測,3.設直線l的方向向量為a,平面的法向量為n=(2,2,4),若a=(1,1,2),則直線l與平面的位置關(guān)系為;若a=(-1,-1,1),則直線l與平面的位置關(guān)系為.,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,4.正三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直,則它的側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為.,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,5.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為CC1的中點,則直線DE與平面A1BC1的夾角的正弦
5、值為.,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,自測點評 1.切莫混淆向量平行與向量垂直的坐標表示,理解直線平行與直線方向向量平行的差異,否則易造成解題不嚴謹. 2.利用空間向量求空間角,避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩,使空間點、線、面的位置關(guān)系的判定和計算程序化、簡單化.主要是建系、設點、計算向量的坐標、利用數(shù)量積的夾角公式計算.,考點一,考點二,考點三,利用空間向量證明平行、垂直(考點難度) 【例1】 如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,側(cè)棱PA底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分別是線段PA,PD,AB的中點. 求證:(1)PB平面EFH; (2)PD平面AHF.,考點一,考點
6、二,考點三,證明:建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz. A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),H(1,0,0).,考點一,考點二,考點三,方法總結(jié)1.恰當建立坐標系,準確表示各點與相關(guān)向量的坐標,是運用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵. 2.證明直線與平面平行,只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零,或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個向量共面,然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運算. 3.證明直線與直線垂直,只需要證明兩條直線的方向向量垂直,而直線與平面垂直、平面與平面
7、垂直可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直證明.,考點一,考點二,考點三,對點訓練 如圖,在棱長為1的正方體AC1中,點E,F分別為A1D1和A1B1的中點.若點P在正方形ABCD內(nèi)部或其邊界上,且EP平面BFC1,求EP的最大值、最小值.,考點一,考點二,考點三,解:以D為坐標原點,DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系,,設平面BFC1的法向量為n=(x,y,z),,取z=1得平面BFC1的一個法向量n=(1,2,1).,考點一,考點二,考點三,考點一,考點二,考點三,利用空間向量求空間角(考點難度) 考情分析從近幾年高考來看,利用空間向量求空間角是每年必考內(nèi)容,重點考查向量方法
8、的應用,題目有一定難度.題目的常見類型有:(1)利用空間向量求異面直線所成的角;(2)利用空間向量求直線與平面所成的角;(3)利用空間向量求二面角.,考點一,考點二,考點三,類型一利用空間向量求異面直線所成的角 【例2】 將邊長為1的正方形AA1O1O(及其內(nèi)部)繞OO1旋轉(zhuǎn)一周,的同側(cè). (1)求三棱錐C-O1A1B1的體積; (2)求異面直線B1C與AA1所成的角的大小.,考點一,考點二,考點三,解:(1)由題意可知,圓柱的高h=1,底面半徑r=1.,考點一,考點二,考點三,(2)方法一:設過點B1的母線與下底面交于點B,則BB1AA1, 所以CB1B為直線B1C與AA1所成的角.,方法
9、二:(坐標系法)以OO1所在直線為z軸,以OA所在直線為y軸,取BC中點D,以OD所在直線為x軸建空間坐標系也可得所成角為45.,考點一,考點二,考點三,對點訓練在四棱錐P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,四邊形ABCD為直角梯形,BCAD,ADC=90,BC=CD= AD=1, PA=PD,E,F分別為線段AD,PC的中點. (1)求證:PA平面BEF; (2)若直線PC與AB所成的角為45,求線段PE的長.,考點一,考點二,考點三,(1)證明:在四棱錐P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,四邊形ABCD為直角梯形,BCAD,ADC=90,BC=CD= AD=1, PA=PD,E,F
10、分別為線段AD,PC的中點, PE平面ABCD,BEAE. 以E為原點,EA所在直線為x軸,EB所在直線為y軸,EP所在直線為z軸,建立空間直角坐標系, 則A(1,0,0),E(0,0,0),B(0,1,0),C(-1,1,0).,考點一,考點二,考點三,考點一,考點二,考點三,類型二利用空間向量求直線與平面所成的角 【例3】 已知四邊形ABCD為直角梯形,BCD=90,ADCB,且AD=3,BC=2CD=4,點E,F分別在線段AD和BC上,使FEDC為正方形,將四邊形ABFE沿EF翻折至使二面角B-EF-C的所成角為60. (1)求證:CE平面ADB; (2)求直線AB與平面FECD所成角
11、的正弦值.,考點一,考點二,考點三,(1)證明:如圖所示,取FB的中點M,連接CM,AM. AEBM,四邊形AEMB是平行四邊形. ABEM. AMCD,四邊形AMCD是平行四邊形,ADCM. 又CMEM=M,ABAD=A, 平面EMC平面ADB. 又CE平面CME,CE平面ADB.,考點一,考點二,考點三,(2)解:取DE的中點O,建立如圖所示的空間直角坐標系. AED=BFC=60.,考點一,考點二,考點三,對點訓練如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABPA,ABCD,且PB=BC=BD= ,CD=2AB=2 ,PAD=120. (1)求證:平面PAD平面PCD; (2)求直線PD與平面
12、PBC所成的角的正弦值.,考點一,考點二,考點三,(1)證明:過點B作BEAD交CD于點E. ABCD,BEAD, 四邊形ABED為平行四邊形.AB=DE. 又CD=2AB,E為CD中點.BECD. 四邊形ABED為矩形.ABAD. 又ABPA,PAAD=A,AB平面PAD. 又ABCD,CD平面PCD,平面PAD平面PCD.,考點一,考點二,考點三,(2)解:以A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立空間直角坐標系,,考點一,考點二,考點三,考點一,考點二,考點三,類型三利用空間向量求二面角的大小 【例4】 (2018浙江高三模擬)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=A
13、C=AA1=BC1=2,AA1C1=60,平面ABC1平面AA1C1C,AC1與A1C相交于點D. (1)求證:BDA1C; (2)求二面角C1-AB-C的余弦值.,考點一,考點二,考點三,(1)證明:已知側(cè)面AA1C1C是菱形,D是AC1的中點, BA=BC1,BDAC1. 平面ABC1平面AA1C1C,且BD平面ABC1,平面ABC1平面AA1C1C=AC1, BD平面AA1C1C,BDA1C. (2)解:如圖,以D為原點,以DA,DB,DC所在直線分別為x軸、z軸、y軸建立空間直角坐標系,,考點一,考點二,考點三,平面ABC1平面AA1C1C,A1CAC1, CD平面ABC1.,考點一
14、,考點二,考點三,對點訓練如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點,AA1=AC=CB= AB. (1)證明:BC1平面A1CD; (2)求二面角D-A1C-E的正弦值.,考點一,考點二,考點三,(1)證明:連接AC1交A1C于點F,則F為AC1的中點. 又D是AB的中點,連接DF,則BC1DF. 因為DF平面A1CD,BC1平面A1CD, 所以BC1平面A1CD.,考點一,考點二,考點三,考點一,考點二,考點三,可取m=(2,1,-2).,考點一,考點二,考點三,方法總結(jié)1.利用向量法求異面直線所成的角時,是通過兩條直線的方向向量的夾角來求解,而兩異面直線所成
15、角的范圍是 ,兩向量的夾角的范圍是0,,所以要注意二者的區(qū)別與聯(lián)系,應有cos =|cos |. 2.利用向量法求線面角的方法 (1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角); (2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角,取其余角就是斜線和平面所成的角.,考點一,考點二,考點三,3.利用空間向量求二面角的方法: (1)分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到一個與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小; (2)通過平面的法向量來求:設二面角的兩個半平面的法向量分別為n1和n2,
16、則二面角的大小等于(或-).應注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角.,考點一,考點二,考點三,利用空間向量解決探索性問題(考點難度),【例5】 (2018浙江諸暨高三模擬)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為菱形,ABC=60,PAD為正三角形,且平面PAD平面ADCB,M為AD的中點. (1)若N為PB的中點,求證:MN平面PCD; (2)線段PB(含端點)上是否存在點N,使得MN與平面PBC所成角為 ?,考點一,考點二,考點三,解:(1)取PC的中點Q,連接NQ,DQ,由中位線定理及菱形的性質(zhì)可得QNMD,QN=MD,四邊形QNMD為平行四邊形. MNDQ.MN平面PDC,
17、DQ平面PDC,MN平面PDC. (2)平面PAD平面ADCB,平面PAD 平面ADCB=AD,PMAD,PD平面ADCB,易得CMMD,以MD,MC,MP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.不妨設AB=2,,考點一,考點二,考點三,考點一,考點二,考點三,方法總結(jié)立體幾何開放性問題求解方法有以下兩種: (1)根據(jù)題目的已知條件進行綜合分析和觀察猜想,找出點或線的位置,然后再加以證明,得出結(jié)論; (2)假設所求的點或線存在,并設定參數(shù)表達已知條件,根據(jù)題目進行求解,若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍,則存在這樣的點或線,否則不存在.,考點一,考點二,考點三,對點訓練如圖,四棱柱
18、ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都等于2,ABC和A1AC均為60,平面AA1C1C平面ABCD. (1)求證:BDAA1; (2)在直線CC1上是否存在點P,使BP平面DA1C1?若存在,求出點P的位置;若不存在,請說明理由.,考點一,考點二,考點三,(1)證明:設BD與AC交于點O,則BDAC, 連接A1O. 在AA1O中,AA1=2,AO=1,A1AO=60, 由于平面AA1C1C平面ABCD,平面AA1C1C平面ABCD=AC,A1O平面AA1C1C, A1O平面ABCD,以OB,OC,OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,,考點一,考點二,考點三,
19、(2)解:假設在直線CC1上存在點P,使BP平面DA1C1,,答題規(guī)范利用空間向量求角 利用空間向量求角是高考的熱點,前幾年理科每年必考,主要是突出向量的工具性作用.利用空間向量求空間角的關(guān)鍵是能夠根據(jù)空間幾何圖形特點建立空間坐標系,寫出空間點坐標.將向量的夾角轉(zhuǎn)化成空間角時,要注意根據(jù)角的概念和圖形特征進行轉(zhuǎn)化,否則易錯.,【典例】 (2017浙江寧波聯(lián)考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,BAD=120,AB=AD=2,BCD是等邊三角形,E是BP中點,AC與BD交于點O,且OP平面ABCD. (1)求證:PD平面ACE; (2)當OP=1時,求直線PA與平面ACE所成角的正弦值.,分析:(
20、1)推導出ABCACD,O是BD中點,連接OE,則OEPD,由此能證明PD平面ACE. (2)由BDAC,PO平面ABCD,以O為原點,OB,OC,OP為坐標軸建立空間直角坐標系,利用向量法能求出直線PA與平面ACE所成角的正弦值. (1)證明:在四棱錐P-ABCD中,BAD=120,AB=AD=2,BCD是等邊三角形,ABCACD. E是BP中點,AC與BD交于點O,O是BD中點. 連接OE,則OEPD. (3分) PD平面ACE,OE平面ACE, PD平面ACE. (6分),(2)解:BDAC,PO平面ABCD,以O為原點,OB,OC,OP為坐標軸建立空間直角坐標系, (8分),答題指導本
21、題考查面面垂直的證明,考查二面角的余弦值的取值范圍的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.,高分策略1.用向量知識證明立體幾何問題有兩種基本思路:一種是用向量表示幾何量,利用向量的運算進行判斷;另一種是用向量的坐標表示幾何量,共分三步:(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量(或坐標)表示問題中所涉及的點、線、面,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運算,研究點、線、面之間的位置關(guān)系;(3)根據(jù)運算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題. 2.向量法通過空間坐標系把空間圖形的性質(zhì)代數(shù)化,避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩,使空間點、線、面的位置關(guān)系的判定和計算程序化、簡單化.主要是建系、設點、計算向量的坐標、利用數(shù)量積的夾角公式計算. 3.利用平面的法向量求二面角的大小時,當求出兩半平面,的法向量n1,n2時,要根據(jù)向量坐標在圖形中觀察法向量的方向,從而確定二面角與向量n1,n2的夾角是相等,還是互補.,
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