專題五平面解析幾何(1)

專題五 平面解析幾何 第一講 直線和圓的方程聚焦高考命題要點(diǎn)：（1）直線方程的各種形式；（2）直線方程的幾個(gè)特征值的運(yùn)用（如傾斜角、斜率、截距、方向向量、法向量等）；（3）圓方程的兩種形式；（4）直線與圓的位置關(guān)系及圓和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用。命題趨勢(shì)：（1）直線方程考察的重點(diǎn)是直線方程的特征值（主要是直線的斜率、截距等）有關(guān)問(wèn)題，可與三角知識(shí)聯(lián)系；（2）圓的方程的考查主要是圓的兩種程方程的確定，特別是待定系數(shù)法確定圓的方程。（3）直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系要注重用幾何法處理相關(guān)問(wèn)題，要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。考點(diǎn)整合1傾斜角：一條直線L與X軸相交時(shí)，將X軸繞交點(diǎn)向逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)與L重合時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角，叫做直線的傾斜角，當(dāng)直線L與X軸平行或重合時(shí)規(guī)定傾斜角為0，所以傾斜角的范圍為。2斜率：當(dāng)直線的傾斜角不是900時(shí)，則稱其正切值為該直線的斜率，即k=tan;當(dāng)直線的傾斜角等于900時(shí)，直線的斜率不存在.說(shuō)明：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一條直線都有傾斜角，但不是每一條直線都有斜率。 斜率與傾斜角的關(guān)系如圖：3.過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直線的斜率公式:k=tan（若x1x2，則直線P1P2的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為900。4.方向向量：當(dāng)向量與直線L平行時(shí)，稱此向量為方向向量。斜率k=5.法向量：當(dāng)向量與直線垂直時(shí)，稱此向量為法向量。斜率k=6直線方程的六種形式確定直線方程需要有兩個(gè)互相獨(dú)立的條件。確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。名稱方程說(shuō)明適用條件斜截式y(tǒng)=kx+bk斜率b縱截距傾斜角為90°的直線不能用此式點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)(x0，y0)直線上已知點(diǎn)，k斜率傾斜角為90°的直線不能用此式兩點(diǎn)式=(x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩個(gè)已知點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式點(diǎn)法式A、B不能同時(shí)為零截距式+=1a直線的橫截距b直線的縱截距過(guò)（0，0）及與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式一般式Ax+By+C=0，分別為斜率、橫截距和縱截距A、B不能同時(shí)為零7. 兩條直線的位置關(guān)系：（1）當(dāng)直線方程為、時(shí)，若，則；若、重合，則；若，則。（2）當(dāng)兩直線方程為時(shí)，若，則；若、重合，則；若，則。 說(shuō)明：利用斜率來(lái)判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，必須是在兩直線斜率都存在的前提下才行，否則就會(huì)得出錯(cuò)誤結(jié)論，而利用兩條直線的一般式方程的系數(shù)來(lái)判斷就不易出錯(cuò)。8幾個(gè)距離公式（1）兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB=（2）點(diǎn)到直線的距離公式：點(diǎn)A（x0,y0）到直線Ax+By+C=0的距離(3)平行線間的距離公式：設(shè)兩平行線方程為Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0，則它們之間的距離9圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。特殊地，當(dāng)時(shí)，圓心在原點(diǎn)的圓的方程為：。（2）圓的一般方程：，圓心為點(diǎn)，半徑，其中。說(shuō)明：二元二次方程，表示圓的方程的充要條件是：、項(xiàng)項(xiàng)的系數(shù)相同且不為0，即；、沒(méi)有xy項(xiàng)，即B=0；、。10.直線與圓的位置關(guān)系有三種 ：設(shè)圓心到直線的距離為d,半徑為r,則 ; ; 11.圓和圓的位置關(guān)系有五種：設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，典例剖析【例1】（1）若直線l的方程是y = x+ 2，則（）A.一定是直線l的傾斜角B. 一定不是直線l的傾斜角C.一定是直線l的傾斜角D. 不一定是直線l的傾斜角解析：設(shè)傾斜角為，則 ，而是任意角，所以選D。(2)若圖中的直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則有( )A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2解析：由傾斜角和斜率的關(guān)系可知，l1的斜率為負(fù)且最小，l2的斜率比l3的斜率大且為正數(shù)，所以選D(3)設(shè)點(diǎn)A(2，-3)，B(-3，-2)，直線l過(guò)點(diǎn)P(1，1)且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是( )A.k或k-4B.k或k- C.-4kD.- k4解析：易算出，若直線l要與線段AB相交，由數(shù)形結(jié)合易知選A.(4)若為三角形中最大內(nèi)角，則直線的傾斜角的范圍是（ ） A. B. C. D. 解析：是三角形中的最大內(nèi)角， 直線的斜率它的傾斜角的范圍是，選A方法提煉傾斜角和斜率的關(guān)系符合“正切函數(shù)在和上均遞增”這一性質(zhì)，且在上斜率為正，在上斜率為負(fù)，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用?！纠?】（1）（2008四川.理4）直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向右平移個(gè)單位，所得到的直線為( ).解析：直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的直線為，從而淘汰，D 又將向右平移個(gè)單位得，即 故選A；（2）已知直線在兩軸上的截距之和是2，并且經(jīng)過(guò)(2，3 ) ，則直線方程為( ) A3x2y + 12 = 0 B. x + y1 = 0 C.x2y + 4 = 0或3x + y3 = 0 D. 2y3x12 = 0或y = 1x解析：設(shè)直線的方程為截距式，則有解得a=b=1或a=-4,b=6,所以選D方法提煉要注意根據(jù)題目條件靈活選擇適當(dāng)?shù)闹本€形式，要注意待定系數(shù)法這一方法的應(yīng)用。 【例3】 已知直線和點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做直線與已知直線l1相交于點(diǎn)，且，求直線的方程。 解析：過(guò)點(diǎn)與軸平行的直線為，解方程 求得點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)，即為所求。設(shè)過(guò)且與軸不平行的直線為：，解方程組 得兩直線交點(diǎn)為（，否則與已知直線平行） 由已知 解得， 即為所求方法提煉利用待定系數(shù)法設(shè)直線方程時(shí)要注意方程形式的條件，解題時(shí)一般先考慮特殊情形?！纠?】已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-5，-4），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5，求直線的方程。 解析：設(shè)所求直線的方程為， 直線過(guò)點(diǎn)P（-5，-4），即。 又由已知有，即， 解方程組，得：或 故所求直線的方程為：，或。 即，或 方法提煉 要求的方程，須先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三種： （1）從點(diǎn)的坐標(biāo)或中直接觀察出來(lái)； （2）由斜截式或截距式方程確定截距；（3）在其他形式的直線方程中，令得軸上的截距b；令得出x軸上的截距a。【例5】（1）過(guò)點(diǎn)作直線l交x軸、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求直線l的方程解析：設(shè)l：（k<0），分別令， 得 ， ， 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， 取得最小值4 故所求直線的方程為， 即 COBA（2）已知兩條直線， 與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成一個(gè)四邊形， 當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形的面積有最小值？并求出最小值.解析：將兩直線化為， ， 易知兩直線、都是過(guò)定點(diǎn)的直線系， ，如圖所示與y軸的交點(diǎn)為，與x軸的交點(diǎn)為，所以四邊形OACB面積為 ， 所以， 當(dāng) 時(shí)，四邊形有最小值.方法提煉解析幾何中的最值問(wèn)題往有兩種處理方式：一是幾何法，利用圖形的直觀性，利用數(shù)形結(jié)合的方法找出臨界情形，直接得出最值。二是代數(shù)法，通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。【例6】已知ABC的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（4，1），B（6，3），C（3，0），求ABC外接圓的方程。 解析：法一、設(shè)所求圓的方程是因?yàn)锳（4，1），B（6，3），C（3，0）都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足方程，于是 可解得所以ABC的外接圓的方程是。解法二、因?yàn)锳BC外接圓的圓心既在AB的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，所以先求AB、BC的垂直平分線方程，求得的交點(diǎn)坐標(biāo)就是圓心坐標(biāo)。，線段AB的中點(diǎn)為（5，1），線段BC的中點(diǎn)為，AB的垂直平分線方程為，BC的垂直平分線方程解由聯(lián)立的方程組可得 ABC外接圓的圓心為（1，3），半徑。故ABC外接圓的方程是方法提煉解法一用的是“待定系數(shù)法”，解法二利用了圓的幾何性質(zhì)，在解決圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)要注意圓的幾何性質(zhì)的運(yùn)用?！纠?】已知圓x2+y2+x6y+m=0和直線x+2y3=0交于P、Q兩點(diǎn)，且OPOQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑解析：由消去x得5y220y+12+m=0設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2），則y1、y2滿足條件y1+y2=4，y1y2=OPOQ，x1x2+y1y2=0而x1=32y1，x2=32y2，x1x2=96（y1+y2）+4y1y215+15+0m=3，此時(shí)0，圓心坐標(biāo)為（，3），半徑r=方法提煉(1)在解答中，我們采用了對(duì)直線與圓的交點(diǎn)“設(shè)而不求”的解法技巧，但必須注意這樣的交點(diǎn)是否存在，這可由判別式大于零幫助考慮(2)體會(huì)垂直條件是怎樣轉(zhuǎn)化的，以及韋達(dá)定理的作用：處理y1,y2與x1,x2的對(duì)稱式 在解析幾何中經(jīng)常運(yùn)用韋達(dá)定理來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算【例8】已知圓C：，直線l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）（1）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；（2）求直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)l的方程解析：（1）證明：l的方程（x+y4）+m（2x+y7）=0 mR，得，即l恒過(guò)定點(diǎn)A（3，1）圓心C（1，2），AC5（半徑），點(diǎn)A在圓C內(nèi)，從而直線l恒與圓C相交于兩點(diǎn)（2）解：弦長(zhǎng)最小時(shí)，lAC，由kAC，l的方程為2xy5=0方法提煉若定點(diǎn)A在圓外，要使直線與圓相交則需要圓心到直線的距離小于半徑?！纠?】（1）（天津文，14）若圓與圓的公共弦長(zhǎng)為，則a=_.解析：由已知，兩個(gè)圓的方程作差可以得到相交弦的直線方程為 利用圓心（0，0）到直線的距離d為，解得a=1.（2）（全國(guó)理16）已知為圓:的兩條相互垂直的弦，垂足為,則四邊形的面積的最大值為 解析：設(shè)圓心到的距離分別為,則.四邊形的面積方法提煉兩個(gè)圓如果有公共點(diǎn)，方程的差表示過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的公共弦（或公切線），解決與弦有關(guān)的問(wèn)題題注意垂徑定理的運(yùn)用。【例10】一個(gè)圓和已知圓外切,并與直線: 相切于點(diǎn)M（）,求該圓的方程解析: 已知圓方程化為: ,其圓心P（1,0）,半徑為1設(shè)所求圓的圓心為C（a,b）,則半徑為, 因?yàn)閮蓤A外切, ,從而1+ (1)又所求圓與直線：相切于M(),直線,于是,即 （2）將（2）代入（1）化簡(jiǎn),得a2-4a=0, a=0或a=4當(dāng)a=0時(shí),所求圓方程為當(dāng)a=4時(shí),b=0,所求圓方程為方法提煉待定系數(shù)法是求圓方程的基本方法，解決兩圓位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)常用幾何法處理。實(shí)戰(zhàn)演練1. 設(shè)點(diǎn)，若直線與線段有交點(diǎn)，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 解析：直線與y軸交于點(diǎn)P（0，-2），易求出KPA=，KPB=，由數(shù)形結(jié)合知選A 2. 已知，為軸上的點(diǎn)，如果的絕對(duì)值最大，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D. 解析：作B于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C（5，2），求出AC的直線方程x+4y-13=0,再求出AC與x軸的交點(diǎn)為（13，0），選B3. 直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是（ ） A. B. C. D. 解析：設(shè)點(diǎn)（x,y）在所求直線上，則它關(guān)于（1，-1）的對(duì)稱點(diǎn)（2-x,-2-y）在直線上，代入化簡(jiǎn)得，選D4.圓x2y24x+4y+6=0截直線xy5=0所得的弦長(zhǎng)等于（ ）A B C1 D5解析：圓心到直線的距離為，半徑為，弦長(zhǎng)為2=選A5.圓x2+y24x=0在點(diǎn)P（1，）處的切線方程為（ ）Ax+y2=0 Bx+y4=0 Cxy+4=0 Dxy+2=0解析：點(diǎn)（1，）在圓x2+y24x=0上，點(diǎn)P為切點(diǎn)，從而圓心與P的連線應(yīng)與切線垂直又圓心為（2，0），·k=1解得k=，切線方程為xy+2=0選D6已知M（x0，y0）是圓x2+y2=r2（r>0）內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線x0x+y0y=r2與此圓的位置關(guān)系是（ ）A相交 B.相切 C.相離 D.不能確定解析：圓心O（0，0）到直線x0x+y0y=r2的距離為d=P（x0，y0）在圓內(nèi)，<r則有d>r，故直線和圓相離選C.7.設(shè)、，點(diǎn)P在x軸上，則的最小值是_解析：取A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，則最小值為8.實(shí)數(shù)滿足(13)，則的最大值、最小值分別是_解析: 設(shè)，因?yàn)榫€段的兩端點(diǎn)為（1，-1），（3，2），所以-1k,答案最大值為,最小值為-1.9.曲線與直線y=k（x-2）+4有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析: 曲線表示半圓,直線過(guò)定點(diǎn)（2，4），由數(shù)形結(jié)合，當(dāng)線圓相切時(shí)k=,有兩個(gè)交點(diǎn)需k10.圓心在直線2xy7=0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A（0，4）、B（0，2），則圓C的方程為_(kāi)解析：圓C與y軸交于A（0，4），B（0，2），由垂徑定理得圓心在y=3這條直線上又已知圓心在直線2xy7=0上，聯(lián)立y=3，2xy7=0 解得x=2，圓心為（2，3），半徑r=|AC|=所求圓C的方程為（x2）2+（y+3）2=511.已知圓C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率為1的直線L,使以L被圓C截得弦AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)?若存在,寫出直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由.解析:設(shè)直線L的斜率為，且L的方程為y=x+b,則消元得方程x2+（2b+2）x+b2+4b-4=0,設(shè)此方程兩根為x1,x2，則x1x2（b+1）,y1+y2= x1x2+2b=b-1,則中點(diǎn)為，又弦長(zhǎng)為，由題意可列式解得b=1或b=-9,經(jīng)檢驗(yàn)b=-9不合題意所以所求直線方程為y=x+112.自點(diǎn)A(-3,3)發(fā)出的光線射到x軸上,被x軸反射,其反射光線所在的直線與圓相切,求光線所在的直線方程解析：由已知可得圓C：關(guān)于x軸對(duì)稱的圓C的方程為，其圓心C（2，-2），則與圓C相切，設(shè): y-3=k(x+3),，整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或，所以所求直線方程為y-3= (x+3)或 y-3= (x+3)，即 3x+4y-3=0或4x+3y+3=012