（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 不等式選講 2 證明不等式的基本方法課件 文.ppt

第二節(jié) 證明不等式的基本方法,【教材基礎(chǔ)回顧】 1.比較法,ab,a<b,a=b,ab,a<b,2.綜合法 一般地,從_出發(fā),利用_、公理、_、 性質(zhì)等,經(jīng)過(guò)一系列的_、_而得出命題成立,這 種證明方法叫做綜合法.綜合法又叫_或由因 導(dǎo)果法.,已知條件,定義,定理,推理,論證,順推證法,3.分析法 證明命題時(shí),從_出發(fā),逐步尋求使它成立 的_,直至所需條件為_(kāi)或_ _(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等), 從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法, 這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法.,要證的結(jié)論,充分條件,已知條件,一個(gè)明顯,成立的事實(shí),【金榜狀元筆記】 1.證明不等式的基本方法 (1)比較法:作差(商)比較法. (2)綜合法:由因?qū)Ч? (3)分析法:執(zhí)果索因法.,2.常見(jiàn)結(jié)論 (1)a20(aR).(2)(a-b)20(a,bR),其變形有 a2+b22ab, ab,a2+b2 (a+b)2. (3)若a,b為正實(shí)數(shù),則 特別地, 2. (4)a2+b2+c2ab+bc+ca.,【教材母題變式】 1.已知a,bR+且ab,求證:a5+b5a3b2+a2b3. 【證明】因?yàn)閍5+b5-(a3b2+a2b3)=a5-a2b3+b5-a3b2 =a2(a3-b3)+b2(b3-a3)=(a3-b3)(a2-b2) =(a-b)2(a2+ab+b2)(a+b),又因?yàn)閍b,所以(a-b)20, 又a,bR+,所以a2+ab+b20, a+b0, 故(a-b)2(a2+ab+b2)(a+b)0, 即a5+b5a3b2+a2b3.,2.已知a0,b0,c0,且a,b,c不全相等, 求證:,【證明】因?yàn)閍,b,c(0,+),所以 同理 因?yàn)閍,b,c不全相等, 所以上述三個(gè)不等式中至少有一個(gè)等號(hào)不成立,三式 相加,得 2(a+b+c),即 a+b+c.,3.求證: 【證明】 故原不等式成立.,4.已知a0且a1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1), 試比較P,Q的大小. 【解析】P-Q=loga(a3+1)-loga(a2+1)= 當(dāng)00,所以PQ.,當(dāng)a1時(shí),a3+1a2+10, 1,所以 即P-Q0,所以PQ. 所以,綜上所述,PQ.,【母題變式溯源】,考向一 綜合法證明不等式 【典例1】(2015全國(guó)卷)設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且 a+b=c+d.證明: (1)若abcd,則 (2) 是|a-b|<|c-d|的充要條件.,【證明】(1)因?yàn)?由題設(shè)a+b=c+d,abcd得 因此,(2)(i)若|a-b|cd. 由(1)得,(ii)若 則 即 因?yàn)閍+b=c+d,所以abcd. 于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd =(c-d)2.,因此|a-b|<|c-d|. 綜上, 是|a-b|<|c-d|的充要條件.,【一題多變】1.題中條件改為: a+b=c+d=1, 證明:ab+cd,【證明】因?yàn)閍,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d=1, 所以 所以ab+cd,2.題中條件改為: a+b+c+d=1,證明:,【證明】 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d= 時(shí)等號(hào)成立.,【技法點(diǎn)撥】 綜合法證明不等式的方法 (1)綜合法證明不等式,要著力分析已知與求證之間,不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換,恰當(dāng)選擇已知不等式,這是證明的關(guān)鍵.,(2)在用綜合法證明不等式時(shí),不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的.在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí),要注意性質(zhì)成立的前提條件.,【同源異考金榜原創(chuàng)】 1.已知a0,b0,a3+b3=2, 證明:(1)(a+b)(a5+b5)4. (2)a+b2.,【證明】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)24. (2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b) 所以(a+b)38,因此a+b2.,2.已知ABC中角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 a,b,c, 且其中任意兩邊長(zhǎng)均不相等.若a,b,c成等差數(shù)列. 求證:0<B,【證明】因?yàn)锳BC的三邊a,b,c成等差數(shù)列,所以 2b=a+c,再根據(jù) 所以B 所以0<B,考向二 分析法證明不等式 【典例2】已知a0,b0,2ca+b, 求證:,【證明】要證 只要證 即要證|a-c|< 即要證(a-c)2<c2-ab, 即要證a2-2ac<-ab.,因?yàn)閍0,所以即要證a-2c<-b, 即要證a+b<2c,這即為已知.所以原不等式成立.,【技法點(diǎn)撥】 分析法證明不等式應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)注意依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論.,(2)注意從要證不等式出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式. (3)注意恰當(dāng)?shù)赜煤梅赐品?hào)“”或“要證明”“只需證明”“即證明”等詞語(yǔ).,【同源異考金榜原創(chuàng)】 1.已知m0,a,bR,求證:,【證明】因?yàn)閙0,所以1+m0. 欲證 成立. 只需證明(a+mb)2(1+m)(a2+mb2), 即證m(a2-2ab+b2)0, 只要證明a2-2ab+b20,又a2-2ab+b2=(a-b)20顯然成立, 故,2.已知ab,求證: 【證明】要證 只需證: <(a-b)2, 即1+a2- +1+b2<a2-2ab+b2, 化簡(jiǎn)1+ab<,當(dāng)1+ab2ab,即只需證a2+b22ab即可,又ab,所以a2+b22ab, 綜上可知,當(dāng)ab時(shí), 成立.,考向三 比較法證明不等式高頻考點(diǎn),【典例3】(1)當(dāng)p,q都是正數(shù)且p+q=1時(shí),試比較 (px+qy)2與px2+qy2的大小. (2)已知a,bR+,求證:aabb,【解析】(1)(px+qy)2-(px2+qy2) =p2x2+q2y2+2pqxy-(px2+qy2) =p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy. 因?yàn)閜+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p. 所以(px+qy)2-(px2+qy2) =-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.,因?yàn)閜,q為正數(shù),所以-pq(x-y)20, 所以(px+qy)2px2+qy2. 當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),不等式中等號(hào)成立.,(2) 當(dāng)a=b時(shí), 當(dāng)ab時(shí), 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知,當(dāng)a<b時(shí), 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知 所以aabb,【一題多變】本例(2)小題的條件不變, 求證:abba,【證明】 當(dāng)a=b時(shí), 當(dāng)ab0時(shí),當(dāng)ba0時(shí), 所以 1,即abba,【技法點(diǎn)撥】 比較法證明不等式的步驟 1.作差比較法 (1)作差比較法證明不等式的一般步驟: 作差:將不等式左右兩邊的式子看作一個(gè)整體作差;,變形:將差式進(jìn)行變形,化簡(jiǎn)為一個(gè)常數(shù),或通分,因式分解變形為若干個(gè)因式的積,或配方變形為一個(gè)或幾個(gè)平方和等; 判號(hào):根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果,判斷不等式兩邊差的正負(fù)號(hào); 結(jié)論:肯定不等式成立的結(jié)論.,(2)作差比較法的應(yīng)用范圍: 當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí),一般使用作差比較法.,2.作商比較法 (1)作商比較法證明不等式的一般步驟: 作商:將不等式左右兩邊的式子作商; 變形:將商式的分子放(縮),分母不變,或分子不變,分母放(縮),或分子放(縮),分母縮(放),從而化簡(jiǎn)商式為容易和1比較大小的形式;,判斷:判斷商與1的大小關(guān)系,就是判斷商大于1或小于1或等于1; 結(jié)論. (2)作商比較法的應(yīng)用范圍: 當(dāng)被證的不等式兩邊含有冪式或指數(shù)式或乘積式時(shí),一般使用作商比較法.,【同源異考金榜原創(chuàng)】 命題點(diǎn)1作差法證明不等式 1.已知a,b為正實(shí)數(shù). (1)求證: a+b. (2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù)y= (0<x<1)的 最小值.,【解析】(1)因?yàn)?又因?yàn)閍0,b0,所以 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.所以 a+b.,(2)因?yàn)?0, 由(1)的結(jié)論,函數(shù)y= (1-x)+x=1. 當(dāng)且僅當(dāng)1-x=x即x= 時(shí)等號(hào)成立. 所以函數(shù)y= (0<x<1)的最小值為1.,命題點(diǎn)2作商法證明不等式 2.已知a1,利用作商比較法, 求證:,【證明】 又 所以原不等式成立.,核心素養(yǎng)系列（六十三） 邏輯推理證明不等式中的核心素養(yǎng) 根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義去絕對(duì)值號(hào),然后分類討論解不等式組;利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求函數(shù)的最值.這些都強(qiáng)調(diào)了對(duì)邏輯推理的考查.,【典例】已知ABC的三邊a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列,試用分析法證明:B為銳角.,【證明】要證明B為銳角,只需證cos B0, 所以只需證a2+c2-b20, 即a2+c2b2,因?yàn)閍2+c22ac, 所以只需證2acb2,由已知得2ac=b(a+c). 所以只需證b(a+c)b2,即a+cb,顯然成立. 所以B為銳角.,