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1、第五章 靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題,5.1 電位微分方程,5.2 鏡像法,5.3 分離變量法,5.4 有限差分法,Boundary Value Problem,5.1 電位微分方程,已知，電位 與電場(chǎng)強(qiáng)度 E 的關(guān)系為,對(duì)上式兩邊取散度，得,對(duì)于線性各向同性的均勻介質(zhì)，電場(chǎng)強(qiáng)度 E 的散度為,那么，線性各向同性的均勻介質(zhì)中，電位滿足的微分方程式為,該方程稱為泊松方程。,對(duì)于無源區(qū)，上式變?yōu)?上式稱為拉普拉斯方程。,例 求同軸電纜在空間任意一點(diǎn)的E。,例 已知同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，電位為V，外導(dǎo)體接地，其內(nèi)半徑為b。試求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位分布函數(shù)以及電場(chǎng)強(qiáng)度。,解 對(duì)于這種邊值問題，鏡像法不適用，只好求
2、解電位方程。為此，選用圓柱坐標(biāo)系。由于場(chǎng)量?jī)H與坐標(biāo) r 有關(guān)，因此，電位所滿足的拉普拉斯方程在圓柱坐標(biāo)系中的展開式只剩下包含變量r 的一項(xiàng)，即電位微分方程為,求得,利用邊界條件：,求得,最后求得,數(shù)學(xué)物理方程是描述物理量隨空間和時(shí)間的變化規(guī)律。對(duì)于某一特定的區(qū)域和時(shí)刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為初始條件和邊界條件，兩者又統(tǒng)稱為該方程的定解條件。靜電場(chǎng)的場(chǎng)量與時(shí)間無關(guān)，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點(diǎn)的電位就是靜電場(chǎng)的邊值問題。,通常給定的邊界條件有三種類型：,第二類邊界條件是給定邊界上物理量的法向
3、導(dǎo)數(shù)值，這種邊值問題又稱為諾依曼問題。,第三類邊界條件是給定一部分邊界上的物理量及另一部分邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊界條件又稱為混合邊界條件。,第一類邊界條件給定的是邊界上的物理量，這種邊值問題又稱為狄利克雷問題。,對(duì)于任何數(shù)學(xué)物理方程需要研究解的存在、穩(wěn)定及惟一性問題。,泊松方程及拉普拉斯方程解的穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)中已經(jīng)得到證明?？梢宰C明電位微分方程解也是惟一的。,由于實(shí)際中定解條件是由實(shí)驗(yàn)得到的，不可能取得精確的真值，因此，解的穩(wěn)定性具有重要的實(shí)際意義。,解的惟一性是指在給定的定解條件下所求得的解是否惟一。,解的穩(wěn)定性是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時(shí)，所求得的解是否會(huì)發(fā)生很大的變化。,解的存在
4、是指在給定的定解條件下，方程是否有解。,靜電場(chǎng)是客觀存在的，因此電位微分方程解的存在確信無疑。,靜電場(chǎng)的邊界通常是由導(dǎo)體形成的。此時(shí)，若給定導(dǎo)體上的電位值就是第一類邊界。 已知導(dǎo)體表面上的電荷密度與電位導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為 ，可見，表面電荷給定等于給定了電位的法向?qū)?shù)值。因此，給定導(dǎo)體上的電荷就是第二類邊界。,因此，對(duì)于導(dǎo)體邊界的靜電場(chǎng)問題，當(dāng)邊界上的電位，或電位的法向?qū)?shù)給定時(shí)，或?qū)w表面電荷給定時(shí)，空間的靜電場(chǎng)即被惟一地確定。這個(gè)結(jié)論稱為靜電場(chǎng)惟一性定理。,5.2 鏡像法,實(shí)質(zhì):是以一個(gè)或幾個(gè)等效電荷代替邊界的影響，將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計(jì)算過程大為簡(jiǎn)化。,
5、依據(jù)：惟一性定理。因此，等效電荷的引入必須維持原來的邊界條件不變，從而保證原來區(qū)域中靜電場(chǎng)沒有改變，這是確定等效電荷的大小及其位置的依據(jù)。這些等效電荷通常處于鏡像位置，因此稱為鏡像電荷，而這種方法稱為鏡像法。,關(guān)鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。,局限性：僅僅對(duì)于某些特殊的邊界以及特殊分布的電荷才有可能確定其鏡像電荷。,（1）點(diǎn)電荷與無限大的導(dǎo)體平面,,以一個(gè)處于鏡像位置的點(diǎn)電荷代替邊界的影響，使整個(gè)空間變成均勻的介電常數(shù)為 的空間，則空間任一點(diǎn) P 的電位由 q 及 q 共同產(chǎn)生，即,考慮到無限大導(dǎo)體平面的電位為零，求得,電場(chǎng)線與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極子的上半部分完全相同。,由此
6、可見，電場(chǎng)線處處垂直于導(dǎo)體平面，而零電位面與導(dǎo)體表面吻合。,電荷守恒：當(dāng)點(diǎn)電荷q 位于無限大的導(dǎo)體平面附近時(shí)，導(dǎo)體表面將產(chǎn)生異性的感應(yīng)電荷，因此，上半空間的電場(chǎng)取決于原先的點(diǎn)電荷及導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷?？梢?，上述鏡像法的實(shí)質(zhì)是以一個(gè)異性的鏡像點(diǎn)電荷代替導(dǎo)體表面上異性的感應(yīng)電荷的作用。根據(jù)電荷守恒原理，鏡像點(diǎn)電荷的電量應(yīng)該等于這些感應(yīng)電荷的總電量，讀者可以根據(jù)導(dǎo)體表面電荷密度與電場(chǎng)強(qiáng)度或電位的關(guān)系證明這個(gè)結(jié)論。,半空間等效：上述等效性僅對(duì)于導(dǎo)體平面的上半空間成立，因?yàn)樵谏习肟臻g中，源及邊界條件未變。,對(duì)于半無限大導(dǎo)體平面形成的劈形邊界也可應(yīng)用鏡像法。但是僅當(dāng)這種導(dǎo)體劈的夾角等于 的整數(shù)分之一時(shí)，
7、才可求出其鏡像電荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個(gè)鏡像電荷。例如，夾角為 的導(dǎo)電劈需引入 5 個(gè)鏡像電荷。,,,連續(xù)分布的線電荷位于無限大的導(dǎo)體平面附近時(shí)，根據(jù)疊加原理得知，同樣可以應(yīng)用鏡像法求解。,例 圖中給出介電常數(shù)分別為1和2的兩種介質(zhì)，它們以無限大平面為分界面，在1區(qū)域有點(diǎn)電荷q，電場(chǎng)將由點(diǎn)電荷q和介質(zhì)分界面上的極化面電荷 共同產(chǎn)生。但分界面上 分布情況不清楚，想要借用鏡象法的原理，以虛設(shè)鏡象電荷來代替 的作用。,兩種介質(zhì)中都存在有電場(chǎng)，必須分區(qū)求解。設(shè)1和2兩區(qū)域的電位分別是,按靜電場(chǎng)的唯一性定理，運(yùn)用鏡象法的等效條件為 除點(diǎn)電荷q所在處外，電位應(yīng)滿足,上半空間區(qū)域,下
8、半空間區(qū)域, 在介質(zhì)分界面上，,應(yīng)滿足分界面銜接條件,,,,,,,（2）點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球,若導(dǎo)體球接地，導(dǎo)體球的電位為零。為了等效導(dǎo)體球邊界的影響，令鏡像點(diǎn)電荷q 位于球心與點(diǎn)電荷 q 的連線上。那么，球面上任一點(diǎn)電位為,可見，為了保證球面上任一點(diǎn)電位為零，必須選擇鏡像電荷為,為了使鏡像電荷具有一個(gè)確定的值，必須要求比值 對(duì)于球面上任一點(diǎn)均具有同一數(shù)值。由上圖可見，若要求三角形 OPq 與 OqP 相似，則 常數(shù)。由此獲知鏡像電荷應(yīng)為,鏡像電荷離球心的距離d 應(yīng)為,這樣，根據(jù) q 及 q 即可計(jì)算球外空間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。,若導(dǎo)體球不接地，則位于點(diǎn)電荷一側(cè)的導(dǎo)體球表面上的感應(yīng)電荷為負(fù)值
9、，而另一側(cè)表面上的感應(yīng)電荷為正值。導(dǎo)體球表面上總的感應(yīng)電荷應(yīng)為零值。因此，對(duì)于不接地的導(dǎo)體球，若引入上述的鏡像電荷 q 后，為了滿足電荷守恒原理，必須再引入一個(gè)鏡像電荷q，且必須令,顯然，為了保證球面邊界是一個(gè)等位面，鏡像電荷 q“ 必須位于球心。事實(shí)上，由于導(dǎo)體球不接地，因此，其電位不等零。由q 及q在球面邊界上形成的電位為零，因此必須引入第二個(gè)鏡像電荷q“ 以提供一定的電位。,（3）點(diǎn)電荷與無限大的介質(zhì)平面。,=,+,為了求解上半空間的場(chǎng)可用鏡像電荷 q 等效邊界上束縛電荷的作用，將整個(gè)空間變?yōu)榻殡姵?shù)為1 的均勻空間。對(duì)于下半空間，可用位于原點(diǎn)電荷處的q 等效原來的點(diǎn)電荷q 與邊界上束縛
10、電荷的共同作用，將整個(gè)空間變?yōu)榻殡姵?shù)為2 的均勻空間。,但是，必須迫使所求得的場(chǎng)符合原先的邊界條件，即電場(chǎng)切向分量保持連續(xù)，電位移的法向分量應(yīng)該相等，即,已知各個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為,代入上述邊界條件，求得鏡像電荷如下：,由上例可見，為了利用給定的邊界條件以便確定求解過程中出現(xiàn)的積分常數(shù)，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是非常重要的。對(duì)于平面邊界，圓柱邊界及圓球邊界必須分別選用直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系及球坐標(biāo)系。,此外，由于同軸線中的電位函數(shù)僅與一個(gè)坐標(biāo)變量 r 有關(guān)，因此原先的三維拉普拉斯方程簡(jiǎn)化為一維微分方程，因而可采用直接積分方法求解這類邊值問題。但一般說來，靜電場(chǎng)的邊值問題與空間三個(gè)坐標(biāo)變量有關(guān)
11、。為了求解三維拉普拉斯方程，一種有效的方法就是分離變量法。,分離變量法是將原先的三維偏微分方程通過變量分離簡(jiǎn)化為三個(gè)獨(dú)立的常微分方程，從而使求解過程比較簡(jiǎn)便。分離變量法對(duì)于11種坐標(biāo)系都是行之有效的。,5.3 分離變量法,1.直角坐標(biāo)系：無源區(qū)中電位滿足的拉普拉斯方程在的展開式為,令,代入上式，兩邊再除以 X(x)Y(y)Z(z)，得,顯然，式中各項(xiàng)僅與一個(gè)變量有關(guān)。因此，將上式對(duì)變量 x 求導(dǎo)，第二項(xiàng)及第三項(xiàng)均為零，求得第一項(xiàng)對(duì) x 的導(dǎo)數(shù)為零，說明了第一項(xiàng)等于常數(shù)。同理，再分別對(duì)變量 y 及 z 求導(dǎo)，得知第二項(xiàng)及第三項(xiàng)也分別等于常數(shù)。令各項(xiàng)的常數(shù)分別為 ，分別求得,式中kx
12、，ky ，kz 稱為分離常數(shù)，它們可以是實(shí)數(shù)或虛數(shù)。顯然，三個(gè)分離常數(shù)并不是獨(dú)立的，它們必須滿足下列方程,由上可見，經(jīng)過變量分離后，三維偏微分方程式被簡(jiǎn)化為三個(gè)一維常微分方程。常微分方程的求解較為簡(jiǎn)便，而且三個(gè)常微分方程又具有同一結(jié)構(gòu)，因此它們解的形式也一定相同。例如，含變量 x 的常微分方程的通解為,或者,式中A, B, C, D為待定常數(shù)。,分離常數(shù)也可為虛數(shù)。當(dāng) kx 為虛數(shù)時(shí)，令 ，則上述通解變?yōu)?或者,含變量 x 或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。這些解的線性組合仍然是方程的解。解的形式的選擇是非常重要的，它完全決定于給定的邊界條件。解中各個(gè)待定常數(shù)也取決于給定的邊界條件
13、。,例 兩個(gè)相互平行的半無限大接地導(dǎo)體平面，間距為 d ，其有限端被電位為 0 的導(dǎo)電平面封閉，且與無限大接地導(dǎo)體平面絕緣，如圖所示。試求三個(gè)導(dǎo)體平面形成的槽中電位分布。,解 選取直角坐標(biāo)系。由于導(dǎo)電平面沿 z 軸無限延伸，槽中電位分布函數(shù)一定與 z 無關(guān)，因此，這是一個(gè)二維場(chǎng)的問題。電位所滿足的拉普拉斯方程變?yōu)?應(yīng)用分離變量法，令,根據(jù)題意，槽中電位應(yīng)滿足的邊界條件為,為了滿足 及 邊界條件，應(yīng)選 Y(y) 的解為,因?yàn)?y = 0 時(shí)，電位 = 0，因此上式中常數(shù) B = 0。為了滿足邊界條件 ，分離常數(shù) ky 應(yīng)為,求得,已知 ，求得,可見，分離常數(shù) kx 為虛數(shù)，故 X
14、(x) 的解應(yīng)為,因?yàn)?x = 0 時(shí)，電位 ，因此，式中常數(shù) C = 0，即,那么，,式中常數(shù) C = AD 。,由邊界條件獲知，當(dāng) x = 0 時(shí)，電位 = 0 ，代入上式，得,上式右端為變量，但左端為常量，因此不能成立。這就表明此式不能滿足給定的邊界條件。因此，必須取上式的和式作為電位方程的解，即,為了滿足 x = 0， = 0 邊界條件，由上式得,上式右端為傅里葉級(jí)數(shù)。利用傅里葉級(jí)數(shù)的正交性，可以求出系數(shù)Cn為,最后求得槽中電位分布函數(shù)為,式中 。,電場(chǎng)線及等位面分布如右圖示：,2. 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法,電位微分方程在圓柱坐標(biāo)系中的展開式為,令其解為,代入上式求得,上式中第
15、二項(xiàng)僅為變量 的函數(shù)，而第一項(xiàng)及第三項(xiàng)與 無關(guān)，因此將上式對(duì) 求導(dǎo)，得知第二項(xiàng)對(duì) 的導(dǎo)數(shù)為零，可見第二項(xiàng)應(yīng)為常數(shù)，令,即,式中 k 為分離常數(shù)，它可以是實(shí)數(shù)或虛數(shù)。通常變量 的變化范圍為 ，那么此時(shí)場(chǎng)量隨 的變化一定是以 2 為周期的周期函數(shù)。因此，上式的解一定是三角函數(shù)，且常數(shù) k 一定是整數(shù)，以保證函數(shù)的周期為2。令 ，m 為整數(shù)，則上式的解為,式中A, B 為待定常數(shù)。,考慮到 ，以及變量 的方程式，則前述方程可表示為,上式左邊第一項(xiàng)僅為變量 r 的函數(shù)，第二項(xiàng)僅為變量 z 的函數(shù)，因此按照前述理由，它們應(yīng)分別等于常數(shù)，令,即,式中分離常數(shù) kz 可為實(shí)數(shù)或虛數(shù)，其解可為三
16、角函數(shù)，雙曲函數(shù)或指數(shù)函數(shù)。當(dāng) kz 為實(shí)數(shù)時(shí)，可令,式中C, D 為待定常數(shù)。,將變量 z 方程代入前式，得,若令 ，則上式變?yōu)?上式為標(biāo)準(zhǔn)的柱貝塞爾方程，其解為柱貝塞爾函數(shù)，即,至此，我們分別求出了R(r) ,() , Z(z) 的解，而電位微分方程的通解應(yīng)為三者乘積，或取其線性組合。,式中E, F 為待定常數(shù), 為 m 階第一類柱貝塞爾函數(shù)， 為m階第二類柱貝塞爾函數(shù)。根據(jù)第二類柱貝塞爾函數(shù)的特性知，當(dāng)r = 0 時(shí)， 。因此，當(dāng)場(chǎng)存在的區(qū)域包括 r = 0 時(shí)，此時(shí)只能取第一類柱貝塞爾函數(shù)作為方程的解。,,若所討論的靜電場(chǎng)與變量 z 無關(guān)，則分離常數(shù) 。那么電位
17、微分方程變?yōu)?此方程的解為指數(shù)函數(shù)，即,若所討論的靜電場(chǎng)又與變量 無關(guān)，則 m = 0。那么，電位微分方程的解為,考慮到以上各種情況，電位微分方程的解可取下列一般形式,3. 球坐標(biāo)系中的分離變量法,電位微分方程在球坐標(biāo)系中的展開式為,令,代入上式，得,與前同理， 的解應(yīng)為,可見，上式中第一項(xiàng)僅為 r 的函數(shù)，第二項(xiàng)與 r 無關(guān)。因此，與前同理第一項(xiàng)應(yīng)為常數(shù)。為了便于進(jìn)一步求解，令,式中n 為整數(shù)。這是尤拉方程，其通解為,將此結(jié)果代入上式，得,令 ，則上式變?yōu)?上式為連帶勒讓德方程，其通解為第一類連帶勒讓德函數(shù) 與第二類連帶勒讓德函數(shù) 之和，這里 m < n 。,當(dāng) n 是整數(shù)時(shí)，
18、 及 為有限項(xiàng)多項(xiàng)式。因此，要求 n 為整數(shù)。,根據(jù)第二類連帶勒讓德函數(shù)的特性知，當(dāng) 時(shí)， 。因此，當(dāng)場(chǎng)存在的區(qū)域包括 或 時(shí)， ，此時(shí)只能取第一類連帶勒讓德函數(shù)作為方程的解。所以，通常令,那么，電位微分方程的通解通常取為下列線性組合,若靜電場(chǎng)與變量 無關(guān)，則 m = 0 。那么 稱為第一類勒讓德函數(shù)。此時(shí)，電位微分方程的通解為,例 設(shè)一根載有恒定電流 I 的無限長(zhǎng)導(dǎo)線與無限大的理想導(dǎo)磁平面平行放置，如圖示。導(dǎo)線與平面間的距離為 h ，試求上半空間任一點(diǎn)磁場(chǎng)強(qiáng)度。,解 采用鏡像法。設(shè)在鏡像位置放置一根無限長(zhǎng)的恒定電流 I ，那么上半空間任一點(diǎn)合成磁場(chǎng)強(qiáng)度為,理
19、想導(dǎo)磁體表面的磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量必須為零，為了滿足這個(gè)邊界條件必須要求 I = I。,因此合成磁場(chǎng)為,對(duì)于邊界上任一點(diǎn)，y = 0，得,由此可見，所得結(jié)果滿足前述的邊界條件，即磁場(chǎng)強(qiáng)度垂直于理想導(dǎo)磁體邊界。,例 一根無限長(zhǎng)的電流為 I 的線電流，位于兩種媒質(zhì)形成的無限大的平面邊界附近，兩種媒質(zhì)的磁導(dǎo)率分別為 1 及 2 ，試求兩種媒質(zhì)中的恒定磁場(chǎng)。,=,+,解 設(shè)電流 I 位于媒質(zhì)中，如下圖示。,根據(jù)惟一性定理，場(chǎng)是由源及其邊界條件共同決定的。現(xiàn)在這樣假定后，上半空間仍為有源區(qū)，下半空間仍為無源區(qū)。為了維持邊界條件不變，求出的上半空間及下半空間的場(chǎng)在邊界上應(yīng)滿足恒定磁場(chǎng)的邊界條件，即 。由此求得,,那么,此時(shí)，鏡像電流 。這些結(jié)果與前例完全相同。,由此可見，若媒質(zhì)為理想導(dǎo)磁體，即 ，則,5.4 有限差分法,有限差分法是一種較容易的數(shù)值解法。,首先把求解的區(qū)域劃分成網(wǎng)格，把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)的場(chǎng)分布用求網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)上的離散的數(shù)值解代替。當(dāng)然，把網(wǎng)格分得充分細(xì)，才能達(dá)到足夠的精確度。,1.簡(jiǎn)單迭代法 見書P98,2.超松弛法,
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