中考數(shù)學(xué)專題 數(shù)學(xué)方法
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中考數(shù)學(xué)專題 數(shù)學(xué)方法
學(xué)習(xí)好資料歡迎下載專題八:數(shù)學(xué)方法一、考點(diǎn)綜述考點(diǎn)內(nèi)容:配方法、因式分解法、換元法、待定系數(shù)法、面積法考綱要求:配方法、因式分解法、換元法、待定系數(shù)法、面積法等解題方法是隨著對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的研究的深入而發(fā)展起來的。要求學(xué)生鉆研習(xí)題、精通解題方法,可以促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步熟練地掌握中學(xué)數(shù)學(xué)教材,練好解題的基本功,提高解題技巧,積累教學(xué)資料,提高考試答題的應(yīng)變能力??疾榉绞郊胺种担号浞椒?、因式分解法、換元法、待定系數(shù)法、面積法等解題方法在中考中選擇、填空、解答題都有出現(xiàn),常常在綜合題目中出現(xiàn),分值在 20 分左右。備考策略:分析解題思路,總結(jié)解題方法,重在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力;分析中考對(duì)知識(shí)的考查方式和未來中考命題的趨勢,使學(xué)生全面了解和掌握各個(gè)題型的命題特點(diǎn)與命題趨勢,做到有的放矢。二、例題解析1、配方法所謂配方,就是把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法,把其中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法,它的應(yīng)用非常廣泛,在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。例 1:用配方法解方程: 2 x2 - x - 1 = 0 解題思路:(1)此方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為 1,要先化成 1;(2)在配方時(shí),當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為 1 時(shí),方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的一半的平方就得到完全平方式。解析:兩邊都除以 2,得 x2 -1 1x - = 0 2 2移項(xiàng),得 x2 -1 1x = 2 2配方,得 x2 -x + ç ÷ = , ç x -÷ = x - 14 4 4 4 21æ 1 ö29æ1 ö292è 4 ø16è4 ø163131=或 x -= - x = 1, x = -12規(guī)律總結(jié):用配方法解一元二次方程的一般步驟:(1) 化二次項(xiàng)系數(shù)為 1學(xué)習(xí)好資料歡迎下載(2)移項(xiàng):使方程的左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng),右邊為常數(shù)項(xiàng)(3)配方:方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的一半的平方就得到完全平方式(4)用直接開平方法解方2、因式分解法因式分解,就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ),它作為數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。例 2已知 4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0,求證:2x2+3xy+y2-x-y=0解題思路:要證明一個(gè)多項(xiàng)式的值為零,通常是將此多項(xiàng)式分解因式若分解后的因式中有一個(gè)值為零,則原多項(xiàng)式的值為零經(jīng)過分組分解,可知2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1),若 x+y 或 2x+y-1 為零,則原多項(xiàng)式的值為零為達(dá)此目的,就要從條件入手證明:因?yàn)?#160;4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0,所以(2x+y)2-2(2x+y)+1=0,(2x+y-1)2=0所以2x+y-1=0又因?yàn)?x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)而2x+y-1=0,所以2x2+3xy+y2-x-y=0規(guī)律總結(jié):要證明一個(gè)多項(xiàng)式的值為零,通常是將此多項(xiàng)式分解因式若分解后的因式中有一個(gè)值為零,則原多項(xiàng)式的值為零。3、換元法換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元,所謂換元法,就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中,用新的變元去代替原式的一個(gè)部分或改造原來的式子,使它簡化,使問題易于解決。例 3解方程: 2 x -1 4 x-x 2 x 2 - 1= 312 x 2 - 1解題思路:此題初看似乎應(yīng)先去分母,但去分母會(huì)使方程兩邊次數(shù)太高,仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)2 x -=,xx2 x 2 - 1所以應(yīng)設(shè) y =,用換元法解。x解: x = 1 + 62 2 2學(xué)習(xí)好資料歡迎下載61, x = 1 -, x =, x = -11234規(guī)律總結(jié):用新的變元去代替原式的一部分或改造原來的式子,要注意觀察方程的特點(diǎn)。4、待定系數(shù)法在解數(shù)學(xué)問題時(shí),若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式,其中含有某些待定的系數(shù),而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式,最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系,從而解答數(shù)學(xué)問題,這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一。例 4 直線 l 與直線數(shù)解析式。的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2,與直線 的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 1,求直線 l 對(duì)應(yīng)的函解題思路:設(shè)直線 l 對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為,需找出 y 與 x 的兩對(duì)對(duì)應(yīng)值才能求出待定系數(shù)k,b 的值,由于 l 與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2,可求出 l 上一點(diǎn)(2,5),l 與的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 1,可求得 l 上另一點(diǎn)(1,1)于是問題得以解決。解析:在所以 l 與直線在中,當(dāng) x=2 時(shí),交點(diǎn)為(2,5)中,y=1 時(shí),所以直線 l 與直線的交點(diǎn)為(1,1)設(shè)直線 l 與,則解得所以 l 的解析式為規(guī)律總結(jié):根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式,最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系。5、面積法平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)定理,不僅可用于計(jì)算面積,而且用它來證明平面幾何題有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果。運(yùn)用面積關(guān)系來證明或計(jì)算平面幾何題的方法,稱為面積方法,它是幾何中的一種常用方法。例 5如圖,已知在ABC 中,AB=AC,D 為 BC 上任意一點(diǎn),DEAB、DFAC,垂足分別為 E、F,BG 是 AC 邊上的高。求證:DE+DF=BC解題思路:連接 AD,由得到 BG×AC=DE×AB+DF×AC,因?yàn)?#160;AB=AC,所以 BG=DE+DF.規(guī)律總結(jié):運(yùn)用面積關(guān)系來證明或計(jì)算平面幾何題的方法,它是幾何中的一種常學(xué)習(xí)好資料歡迎下載用方法。綜合訓(xùn)練一、選擇題1、用換元法解方程2( x 2 + 1) 6( x + 1)+x + 1 x 2 + 1= 7 時(shí),下列換元方法中最適宜的是設(shè)( )x 2 + 11A、 y = x 2 + 1B、 y = x + 1C、 y =D、 y =x + 1x 2 + 12、用換元法解方程 x 2 + x +1 1+x x 2= 4 ,通常會(huì)設(shè) y ( )A、 x + x 21 1 1B、 x + C、 +x x x 2D、 x + 23、用配方法解下列方程時(shí),配方有錯(cuò)誤的是()A.x2-2x-99=0 化為(x-1)2=100B. x2+8x+9=0 化為(x+4)2=25D.3x2-4x-2=0 化為C.2x2-7x-4=0 化為( x -7 81 2) 2 = ( x - )2 =4 16 3109A S = k4、反比例函數(shù) y = k (k>0)在第一象限內(nèi)的圖象如圖 1 所示,P 為該圖象上任一點(diǎn),xPQx 軸,設(shè)POQ 的面積為 S,則 S 與 k 之間的關(guān)系是()kB S =CS=kDS>k425、多項(xiàng)式2x2x(x1)24(x1)4(x1)24x(x1)44x214x 分解因式后,結(jié)果含有相同因式的是()A、B、C、D、二、填空題1、某市 2008 年自然保護(hù)區(qū)覆蓋率(即自然保護(hù)區(qū)面積占全市面積的百分比)為 4.65%,尚未達(dá)到國家 A 級(jí)標(biāo)準(zhǔn),因此,市政府決定加快綠化建設(shè),力爭 2004 年底自然保護(hù)區(qū)覆蓋率達(dá)到 8%,則該市自然保護(hù)區(qū)面積的年平均增長率_(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)y2、若 4x2+bx+9 是完全平方式,則 b=23、在反比例函數(shù) y =( x > 0 )的圖象上,有點(diǎn)xP,P ,P,P ,它們的橫坐標(biāo)依次為 1,2,3,41234O2y =xP1P21 2P33P44 x分別過這些點(diǎn)作 x 軸與 y 軸的垂線,圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為 S ,S ,S ,123則 S1 + S2 + S3 =4、由右邊圖象寫出二次函數(shù)的解析式_學(xué)習(xí)好資料歡迎下載5、分解因式 a2(xy)b2(xy)_6、已知如圖,4 個(gè)圓的半徑都為 a,用代數(shù)式表示其中陰影部分的面積,并求當(dāng) a=10,取 3.14 時(shí),陰影部分的面積_三、解答題æ x ö 21.用換元法解下列方程: ç÷ -è x + 1 ø5xx + 1+ 6 = 02. 心 理 學(xué) 家 發(fā) 現(xiàn) , 學(xué) 生 對(duì) 概 念 的 接 受 能 力 與 提 出 概 念 所 用 的 時(shí) 間 x ( 單 位 : 分 ) 之 間 滿 足 式 子xx(0。-0. 1 2 + 2. 6 + 43 £ x £ )30如果使學(xué)生的接受能力達(dá)到 59,用多長時(shí)間?你知道學(xué)生的最大接受能力是多少嗎?3.三角形兩邊的長分別為 8 和 6,第三邊的長是方程 x2-16x+60=0 的根,求該三角形的最長邊上的高。4. 已知拋物線與 x 軸交于 A(-1,0)、B(1,0),并經(jīng)過 M(0,1),求拋物線的解析式5.把下列各式分解因式(1)a416(2)81x472x2y216y4學(xué)習(xí)好資料歡迎下載6.若 x 2 + 6 x + y 2 - 4 y + 13 = 0 求 x y參考答 案一、選擇題1.C 2.B 3.B 4.B 5.C二、填空題1.0.3122.12 或-123.三、解答題31. x = -2 , x = -122324. y=-2x2-4x5. (xy)(ab)(ab) 6. 86-0.1x2 + 2.6 x + 43 = 59 整理得 x2 - 26 x = -160 配方,得 x - 13= 92. 解(1)( )2x = 10x = 16120.1x2 + 2.6 x + 43 = -0.1(x2 - 26 x - 430 )= -0.1 é(x - 13)2 - 169 - 430ù(2)ë û= -0.1(x - 13)2 + 59.9答:學(xué)生的最大接受能力為 59.93.4.84. 解:拋物線與 x 軸交于 A(-1,0)、B(1,0)設(shè)拋物線的解析式為 ya(x1)(x-1)又拋物線過 M(0,1),將 x=0,y=1 代入上式,解得 a=-1學(xué)習(xí)好資料歡迎下載函數(shù)解析式為 y=-x215. 解:(1)a416=(a24)(a24)=(a24)(a2)(a2)(2)81x472x2y216y4=(9x2)22·9x2·4y2(4y2)2(先化成完全平方的形式,認(rèn)準(zhǔn)誰是公式的 a,誰是 b)=(9x24y2)2=(3x2y)2(3x2y)2(注意這不是結(jié)果)=(3x2y)2(3x2y)26. 解: x 2 + 6 x + y 2 - 4 y + 13 = 0x2 + 6 x + 9 + y 2 - 4 y + 4 = 0( x + 3)2 + ( y - 2)2 = 0因?yàn)?#160;( x + 3)2 0, ( y - 2)2 0 所以 x+3=0,y-2=0 即 x=-3,y=2 則 x y=9