中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題 圓的基本性質(zhì)

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1、學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 學(xué)科教師輔導(dǎo)講義 年 級(jí)： 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 課時(shí)數(shù)：3 課 題 教學(xué)目的 圓的基本性質(zhì) 教學(xué)內(nèi)容 一、【中考要求】 理解圓及其有關(guān)概念，了解弧、弦、圓心角的關(guān)系，探索并了解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；探索圓的性質(zhì)，了解圓周角與圓 心角的關(guān)系、直徑所對(duì)圓周角的特征，了解三角形的外心。 二、【三年中考】 1．(2009·?麗水)如圖⊙O?中，∠ABC＝40°，則∠AOC＝________度． 解析：考查同弧所對(duì)的圓心角等于圓周

2、角的?2?倍． 答案：80 2．(2008·?溫州)如圖⊙O?的半徑為?5，弦?AB＝8，OC⊥AB?于?C，則?OC?的長(zhǎng)等于________． 解析：連結(jié)?OA，根據(jù)垂徑定理?AC＝??AB＝4，∴OC＝ 1 2  OA2－AC2＝??52－42＝3. 答案：3 3．(2008·?臺(tái)州)下列命題中，正確的是( ) ①頂點(diǎn)在圓周上的角是圓周角；②圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半；③90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；④不 在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；⑤同弧所對(duì)的圓周角相等( ) A．①②③B．③④⑤C．①②⑤?

3、D．②④⑤ 解析：根據(jù)圓周角定理及其推論可判斷③④⑤是正確的． 答案：B 4．(2010·?湖州)如圖，已知⊙O?的直徑?AB⊥弦?CD?于點(diǎn)?E，下列結(jié)論中一定正確的是( ) A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝??CE????? D．∠AOC＝60° 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 1 2 解析：根據(jù)垂徑定理當(dāng)?AB⊥CD?時(shí)，AB?平分弦?CD，即?CE＝DE. 答案：B 5．(2010·?紹興)已知⊙O?的半徑為?5，弦?AB?的弦心距為?3，則?AB?的長(zhǎng)是( ) A．3 B．4C．6 D．8 解析：數(shù)形結(jié)合法

4、，考查垂徑定理． 答案：D 6．(2010·?金華)如圖，AB?是⊙O?的直徑，C?是 BD?的中點(diǎn)，CE⊥AB?于?E，BD?交?CE?于點(diǎn)?F. (1)求證：CF＝BF； (2)若?CD＝6，AC＝8，則⊙O?的半徑為_(kāi)_______，CE?的長(zhǎng)是________． 證明：(1)∵AB?是⊙O?的直徑， (2)⊙O?的半徑為?5，CE?的長(zhǎng)是 . (3)圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形．圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能和原來(lái)的圖形重合．這就是圓的旋轉(zhuǎn)不變性． ∴∠ACB＝90°. 又∵CE⊥AB

5、，∴∠CEB＝90°. ∴∠2＝90°－∠CBA＝∠A. 又∵C?是弧?BD?的中點(diǎn)， ∴∠1＝∠D＝∠A. ∴∠1＝∠2，∴CF＝BF. 24 5 三、【考點(diǎn)知識(shí)梳理】 （一）圓的定義及其性質(zhì) 1．圓的定義有兩種方式 (1)在一個(gè)平面內(nèi)，線段?OA?繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)?O?旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)?A?隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓．固 定的端點(diǎn)叫圓心，線段?OA?叫做半徑； (2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合． 2．圓的對(duì)稱(chēng)性 (1)圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸； (2)圓是以圓心為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形； ．．．．．．

6、 （二）垂徑定理及其推論 1．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。? 2．推論?1：①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；②弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且 平分弦所對(duì)的兩條??；③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。? 溫馨提示： 1.?注意平分弦的直徑不一定垂直于弦； 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 2.?等弧是指能夠完全重合的弧，其度數(shù)一定相同，但度數(shù)相同的弧不一定是等弧。 3.?①過(guò)圓心；②平分弦；③垂直于弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；⑤平分弦所對(duì)的劣弧。若一條直線具備這五項(xiàng)中任意 兩項(xiàng)，則必具備另外三項(xiàng)，其中由

7、①②得③④⑤時(shí)，被平分的弦不是直徑。 （三） 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系 1．定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)弦的弦心距相等． 2．推論：同圓或等圓中：(1)兩個(gè)圓心角相等；(2)兩條弧相等；(3)兩條弦相等；(4)兩條弦的弦心距相等．四項(xiàng) 中有一項(xiàng)成立，則其余對(duì)應(yīng)的三項(xiàng)都成立． （四）圓心角與圓周角 1．定義：頂點(diǎn)在圓心上的角叫圓心角；頂點(diǎn)在圓上，角的兩邊和圓都相交的角叫圓周角． 2．性質(zhì) (1)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)； (2)一條弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)圓心角的一半； (3)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．同圓或等圓中相

8、等的圓周角所對(duì)的弧相等； (4)半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑． （五）圓的性質(zhì)的應(yīng)用 1．垂徑定理的應(yīng)用 用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算或證明，常需作出圓心到弦的垂線段(即弦心距)，則垂足為弦的中點(diǎn)，再利用解半徑、弦心 距和弦的一半組成的直角三角形來(lái)達(dá)到求解的目的． 2．圓心角、圓周角性質(zhì)的應(yīng)用 3．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理的應(yīng)用． 溫馨提示： 借助同弧、等弧所對(duì)圓周角相等，所對(duì)圓心角相等，進(jìn)行角的等量代換；也可在同圓或等圓中，由相等的圓周角所對(duì) 的弧相等，進(jìn)行?。ɑ蛳遥┑牡攘看鷵Q。 四、【中考典例精析】 類(lèi)型一 圓的定義及

9、其性質(zhì)、定理 (1)如圖，點(diǎn)?A、B、C?在⊙O?上，若∠BAC＝24°，則∠BOC＝________. 第(1)題 第(2)題 (2)如圖，AB?為⊙O?的弦，⊙O?的半徑為?5，OC⊥AB?于點(diǎn)?D，交⊙O?于點(diǎn)?C，且?CD＝1，則弦?AB?的長(zhǎng)是________． (3)如圖是一條直徑為?2?米的通水管道橫截面，其水面寬?1.6?米，則這條管道中此時(shí)最深處為_(kāi)_______米． 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 第(3)題第(4)題 (4)如圖，AB?是⊙O?的直徑，

10、CD?為弦，CD⊥AB?于?E，則下列結(jié)論中不成立的是________． A．∠A＝∠D B．CE＝DE C．∠ACB＝90° D．CE＝BD 【點(diǎn)撥】本組題主要考查垂徑定理，圓周角定理，圓心角、弧、弦、弦心距關(guān)系定理在選擇題、填空題中的應(yīng)用， 本組題在中考題中屬常見(jiàn)題． 【解答】(1)48°?在⊙O?中，∠BOC＝2∠BAC＝2×24°＝48°. (2)6 連結(jié)?OA，在? OAD?中，AD＝?OA2－OD2＝?52－(5－1)2＝3，∴AB＝2AD＝6. (3)0.4 關(guān)鍵構(gòu)造包含半徑、弦心距、弦長(zhǎng)一半的直角三角形． (4)D 注意仔細(xì)審題，選的是“不成立”的． 類(lèi)型

11、二 垂徑定理、圓周角定理的應(yīng)用 (1)如圖，A、B、C?是⊙O?上的三點(diǎn)，且?A?是優(yōu)弧?BAC?上與點(diǎn)?B、點(diǎn)?C?不同的一點(diǎn)，若△BOC?是直角三 角形，則△BAC?必是( ) A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．有一個(gè)角是?30°的三角形 D．有一個(gè)角是?45°的三角形 (2)如圖，⊙O?的直徑?AB?垂直于弦?CD，垂足?P?是?OB?的中點(diǎn)，CD＝6?cm.求直徑?AB?的長(zhǎng)． 【解答】(1)D 在⊙O?中，∠BAC＝??∠BOC＝??×90°＝45°，其余結(jié)論依據(jù)

12、條件證不出來(lái)． 由垂徑定理，得?CP＝??CD＝3. 在? POC?中，tan∠COP＝?? ＝???3， 【點(diǎn)撥】(1)考查圓周角、圓心角關(guān)系定理．(2)考查垂徑定理． 1 1 2 2 (2)連結(jié)?OC、BC，則?OC＝OB. ∵弦?CD?垂直平分?OB，∴OC＝BC，∴OC＝OB＝BC. ∴△BOC?為等邊三角形，∴∠BOC＝60°. 1 2 CP OP ∴OP＝?3，∴AB＝2OB＝4OP＝4?3(cm)． 方法總結(jié)： （1）?用垂徑定理進(jìn)行證明或計(jì)算，常做出圓心到弦的垂線段，再利用弦心距和半徑組成直角三角形來(lái)求解。 （2）?輔助線作法：常作直徑的?90?

13、度的圓周角考慮作它所對(duì)的直徑。 五、【易錯(cuò)題探究】 1．AB?是⊙O?的弦，∠AOB＝88°，則弦?AB?所對(duì)的圓周角是________． 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 【解析】在⊙O?中，弦?AB?所對(duì)的圓周角分優(yōu)弧所對(duì)的角和劣弧所對(duì)的角兩種情況，所以弦AB?所對(duì)的圓周角是 44°或?136°. 【易錯(cuò)警示】此題易錯(cuò)在只寫(xiě)出一個(gè)解，錯(cuò)因是忽略了一條弦對(duì)著兩條弧，全面考慮是做題的關(guān)鍵． 2．⊙O?的半徑為?13?cm，弦?AB∥CD，AB＝10?cm，CD＝24?cm，求?AB?與?CD?之間的距離． 【解析】?jī)蓷l平行弦與圓心有兩種位置關(guān)系：圓心夾在兩平行弦

14、之間(如圖①)；圓心在兩平行弦同側(cè)(如圖②)． 如圖①，過(guò)點(diǎn)?O?作?ON⊥AB，垂足為?N，延長(zhǎng)?NO?交?CD?于?M. ∵AB∥CD，∴OM⊥CD. ∴AN＝BN＝5?cm，CM＝DM＝12?cm. ∴在? OMD?和? ONB?中， 根據(jù)勾股定理得?ON＝12?cm，OM＝5?cm， ∴MN＝12＋5＝17(cm)． 同理，如圖②所示，MN＝ON－OM＝12－5＝7(cm)． ∴AB?與?CD?間的距離為?17?cm?或?7?cm. 【易錯(cuò)警示】圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，當(dāng)題目中沒(méi)有明確弦的

15、位置時(shí)應(yīng)注意分情況討論． 六、【課堂基礎(chǔ)檢測(cè)】 1．如圖，已知?CD?為⊙O?的直徑，過(guò)點(diǎn)?D?的弦?DE?平行于半徑?OA，若∠D?的度數(shù)為?50°，則∠C?的度數(shù)是( ) A．25°?B．40°C．30° D．50° 答案：A 2．如圖，⊙O?是△ABC?的外接圓，已知∠ABO＝50°，則∠ACB?的大小為( ) A．40° B．30° C．45° D．50° 答案：A 3．如圖，AB?是⊙O?的直徑，弦?CD⊥AB?于點(diǎn)?E，∠CDB＝30°，⊙O?的半徑為?3?c

16、m，則弦?CD?的長(zhǎng)為( ) A. cm??????? B．3?cmC．2???3??cm??????? D．9?cm 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 3 2 答案：B 4．如圖，AB?是⊙O?的直徑，點(diǎn)?C、D?在⊙O?上，∠BOC＝110°，AD∥OC，則∠AOD＝________.( ) A．70° B．60°C．50° D．40° 答案：D 5．如圖，以點(diǎn)?P?為圓心的圓弧與?x?軸交于?A、B?兩點(diǎn)，點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為(4,2)，點(diǎn)?A?的坐標(biāo)為(2,0)，則點(diǎn)?B?的坐標(biāo) 為_(kāi)_______．

17、 答案：(6,0) 6．如圖，AB?是⊙O?的直徑，弦?CD⊥AB?于點(diǎn)?E，點(diǎn)?P?在⊙O?上，∠1＝∠C. (2)若?BC＝3，sinP＝??，求⊙O?的直徑． (1)求證：CB∥PD； 3 5 解：(1)證明：∵BD＝BD，∴∠C＝∠P. 又∵∠1＝∠C，∴∠1＝∠P， 即?CB∥PD. 在? ABC?中，sinA＝?? .∵sinP＝??∴?? ＝ (2)如圖，連結(jié)?AC. ∵AB?為⊙O?的直徑，∴∠ACB＝90°. 又∵CD⊥AB，∴BC＝BD

18、. ∴∠A＝∠P，∴sinA＝sinP. BC 3 BC 3 AB 5 AB 5 又∵BC＝3，∴AB＝5，即⊙O?的直徑為?5. 七、【課后達(dá)標(biāo)練習(xí)】 一、選擇題 1．如圖，A、B、C?是⊙O?上的三點(diǎn)，已知∠O?＝60°，則∠C＝( ) 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 解析：由同弧所對(duì)圓周角等于圓心角的一半得，∠C＝??∠O＝??×60°＝30°. A．20° B．25° C．30° D．45° 1 1 2 2 答案：C ．如圖， ABC?內(nèi)接于⊙O，∠A＝40°，則∠BOC?的度數(shù)為( )

19、 A．20° B．40° C．60° D．80° 解析：∠BOC＝2∠A＝2×40°＝80°. 答案：D 3．如圖，⊙O?的直徑?CD⊥AB，∠AOC＝50°，則∠CDB?大小為( ) 解析：∵CD⊥AB，∴AC＝BC，∴∠CDB＝??∠AOC＝??×50°＝25°. A．25° B．30° C．40° D．50° 1 1 2 2 答案：A 4．如圖，點(diǎn)?B、C?在⊙O?上，且?BO＝BC，則∠BAC?等于( ) 解析：∵BO＝BC，OB＝

20、OC，∴OB＝OC＝BC，∴∠BOC＝60°，∴∠BAC＝??∠BOC＝??×60°＝30°. A．60° B．50° C．40° D．30° 1 1 2 2 答案：D 5．如圖，AB?是⊙O?的弦，半徑?OA＝2，∠AOB＝120°，則弦?AB?的長(zhǎng)是( ) 解析：過(guò)?O?作?OE⊥AB?于點(diǎn)?E，則∠AOE＝??∠AOB＝60°，AB＝2AE.在? AOE?中，AE＝OAsin60°＝???3， A．2?2B．2?3C.?5D．3?5 1 2 ∴AB＝2?3. 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 答案：B 6．如圖，四個(gè)邊長(zhǎng)為1?

21、的小正方形拼成一個(gè)大正方形，A、B、O?是小正方形的頂點(diǎn)，⊙O?的半徑為?1，P?是⊙O 上的點(diǎn)，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則∠APB?等于( ) 解析：∠APB＝??∠AOB＝??×90°＝45°. 7．如圖，⊙O?是△ABC?的外接圓，AD?是⊙O?的直徑．若⊙O?的半徑為??，AC＝2，則?sinB?的值是(??? ) A．30° B．45°C．60° D．90° 1 1 2 2 答案：B 3 2 A.??B. C. D. sinD＝?? ＝??? ＝??，又∠B＝∠D，∴s

22、inB＝??. ×2 2?3 3 4 3?2 4 3 解析：常見(jiàn)輔助線：構(gòu)造直徑所對(duì)的?90°圓周角，連結(jié)?CD，則∠ACD＝90°，在? ACD?中， AC 2 2 2 AD 3 3 3 2 答案：A 8．如圖，在⊙O?中，AB、AC?是弦，O?在∠BAC?的內(nèi)部，∠ABO＝α，∠ACO＝β，∠BOC＝θ.則下列關(guān)系中， 正確的是( ) A．θ＝α＋β B．θ＝2α＋2β C．α＋β＋θ＝180° D．α＋β＋θ＝360° 解析：連結(jié)?AO?并延長(zhǎng)交⊙O?于點(diǎn)?E，∠BOE＝∠B＋∠BAE＝2α，∠COE＝∠C＋∠

23、CAE＝2β，∴∠BOC＝θ＝ 2α＋2β. 答案：B 9．如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為?16?cm2，則該半圓的半徑為( ) A．(4＋?5)?cm B．9?cm C．4?5?cm D．6?2?cm 解析：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為?2x，則半徑為?5?x，易得?5x＝  42＋(x＋4)2，∴x1＝4，x2＝－2(舍去)，∴?5x＝ 4?5. 答案：C 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 二、填空題 10．如圖，⊙O?是△ABC?的外接圓，已知∠ABO＝40°，則∠ACB?的度數(shù)

24、是________． 解析：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝40°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝??∠AOB＝??×100°＝50°. 1 1 2 2 答案：50° 11．如圖，點(diǎn)?A、B、C?在⊙O?上，AB∥OC，∠B＝22°，則∠A＝________. 解析：因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角等于圓心角的一半，故∠O＝2∠B＝44°.∵AB∥CO，∴∠A＝∠O＝44°. 答案：44° 12．如圖，⊙O?中，MAN?的度數(shù)為?320°，則圓周角∠MAN＝________.

25、 解析：∵M(jìn)AN?的度數(shù)為?320°，∴MN?的度數(shù)為?40°，∴∠MAN＝??×40°＝20°. 1 2 答案：20° 13．如圖，△ABC?是⊙O?的內(nèi)接三角形，點(diǎn)?D?是?BC?的中點(diǎn)，已知∠AOB＝98°，∠COB＝120°，則∠ABD?的 度數(shù)是________． 解析：連結(jié)?OD，∵OB＝OD，∠BOD＝??∠BOC＝60°，∴∠OBD＝60°.又∠AOB＝98°，OA＝OB，∴∠OBA＝ 1 2 41°.∴∠ABD＝∠OBA＋∠OBD＝41°＋60°＝101°. 答案：101° 14．

26、如圖，在△ABC?中，AB?為⊙O?的直徑，∠B＝60°，∠C＝70°，則∠BOD?的度數(shù)是________度． 解析：連結(jié)?BD，∵AB?為⊙O?的直徑，∴∠ADB＝90°.又∠C＝70°，∴∠DBC＝20°.又∠ABC＝60°，∴∠ABD ＝40°.∴∠BOD＝180°－2∠ABD＝180°－2×40°＝100°. 答案：100 三、解答題 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載 15．如圖，AB、AC?為⊙O?的弦，連結(jié)?CO、BO?并延長(zhǎng)分別交弦?AB、AC?于點(diǎn)?E、F，∠B＝∠C. 求證：CE＝BF. 證明：∵OB、OC?是⊙O?的半徑，∴OB＝OC. 又∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，∴△EOB≌△FOC. ∴OE＝OF，∴OC＋OE＝OB＋OF，即?CE＝BF.