2012高考數(shù)學(xué)熱點集中營 熱點21 函數(shù)大題 新課標(biāo)

【兩年真題重溫】【2011新課標(biāo)全國理，21】已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為() 求，的值；() 如果當(dāng)，且時，求的取值范圍故當(dāng)時，可得，與題設(shè)矛盾（iii）設(shè)，此時，而，故當(dāng)時，得，與題設(shè)矛盾綜合得，的取值范圍為【評注】本題的困難是第二問的不等式問題，通過作差f(x)后，通過適當(dāng)?shù)淖儞Q把其變換為，其目的就是為了分0<x<1，x>1故:當(dāng)時，可得；（I）時，.當(dāng)時，；當(dāng)時，.故在單調(diào)減少，在單調(diào)遞增.【命題意圖猜想】從近幾年的高考試題來看，利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問題已成為炙手可熱的考點，既有小題，也有解答題，小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，解答題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，或方程、不等式的綜合應(yīng)用預(yù)測2012年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值為主要考向【回歸課本整合】導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在處附近有定義，當(dāng)自變量在處有增量時，則函數(shù)相應(yīng)地有增量，如果時，與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作，即.注意：在定義式中，設(shè)，則，當(dāng)趨近于時，趨近于，因此，導(dǎo)數(shù)的定義式可寫成.6.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)在點處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點的對應(yīng)點處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點x處也有導(dǎo)數(shù)，且 或 7.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間上是增函數(shù),該區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間；若，那么函數(shù)在這個區(qū)間上是減函數(shù)，該區(qū)間是函數(shù)的減區(qū)間.2.利用導(dǎo)數(shù)研究多項式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟:求;確定在內(nèi)符號;若在上恒成立，則在上是增函數(shù)；若在上恒成立，則在上是減函數(shù)注意：在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值；函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個.10.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值了設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則求在上的最大值與最小值的步驟如下：求在內(nèi)的極值；將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值p【方法技巧提煉】yy=f,再根據(jù)題意求出切點.例1 已知曲線C：，則經(jīng)過點的曲線C的切線方程是 .解析：設(shè)經(jīng)過點P（1，2）的直線與曲線C相切于點，則由，得在點處的斜率，有在點處的切線的方程為.又因為點與點P（1，2）均在曲線C上，有，消去得，解得或，于是或，所以所求切線方程為或.點評：此題常見的錯解：由，得，所以所求的切線方程為，即.錯因是此處所求的切線只說經(jīng)過P點，而沒說P點一定是切點，于是切線的斜率與不一定相等.比如（如圖）當(dāng)時，正弦曲線在點P處的切線只有一條：；而經(jīng)過點P的切線卻有兩條：與.【名師點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值及單調(diào)性問題，考生失誤在于：一是求導(dǎo)后不會因式分解成積的形式，二是由(*)式確定a的范圍不會或忽略分類討論3.利用導(dǎo)數(shù)，如何解決函數(shù)與不等式大題在高考題的大題中，每年都要設(shè)計一道函數(shù)大題. 在函數(shù)的解答題中有一類是研究不等式或是研究方程根的情況，基本的題目類型是研究在一個區(qū)間上恒成立的不等式(實際上就是證明這個不等式)，研究不等式在一個區(qū)間上成立時不等式的某個參數(shù)的取值范圍，研究含有指數(shù)式、對數(shù)式、三角函數(shù)式等超越式的方程在某個區(qū)間上的根的個數(shù)等，這些問題依據(jù)基礎(chǔ)初等函數(shù)的知識已經(jīng)無能為力，就需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法進行解決使用導(dǎo)數(shù)的方法研究不等式和方程的基本思路是構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)的方法研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值和特殊點的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推斷不等式成立的情況以及方程實根的個數(shù)因為導(dǎo)數(shù)的引入，為函數(shù)問題的解決提供了操作工具.因此入手大家比較清楚，但是深入解決函數(shù)與不等式相結(jié)合的題目時，往往一籌莫展.原因是找不到兩者的結(jié)合點，不清楚解決技巧.解題技巧總結(jié)如下（1） 當(dāng)時，令，得.當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在處取得極大值.由于所以，解得即當(dāng)且僅當(dāng)時恒成立.綜上，所求的值為1.() 等價于下面證明這個不等式成立.由()可知.則【點評】第一問利用分類討論思想，關(guān)鍵在于對的討論；借助第一問的結(jié)論，為第二問證明不等式提供服務(wù)，通過恒成立，得到不等式，是解決問題的關(guān)鍵.所以同學(xué)們必須清楚出題者的命題思路，樹立第一問為第二問的服務(wù)意識.【新題預(yù)測演練】1.【2012年河北省普通高考模擬考試】（理）已知函數(shù)（）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；（）函數(shù)是否存在零點若存在，求出零點的個數(shù)；若不存在，說明理由（），當(dāng)時，又 .2分則在處的切線方程為 .4分（）函數(shù)的定義域為【解析】：（），當(dāng)時，又 .2分所以在處的切線方程為 .4分（）函數(shù)的定義域為當(dāng)時，所以即在區(qū)間上沒有實數(shù)根 .6分當(dāng)時，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為即 2分（II）=， 只需討論的符號 4分）當(dāng)2時，0，這時0，所以函數(shù)在（，+）上為增函數(shù)）當(dāng)= 2時，0，函數(shù)在（，+）上為增函數(shù) 6分）當(dāng)02時，令= 0，解得，當(dāng)變化時，和的變化情況如下表： +00+極大值極小值在，為增函數(shù)，在為減函數(shù) 8分 由得得 的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.4分（II）若對任意， 使得恒成立， 則時，恒成立， 3.【河南省2012年普通高中畢業(yè)班高考適應(yīng)性測試】（理）設(shè)函數(shù)（1）若x=1是的極大值點，求a的取值范圍。（2）當(dāng)a=0，b=-1時，函數(shù)有唯一零點，求正數(shù)的值。解： （）的定義域為，由=0，得.2分 若a0，由=0，得x=1.當(dāng)時，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，此時單調(diào)遞減.是增函數(shù)，所以至多有一解因為，所以方程（*）的解為，代入方程組解得12分（文）設(shè)函數(shù)（1）已知在點處的切線方程是求實數(shù)a，b的值。（2）若方程有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的值。因為，所以方程（*）的解為代入方程組解得12分 4. 【河南省鄭州市2012屆高三第二次質(zhì)量預(yù)測】已知函數(shù).(I)當(dāng)時，求在上的最大值和最小值(II)若函數(shù)在1, e上為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍.21. 解：（）當(dāng)時，則g(x)在上單調(diào)遞減，即g(x)<g(0),從而成立4分（2）由，當(dāng)x=0或時，由已知得在上恒成立，又f(x)在有意義，a0，綜上：；8分5.【湖北省武漢市2012年適應(yīng)性訓(xùn)練】（理）設(shè)函數(shù)（）求的單調(diào)區(qū)間；（）證明：當(dāng)時，；（）證明：當(dāng)，且，時，.解：（）由，有， 2分 當(dāng)時，時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，時，單調(diào)遞減；即，即.則.故. 2分6.【北京市朝陽區(qū)高三年級第一次綜合練習(xí)】（理）設(shè)函數(shù). （）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程； （）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間.解：因為所以. （）當(dāng)時, , 所以 . 所以曲線在點處的切線方程為. 4分 由得,或. 所以當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是和, 單調(diào)遞增區(qū)間. 12分 當(dāng)時, 此時，所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是. 13分方程有兩個不相等的實數(shù)根，作差可知，則當(dāng)時，在上為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時，在上為單調(diào)增函數(shù)；（）由（）知，當(dāng)且僅當(dāng)a(0，)時，f(x)有極小值點x1和極大值點x2，且x1x2，x1x2f(x1)f(x2)lnx1axx1lnx2axx2(lnx1lnx2)(x11)(x21)(x1x2)ln(x1x2)(x1x2)1ln(2a)19分令g(a)ln(2a)1，a(0，則當(dāng)a(0，)時，g¢(a)0，g(a)在(0，)單調(diào)遞減，所以g(a)g()32ln2，即f(x1)f(x2)32ln212分8.【唐山市20112012學(xué)年度高三年級第一次模擬考試】（理）設(shè)函數(shù)(I )討論f(x)的單調(diào)性；(II) ( i )若證明：當(dāng)x>6 時，(ii)若方程f(x)=a有3個不同的實數(shù)解，求a的取值范圍.解：（）f¢(x)exx2(a2)x2aex(x2)(xa)1分（1）若a2，則f¢(x)0，f(x)在(，)單調(diào)遞減2分（2）若0a2，當(dāng)x變化時，f¢(x)、f(x)的變化如下表：x(，a)a(a，2)2(2，)f¢(x)00f(x)極小值aea極大值(4a)e2此時f(x)在(，a)和(2，)單調(diào)遞減，在(a，2)單調(diào)遞增3分（3）若a2，當(dāng)x變化時，f¢(x)、f(x)的變化如下表：x(，2)2(2，a)a(a，)f¢(x)00f(x)極小值(4a)e2極大值aea此時f(x)在(，2)和(a，)單調(diào)遞減，在(2，a)單調(diào)遞增4分 (II )討論的單調(diào)性. 【命題分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何含義和函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生利用求導(dǎo)研究函數(shù)性質(zhì)的解題能力和分類討論思想的應(yīng)用。第一問利用導(dǎo)數(shù)的幾何含義確定直線的斜率進行求解；第二問利用求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意對產(chǎn)生a的討論。解：（）當(dāng)a0時，f(x)，f¢(x)，f(1)，f¢(1)，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為y(x1)，即yx4分（）f¢(x)5分（1）若a2，則f¢(x)0，f(x)在(，)單調(diào)遞減7分（2）若a2，則當(dāng)x(，a)或x(2，)時，f¢(x)0，當(dāng)x(a，2)時，f¢(x)0，此時f(x)在(，a)和(2，)單調(diào)遞減，在(a，2)單調(diào)遞增（3）若a2，則當(dāng)x(，2)或x(a，)時，f¢(x)0，當(dāng)x(2，a)時，f¢(x)0，此時f(x)在(，2)和(a，)單調(diào)遞減，在(2，a)單調(diào)遞增12分9. 【2012年河南鄭州高中畢業(yè)年級第一次質(zhì)量預(yù)測】理設(shè)函數(shù).綜上所述，實數(shù)p的取值范圍為. 12分（文）設(shè)函數(shù).（）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；10. 【2012年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(二)】（理）已知函數(shù)，R (I)討論函數(shù)的單調(diào)性； ()當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍解：()的定義域為，若則在上單調(diào)遞增，2分若則由得，當(dāng)時，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.4分(), （文）已知函數(shù)，R (I)討論函數(shù)的單調(diào)性； ()當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍解：()的定義域為，若則在上單調(diào)遞增，2分若則由得，當(dāng)時，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.4分(),11. 【北京市朝陽區(qū)2011-2012學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試】（理）已知函數(shù)（，為正實數(shù)）.（）若，求曲線在點處的切線方程；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)的最小值為，求的取值范圍.解：（）當(dāng)時，則. 2分 所以.又，因此所求的切線方程為. 4分（）. 5分 （1）當(dāng)，即時，因為，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增. 6分（文）設(shè)函數(shù).（）當(dāng)時,試求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;（）當(dāng)時,試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解: （）函數(shù)的定義域為. 1分當(dāng)時, ，因為， 3分所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則當(dāng)時,函數(shù)取得最大值 . 5分12. 【北京市東城區(qū)2011-2012學(xué)年度高三數(shù)第一學(xué)期期末檢測】（理）已知函數(shù)，其中由于 ，可設(shè)方程的兩個根為，由得，（文）已知函數(shù).（）若，求曲線在點處的切線方程；（）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍解：（）當(dāng)時，. ， 3分 所以所求切線方程為即 5分 （）. 令，得. 7分由于，的變化情況如下表：+00+單調(diào)增極大值單調(diào)減極小值單調(diào)增所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和. 9分 要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，應(yīng)有 或 ， 解得或 11分 又 且， 12分 所以 即實數(shù)的取值范圍 13分13. 【保定市20112012學(xué)年度第一學(xué)期高三期末調(diào)研考試】（3）當(dāng)時法一：因為函數(shù)在單調(diào)遞增，所以其最小值為，而函數(shù)在的所以，下面判斷的關(guān)系，即判斷的關(guān)系，令單調(diào)遞增使得上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.10分所以即也即所以函數(shù)圖象總在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi).12分令，則在單調(diào)遞增.10分，即的最大值為0.12分14. 【河北省石家莊市2012屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(一)】（理）已知函數(shù) (I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 也可得證命題成立10分 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義有對任意，12分（文）已知函數(shù) (I)設(shè)=-1，求函數(shù)的極值； (II)在(I)的條件下，若函數(shù)(其中為的導(dǎo) 數(shù))在區(qū)間(1，3)上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍解：（）當(dāng)， ， ，2分 的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，）,單調(diào)遞增區(qū)間為（, 4分（）令又令解得（文）已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；16. 【山東省萊蕪市2012屆高三上學(xué)期期末檢測】已知函數(shù)，（K常數(shù)）（1） 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2） 若恒成立，求K的取值范圍。解析：（1）由可得， 1分的定義域為（0，+），當(dāng)時，在（0，+）是增函數(shù)。3分當(dāng)k>0時，由可得，解析：（1）由可得， 1分的定義域為（0，+），當(dāng)時，在（0，+）是增函數(shù)。4分當(dāng)k>0時，由可得，f(x)在（0，）是增函數(shù)，在（，+）是減函數(shù)。7分綜上，當(dāng)時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是（0，+）； 當(dāng)K>0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是（0，），單調(diào)減區(qū)間是（，+）.8分（2） 由恒成立，可得恒成立，.即，恒成立。 10分 11分17.【山東省青島市2012屆高三期末檢測】（）如果函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍； 解得 12分43用心 愛心 專心